高宏索罗模型

总产出的增长率也是
ng
人均产出增长率
(t ) Y (t ) L (t ) (n g )Y (t ) Y (t ) Y (t ) d Y (t ) Y n g dt L(t ) L(t ) L(t ) L(t ) L(t ) L(t ) L(t )


人均产出（劳动生产率）以技术进步率g增 长。 注意区分人均产出与人均有效劳动产出。

对消费的影响（c为每单位有效劳动的平均 消费）
经济增长的典型化事实
经济增长研究的主要问题
• 1、富国为什么还是那么富？ • 2、穷国为什么还是那么穷？(资源诅咒命题 ) • 3、穷国怎么变富国？（发展经济学） • 4、富国怎么变穷国,Don’t cry for Argentina， Por Una Cabeza • 5、经济增长的决定因素有哪些？
Yt F ( Kt , At Lt ) K ( AL)1 ; Y K y F( ,1) k ;0 1 AL AL f '(k ) 0, f ''(k ) 0
（一）模型的基本假定
2.关于投入品的假设 资本、劳动、知识的初始水平既定，劳动、 知识以不变速度（外生）增长：
工业革命以后的经济增长
• 卡尔多事实（Kaldor，1963）
• • • • • 1.经济增长率稳定在2~3% 2.人均物质资本持续积累 3.资本回报率近乎稳定不变 4.物质资本-产出比例近乎稳定不变 5.劳动和物质资本在国民收入中所占份额近乎稳 定不变 • 6.人均产出增长率在各国间差异巨大
第一章 索洛模型
f k f k
* 2 * 1 * 2 * 1
1.储蓄率增加的影响方向分析
s
t0
t
k,y
t0
t
1.储蓄率增加的影响方向分析
lnK
lnY
t0
t
1.储蓄率增加的影响方向分析
ln（Y/L）
t0
t
Y/L 的增长率
t0
t
1.储蓄率增加的影响方向分析
Y/K
t0
t
1.储蓄率增加的影响方向分析

Y的增长率

从以上可推导：
(t ) FAL (t ) K ( A L)(t ) K (t ) FAL A(t ) L(t )]( n g ) FK [ FK Y Y (t )( n g ) ng Y (t ) Y (t ) Y (t ) Y (t )


（二）模型的动态学

索洛模型的核心公式：
t sf k t n g k t k
单位有效劳动的资本存量的变化等于两项 之差： sf k ：单位有效劳动的平均投资 k保持现有水平所 n g k t：持平投资，使 必需的投资

（一）模型的基本假定 （二）模型的动态学 （三）参数变化的影响 （四）收敛问题 （五）模型的主要结论
（一）模型的基本假定
1.关于生产函数的假定
Y t F K t , At Lt K t ：资本存量； Lt ：劳动力


At ：知识水平；

产量取决于三个变量：资本、劳动、知识； A和L以相乘形式影响Y（劳动增进性、资本增进 型、希克斯中性） A不是独立的生产要素
k k 0
保证经济增长路径不发散
（一）模型的基本假定
f( k)
k
1、证明规模报酬不变。 2、它的密集形式是什么？ 3、它满足稻田条件吗？
新古典生产函数——新古典增长理论
第一，每种投入的边际产品为正且递减。 第二，规模报酬不变。 第三，稻田条件：

满足这三个条件的 生产函数被称为新 古典生产函数。



生产函数的集约形式满足新古典假设；
人口增长率、知识增长率、储蓄率、资本折旧率都等于常数， 人口和知识呈指数增长。

哈罗德一多马模型
（二）模型的动态学

k的动态变化
dk d K t At Lt k t dt dt t K K t t t Lt A A t L At Lt At Lt 2 t t t K K t L K t A At Lt At Lt Lt At Lt At sY t K t k t n k t g At Lt sf k t n g k t
Y的增长率
规模报酬不变之假设。这一假设说明了总产出是 按照资本和有效劳动的边际生产力来分配的：
，
K FAL AL Y FK

其中 FK 是有效劳动的边际 是资本的边际生产力，F AL 生产力。由于资本与有效劳动以同样的增长率 n g 在增长，所以， 。 (t ) (n g ) K (t ) ( AL)(t ) (n g ) A K (t ) L(t )
对
量
知识或技术
有效劳动 总产出
F(cK,cAL)=cF(K,AL)
C
k(K/AL) K/L 相 对 量 y(Y/AL) Y/L c(C/AL) C/L
总消费
有效劳动的平均资本 人均资本 有效劳动的人均产出 人均产出 有效劳动的人均消费 人均消费
n+g
0 g 0 g 0 g
C=(1-s)Y
y=f(k)=Y/AL
平衡增长路径
在索洛模型中，无论从任何一点出发， 经济向平衡增长路径收敛，在平衡增长路 径上，每个变量的增长率都是常数，且是 外生决定的。特别是，在该路径上，人均 产出的增长率仅取决于技术进步率。
变量 K 绝 L A AL Y
含义 资本存量 劳动力
平衡增长速度 n+g n g n+g n+g
备注证明 k=K/AL

储蓄率的一个永久增加：
导致k在一定时期上升，保持在一个较高水平； 在短期内会改变Y、K的增长率，长期无影响； 造成Y/L增长率的暂时性增长； 储蓄率的变化有水平效应（Level Effect），但没有 增长效应（Growth Effect） ，在该模型中只有技术 进步率有增长效应。

1.储蓄率增加的影响方向分析
n g k t
sf k
如何证明有且仅有一个交点？
k*
k
（二）模型的动态学

k的相图（三维空间在平面的投影）

k (t )
k
k* k
稳态
定义“稳态”：一种其中各种变量 都以不变速度增长的情况，即k(t)=0。 当sf(k(t)) (n+g+ )k(t)时，k(t) 0（资本存量增加） 当sf(k(t)) (n+g+ )k(t)时，k(t) 0（资本存量减少） 当sf(k(t))＝(n+g+ )k(t)时，k(t)＝0 （实际投资与持平投资相等。无论k从何处开始，它都收敛于k*）
因此，索洛增长模 型又被称为新古典 增长模型。
（一）模型的基本假定

通常使用CD生产函数（索洛）：
Q AL K A0 0 1 0 1
：劳动的产出弹性； ：资本的产出弹性； ：决定规模报酬性质；
替代弹性： 1
（一）模型的基本假定

满足索洛模型的CD函数 形式为：
c=(1-s)f(k)
K/Y
资本产出比
0
（三）参数变化的影响

索洛模型中，主要参数有：
n, g , , s

政策最有可能影响的是储蓄率
（三）参数变化的影响
1.储蓄率增加的影响方向分析（定性）； 2.最优储蓄率——资本的黄金规则水平； 3.储蓄率增加的影响程度分析（定量）。
经济解释
k(t)=sf(k(t))-(n+g+ )k(t) 是索洛模型的基本微分方程， 它表明k(t)是k的方程。 含义说明：人均实际投资sf(k(t)) 用于两个方面：一是“资本的深化”， 即k(t)，二是“资本的广化”（持平投资）， 即（n+g+）k(t)。
（二）模型的动态学
每单位有效劳动 平均投资
y为单位有效劳动的平均 产量； k为单位有效劳动的平均 资本量。

其中：有效劳动AL，有效劳动人均资本k=K/AL，有 效劳动人均产量y=Y/AL，总产量Y=AL· f(k)
（一）模型的基本假定

进一步假设：
f k 0 f k 0
边际报酬递减
满足稻田( Inada )条件： lim f k lim f k 0

A(t ) / A(t ) [dA(t ) / dt ] / A(t ) g

其中n为人口增长率，g为技术进步率，均 为外生参数，表示不变增长速度
有效劳动的增长

劳动和知识的进化，使得有效劳动数量在 增长，其增长率为：
(t ) L(t ) A(t ) L (t ) L (t ) A (t ) d A(t ) L(t ) dt A gn A(t ) L(t ) A(t ) L(t ) A(t ) L(t )
（一）模型的基本假定

规模报酬不变

这意味着：
F cK, cL cFK , L c 0
a 经济规模足够大（专业化收益已被穷尽）； b 其他因素，如自然资源等不重要。
（一）模型的基本假定

根据规模报酬不变假设，可以将生产函数写成密集 形式（三维转成二维）：
1 K F ,1 F K , AL AL AL y f k
（一）模型的基本假定

资本的增长（投资）：
t sY t K t K s：储蓄率（外生）；