高三数学一轮复习函数的基本性质教案

函数的基本性质

则2k ＋1<0，即k <－1

2

.

3．(教材习题改编)函数f (x )＝1

1－x 1－x 的最大值是( )

A.4

5 B.54 C.3

4

D.43

解析：选D ∵1－x (1－x )＝x 2

－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，∴0<11－x 1－x ≤43.

4．(教材习题改编)f (x )＝x 2

－2x (x ∈)的单调增区间为________；f (x )max ＝________. 解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案： 8

5．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m

⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x

x 的取值范围是______．

解析：由题意知f (m )>f (n )；

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪1x >1，即|x |<1，且x ≠0. 故－1 (－1,0)∪(0,1)

1.函数的单调性是局部性质

从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子 区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整 个定义域上不一定单调．

2．函数的单调区间的求法

函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函 数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等 函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、 对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函 数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性， 再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．

单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

函数单调性的判断

典题导入

(理)判断函数f (x )＝x ＋a x

(a >0)在(0，＋∞)上的单调性． 设x 1>x 2>0，则

f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋a x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1－a x 2＝(x 1－x 2)＋a x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－

x 2)⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－a x 1x 2.

当a ≥x 1>x 2>0时，x 1－x 2>0,1－

a

x 1x 2

<0， 有f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)

此时，函数f (x )＝x ＋a

x

(a >0)是减函数；

当x 1>x 2≥a 时，x 1－x 2>0,1－

a

x 1x 2

>0， 有f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，

此时，函数f (x )＝x ＋a

x

(a >0)是增函数．

综上可知，函数f (x )＝x ＋a x

(a >0)在(0，a ]上为减函数；在[a ，＋∞)上为增函数． (文)证明函数f (x )＝2x －1

x

在(－∞，0)上是增函数．

设x 1，x 2是区间(－∞，0)上的任意两个自变量的值，且x 1

x 2

，

f (x 1)－f (x 2)＝⎝

⎛

⎭⎪⎫2x 1－1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫

2x 2－1x 2

＝2(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x 2－1x 1

＝(x 1－x 2)⎝

⎛

⎭

⎪⎫

2＋

1x 1x 2

由于x 1

x 1x 2

>0，

因此f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)

故f (x )在(－∞，0)上是增函数．

通过具体

问

题，让学生理

解函数的单调区间与

由题悟法

对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法： (1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明；

(2)可导函数则可以利用导数证明．对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行．

以题试法

1．判断函数g (x )＝－2x

x －1在 (1，＋∞)上的单调性．

解：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1

x 2－1

＝

2x 1－x 2

x 1－1x 2－1

，

由于1

所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0， 因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)

求函数的单调区间

典题导入

(2012·长沙模拟)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函

数f k (x )＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

f x

，f x ≤k ，

k ，f x ＞k ，

取函数f (x )＝2

－|x |

.当k ＝1

2

时，函数f k (x )的单调递增区间

为( )

A ．(－∞，0)

B ．(0，＋∞)

C ．(－∞，－1)

D ．(1，＋∞)

由f (x )>12，得－1

2

，得x ≤－1或x ≥1.

所以f 1

2

(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

2－x

，x ≥1，

12，－1＜x ＜1，

2x

，x ≤－1.

故f 1

2

(x )的单调递增区间为(－∞，－1)．

函数在某个区间上单调的含

义的不同。

通过此

例，让学生回顾，巩固用定义证明单调性的

步

骤。