概率论与随机过程题集

k

第二章

概率论与随机过程

2

2-16 图P2-16中的电路输入为随机过程

X(t)，且E[X(t)]=O, xx ()= (),即X(t)为白噪

过程。

(a )试求谱密度 yy ( f )。

2

(b )试求 yy ( )和 E[Y (t)]。

----kW 1

R

X(t)

图 P2-16

2

(b) E [y (t)]= yy (0)

解：由功率密度谱的定义知

C 二 Y(t)

xx

xx

( )e j2f d

()e j2f

d

又系统函数

H(f)=^ X(f)

1

j2 fc

1 j

2 fc

1 __

j2 fc

yy

(f)

xx

(f)H(f)2

(2 fcR)2

yy

()

yy

(f)e

j2

df

2 1

R 2f^e

j2f

df

莎汀

2

•- E [y (t)]= yy (0)

2Rc

2-20

一离散时间随机过程的自相关序列函数是

(k) (1/2)W ，试求其功率密度谱。

(f)=

k

(k)e

j2 fk

〔

2-24 系统的噪声等效带宽定义为

B eq 认

2

H(f) df

1/知 o XJ)

•••命题得证。

2-23 试证明函数

在区间［

(f)

1

(2) k 2

I k

l e 2

j fk

/ 1

2 j

f 、

2

1e j2f 2 1 !e j2f

2

1e j2f 2

1

1

e

j2

2

sin[2 W(t

f k (t)=

］上为正交的，即

G e

o 2

1 1 le j2f

2

即为所求。

2W )]

k

2 W(t ) 2W

,k = o ,

所以，抽样定理的重建公式可以看作带限信号 s(t)的级数展开式，其中权值为 s(t)的样值,

且｛ f

k (t

)｝是级数展开式中的正交函数集。

证明： 由题得

k

sin[2 W(t -)] f k (t)f j (t)dt =

---------- 2 W(t —) 2W

sin[2 W(t

j

)]

込dt

2 W(t

j

)

1 cos[( j k)

2 cos[4 wt (k j) ] dt (2 wt k)(2 wt j)

2

⑵对于图P2-16有G maxH(f)2

第三章

信源编码

3-4

X 、Y 是两个离散随机变量，其概率为P(X=x, Y=y)=P(x, y)

证明：l(X,Y)A 0,当且仅当 X 和Y 统计独立时等号成立。

n m

证明：I (X,Y) P(X i ,Y j )l(X i ,Y j )

i 1 j 1

•• I (X,Y) >0,当且仅当X 和Y 统计独立时

式中,G maxH(f)「。利用该定义，试确定图

P2-12中的理想带通滤波器和图 P2-16中的

X(t)

丫⑴

解:

(1)对于图 P2-12 有 G

2

maxH (f)

图 P2-16

B eq

H(f)2

df

f c B

2

1?df

f

c|

(f c |)

•••图

P2-12的系统的等效带宽为 B

B

eq 0

H(f) df =

1 4 2

R 2

c 2

f

1

2 Rc d(2 Rcf)

1 (

2 Rcf)2

1 2_

R c arctg(2 Rcf)

1 4Rc

P(X i ,Y j )log

P(X ,Y ) P(X i )P(Y j ) P(X i ,Y j )log

P(X i )P(Y j ) P(X i ,Y j )

P(X i ,Y j )

i 1 j 1

P(XJP(Y j ) P(X i ,Y j ) P(X i )P(Y j )

i 1 j 1

P(X i ,Y j )

图 P2-12

x,y

P(X 「Y j ) P(XJP(Y j )

3-5 某DMS 信源输出由可能的字符 X i , X 2，…，X n 组成，其发生概率分别是 p i , P 2，…,

p n 。证明信源熵 H (X)至多是log n 。

3-11 设X 和Y 是两个联合分布的离散随机变量

(a )证明：

H(X) =— P(x,y) logP(x)

x,y

H(Y) = — P(x, y)log P(y)

log

P(X i ,Y j )

P(X i )P(Y j )

0 此时，l(X i ,Y j ) 0

证明： 由熵定义可知

n

H(X) = P i log P i ；

i 1

又•••

P i

i 1

H (X) — log n =

P i log P i — P i log n

i 1

i 1

n

i 1

P i log 1 n l

— P i log

n

n

1 = P i log

i 1

P i n

, 1 1

ln

-1 . 1 P i n P i n

log

P i n

ln 2

l n

i 2

1

n 1 八

H(X)— log n

P i (

1)

ln 2 i 1

P i n

ln 2 i 1 (1

n P i )

H(X)

log n

1

ln2

(1 1) 当且仅当

1 P i =

n

时等号成立。

又

n

1