第六章 抽样推断

m
i
抽样方差
s =
2
å
n
( xi - x ) n
i= 1
或
s2=
å
m
( xi - x ) 2 fi
i= 1
å
å
fi
抽样标准差
s=
å
n
( xi - x ) n
2
或
å
s=
m
( xi - x ) 2 f i fi
i= 1
i= 1
10
属性总体的抽样指标
抽样成数 抽样平均数
n1 p n n0 n n1 q 1 p n n
i
- X)
2
样本可能数目
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17
二、抽样平均误差的计算
（一）抽样平均数的抽样平均误差 1、重复抽样： x
2、不重复抽样：
x 2 N n
n N 1
n
2
n 1 n N
：总体标准差。
n ：样本单位数。 N ：总体单位数。 注：（大样本时， 可以用样本标准差来代替）
31
（二）
x 、 p 与 p
、 x 的关系：
在统计学当中，常作如下处理：
x t x p t p
即：抽样极限误差常表示成抽样平均误差的倍数 t 称为 误差系数， 或 概率度。
32
（三）t = ? （ t 与 β 的关系）
①
t 越大， β 越大
F (t )
查表： P338页
第六章 抽样推断
本章内容
第一节 第二节 第三节 第四节 第六节 抽样推断的含义 抽样推断的基本概念 抽样平均误差 总体指标的推断 必要抽样单位数的确定
1
第一节
1、概念：
百度文库
抽样推断的含义
抽样推断是在抽样调查的基础上，按照随机 原则从总体中抽取一部分单位进行调查，并用调 查所得的指标数值来推断总体的指标数值一种统 计方法。
（一）全及指标（参数）： 1、概念：根据全及总体各单位标志值 计算的、反映总体某种特征的指标。 2、种类：
①变量总体的全及指标 ②属性总体的全及指标
6
变量总体的全及指标
总体平均数
X
X
i 1
N
i
或
N
2
X F X F
i 1 i i
M
i
总体方差
s =
2
å
N
(Xi - X ) N
i= 1
或
s2=
其中：
总体标准差
s = P(1- P) = PQ
8
二、全及指标和抽样指标
（二）抽样指标（统计量）： 1、概念：根据样本各单位标志值计算 的、反映样本特征的指标。 2、种类：
①变量总体的抽样指标 ②属性总体的抽样指标
9
变量总体的抽样指标
抽样平均数
x
x
i 1
n
i
或
n
2
x f x f
i 1 i i
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12
n BN N n
四、抽样方法（考虑抽取先后顺序）
1、不重复抽样： 从 N 个单位中每次抽取 1个，抽取后 不放回，一直到抽够 n 个单位。
样本数目
N! A = N ( N - 1)( N - 2)( N - n + 1) = ( N - n)!
n N
2、重复抽样: 从 N 个单位中每次抽取1个，抽取后将 其登记下来，再放回，一直到抽够n个单位。
那么，对于任一次抽样结果，
x- X p- P
x 和 p 称为：
x p
抽样极限误差
26
一、抽样极限误差
（一）概念： 置信度
在给定的概率保证程度 下，总体指标和 抽样指标之间误差的最大范围。具体的：
抽样平均数的抽样极限误差 x
x X
x
抽样成数的抽样极限误差 p
p P p
19
三、影响抽样平均误差的因素
1、样本单位数的多少。
抽样单位数越多，抽样平均误差越小。
2、总体各单位标志的变异程度。
总体标志变异程度越大，抽样平均误差越大。
3、抽样调查组织方式和抽样方法。
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20
例1 ：某灯泡厂对10000个产品进行使用寿命检验，随 机抽取2%的样本进行测试，所得的资料如下：
3
一、全及总体和抽样总体
（一）全及总体 ⒈概念：总体，指所要认识的对象的全体。 ⒉全及总体的分类
属性总体（是非总体）
变量总体
⒊总体单位数：N
4
一、全及总体和抽样总体
（二）抽样总体 简称样本，是从全及总体中随机抽取出 来，作为代表这一总体的那部分单位组成的 集合体。 样本单位数：n
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5
二、全及指标和抽样指标
t
x
2 95 190 小时

950000 100 1 95 小时 100 2000




置信区间： x , x 45000 190,45000 190 4481045190小时 , x x 下一页
27
一、抽样极限误差
（二）总体的估计区间
若在置信度β下，抽样极限误差为Δ ，则： 1、抽样平均数的范围
x x X x x 2、抽样成数的范围
p p P p p
这便是总体的估计区间，又称：置信区间。
28
例1：要估计一批产品的合格率，从 1000 件 产品中抽取 200 件，其中有 10 件不合格品， 如果在90%的把握度下确定抽样极限误差为 2%，试估计产品合格率的范围。
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15
第三节
抽样平均误差
一、抽样平均误差的概念
二、抽样平均误差的计算 三、影响抽样平均误差的因素
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16
一、抽样平均误差的概念
抽样误差：样本指标与总体指标之间的离差。 例如： xi - X 、 pi - P 抽样平均误差：样本指标和总体指标的平均 离差。表示为： x 和 p
m=
x
å (x
21
（1）求灯泡平均使用时间、标准差和 灯泡合格率（样本） xi fi 1057 小时 x fi

xi x f
i
2
fi
53.63 小时
183 p 91.5% 200
22
（2）求灯泡使用时间抽样平均误差 x ：
在重复抽样下：
x

n

53.63 200
3.792小时
在不重复抽样下：
x

N n n N 1
2
2
53.63 10000 200 3.754 小时 200 10000 1
23
（2）计算灯泡的合格率和合格率的抽样平均误差。 求灯泡合格率的抽样平均误差 p ：
某电扇厂对其生产的2000台电扇进行使用 寿命检查，随机抽取100台（不重复抽样）检 验，平均使用寿命4.5万小时，方差为950000 小时2。 要求：以95.45%的可靠性估计这批电扇 平均使用寿命的可能范围。
平均误差： 极限误差：
x x

2
n 1 n N
样本成数 p = 190/200=95%
p P p
p p P p p
95% - 2% ＃P
95% + 2%
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29
93% ＃P
97%
二、抽样极限误差的计算
（一）引论：
思考：在置信度β（概率保证程度）下，有：
x X
问：
x 或
或
p P p
x ?
n 样本数目 BN = N n
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13
第五节
抽样组织设计
1、简单随机抽样：对总体不作任何处理，不进行任 何分类，从总体的全部单位中随机抽取样本单位。 2、类型抽样：先对总体各单位按照一定的标志分类， 然后从每类中随机抽取。 3、机械抽样：对研究的总体按一定的顺序排列，每 隔一定的间隔抽取的一种方法。 4、整群抽样：将总体划分为若干群，然后从总体中 随机选取若干群，对中选的群的所有单位进行一一 调查。 5、多阶段抽样：抽样过程分成几个阶段
在重复抽样下：
p
p 1 p n
0.915 0.085 1.972% 200
在不重复抽样下：


x

p 1 p N n n N 1
0.915 0.085 10000 200 1.952 % 200 10000 1 返回本节首页
n1：总体中具有某种属性的单位数目。 n0：总体中不具有某种属性的单位数目。 n0 n1 n
其中：
抽样标准差
s = p(1- p) = pq
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11
三、样本容量和样本可能数目
1、样本容量：指一个样本所包含的单位 数，记作： n 。 ：大样本。 n 30 ：小样本。 n 30 2、样本可能数目：又称样本个数，是指从 一个总体中可能抽取多少个样本。
p ?
30


（二）
D x 、 p 与 x
、mp 的关系：


对某一大学男生群体进行模拟抽样（总体平均体重 58千克）；对每一种可能样本进行调查计算得： mx x 若允许的抽样极限误差与抽样平均误差相同时，推 断总体的平均体重是 x ± 1mx，推断的可靠程度为 0.6872。 若允许的抽样极限误差是抽样平均误差的2倍时， 推断总体的平均体重是 x ± 2m ，推断的可靠程度 x 为0.9545。 若允许的抽样极限误差是抽样平均误差的3倍时， 推断总体的平均体重是 x ± 3m ，推断的可靠程度 x 为0.9973。
å
M
( X i - X )2 Fi
i= 1
å
Fi
总体标准差
s=
å
N
(Xi - X ) N
2
或
å
s=
M
( X i - X ) 2 Fi
i= 1
i= 1
å
Fi
7
属性总体的全及指标
总体成数 总体平均数
N1 P N
N0 N N1 Q 1 P N N
N1：总体中具有某种属性的单位数目。 N 0：总体中不具有某种属性的单位数目。 N 0 N1 N
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14
类型抽样举例
假设某学校教师总数为 500 名，要求从中抽 取 50 名教师进行调查。 ①先将这些教师分类，如：按职称分类， 其中：助教 100 名，讲师 250名，副教授 100名，教授 50 名。 ②按照比例来抽取。即：助教中抽取 10名， 讲师中抽取 25 名，副教授中抽取 10 名， 教授中抽取 5 名。 这样一种方式就是类型抽样。
②
可以证明： F (t ) 是标准正态分布函数。
33
和 p ，x ①在 β= 0.8064 时， ? x ②在 β= 0.9371 时， p ? 例 2：已知
③在
x
95.45% 的概率保证程度下， 的变 X 化范围？
x 1.3 x
p 1.86 p
34
x 2 x X x 2 x
使用时间（小时） 抽样灯泡数（个） 使用时间（小时） 抽样灯泡数（个）
900以下
900—950 950—1000 1000—1050
2
4 11 71
1050—1100
1100—1150 1150—1200 1200以上
84
18 7 3
合计
200
按照质量规定，灯泡使用寿命在1000小时以上为合格 品。要求（1）计算样本灯泡的平均使用时间、标准差 和平均使用时间的抽样平均误差；（2）计算样本灯泡 的合格率和合格率的抽样平均误差。（包括重复抽样 与不重复抽两种情形）
三、置信区间的确定
步骤： 1、计算抽样极限误差
①计算抽样平均误差
② 求 t（由 F (t ) ，查表） ③写出抽样极限误差 t
x t x
或
p t p
2、估计总体指标的置信区间
x x X x x
p p P p p
36


从一批产品中随机抽取 500 件（允许重复） 进行质量检查，发现不合格产品有 35件。要 求：以 95% 的可靠性估计该产品不合格率的 区间。
18
二、抽样平均误差的计算
（二）抽样成数的抽样平均误差
1、重复抽样： p 2、不重复抽样：
p
P (1 P ) N n ( ) n N 1
P (1 P ) n
P：总体成数。 n ：样本单位数。 N ：总体单位数。 注：（大样本时，P 可以用样本成数p来代替）
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第四节 总体指标的推断
一、抽样极限误差 二、抽样极限误差的计算
三、置信区间的确定
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一、抽样极限误差
思考：抽样调查中 抽样误差 解决思路：
x
推断
X 或p
推断
P
x X
? 或
p P ?
在 95% 的把握下，将最大抽样误差限定在： x 或 D p
即：Max xi - X = D x Max pi - P = D p
2、特点：
①只抽取总体中一部分单位进行调查 ②抽取部分单位要遵循随机原则 ③用一部分单位的指标值去推断总体的指标值 ④抽样误差可以计算，并且可以控制 返回本章首页
2
第二节
抽样推断的基本概念
一、全及总体和抽样总体 二、全及指标和抽样指标 三、样本容量和样本可能数目 四、抽样方法 五、抽样的组织设计
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