有限元 第10讲 非线性专题

F ( ij ) 0
0
各向同性屈服准则：各个方向屈服应力相同 各向异性屈服准则：不同方向屈服应力有差异
常用的各向同性Von-Mises屈服准则： 1 1 2 0 ij s0 0 F ( ij ) ij 2 3
三维主应力空间
F 0 ( ij )
1 1 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 s20 0 6 3

为了确定变形前后物体构形中质点的位置，通 常引入物质坐标系OX1X2X3 和空间坐标系ox1x2x3


物质坐标（拉格朗日坐标）Xi：代表质点本身，不随 时间而变化，提供了材料点的标识。 空间坐标（欧拉坐标）xi：仅仅代表质点的空间位置， 随时间而变化。
物体的运动方程 显然
xi xi ( X i , t )
(k ) q1
k) (k ) qi( k ) qi( q 1 i
q(k )
q( k 1)
(3) 所有载荷段循环，并将结果进行累加
10.3 材料非线性
10.3.1 材料非线性问题及分类 10.3.2 非线性弹性材料行为 10.3.3 弹塑性材料行为
10.3.1 材料非线性问题及分类
使用Jacobian矩阵行列式可以将当前构形和参考构 形上的积分联系起来： f ( x, t )dV f ( x( X , t ), t ) J dV0
关于质量守恒定律 物体质量在变形过程中是不变的。

dV J dV0
dV 0 dV
F ij , ij f k0 0 1 ij ij ij f ij 2 1 2 k s0 0 3
2
2
1
1
各向同性硬化
运动硬化
混合硬化：其实质就是将随动强化模型和等向强化模型结合起来，即 认为后继屈服面的形状、大小和位置一起随塑性变形的发展而变化 。 该模型能够更好的反映材料的Bauschinger效应 。
p

单调加载

s0

s s ( p )
s0
p
p


理想弹塑性
硬化塑性
反向加载

s0
2 s 0
s ( p )
各向同性硬化:
s1 r1
r1
运动硬化:

r1 s1 2 s 0
混合硬化:
运动硬化
s1
s1
r1
s1 r1
X i X i ( xi , t )
i 1, 2,3
拉格朗日（Lagrange）描述（物质描述） ：独 立变量是材料坐标和时间，而空间坐标是时间 的函数，反映了物体中每个质点随时间不同所 占据空间点的变化，适用于固体力学问题的描 述。 欧拉（Euler）描述 （空间描述）：将空间坐标 和时间作为彼此独立的的变量来处理，反映了 同一个空间点在不同时刻被不同的质点占据， 一般用于流体力学问题的描述 。
Green应变张量的定义
初始构形中P0Q0距离的平方：
2 dl0 dX i dX i
现时构形中PQ距离的平方：
dl 2 dxi dxi ( xi x x xi dX m )( i dX n ) i dX m dX n X m X n X m X n
xi dxi dX j Fij dX j X j
0
0 J 0 J
应变的度量

有限变形情况下，小变形情况下的应变度量 方法已经不再适用，必须重新定义。

刚体转动，应变度量必须为零。小变形情况下的 应变度量方法不能满足这个要求

非线性连续介质力学中使用了多种不同的应 变和应变率度量。在有限元方法中使用最普 遍的有两种： Green应变张量Eij 变形率张量Dij（率形式的本构方程中）
变形前后微段长度平方的变化：
xk xk dl dl ( ij )dX i dX j 2Eij dX i dX j Xi X j
r1 s1 2 s 0
混合硬化
各向同性硬化
s1
一般应力状态下弹塑性材料行为
屈服准则（初始屈服条件） 硬化法则 （后继屈服函数、加载函数、加载曲面） 流动法则 加载、卸载准则

屈服准则（初始屈服条件）
百度文库

在单向受力情况下，当应力达到材料的屈服强度时 材料开始产生塑性变形。 对于一般复杂的应力状态，应力状态由六个应力分 量决定时，显然不能根据某个单独应力分量的数值 作为判断材料是否进入塑性变形的标准。为此，引 入以应力分量为坐标的应力空间，根据代表不同应 力路径的实验结果，可以定出从弹性阶段进入塑性 阶段的各个界限，即屈服应力点。在应力空间中， 这些屈服应力点形成一个区分弹性和塑性的分界 面——屈服面。描述这个屈服面的数学表达式就是 我们所要寻求的一般应力状态下的屈服准则。
xi ( X i ,0) X i
i 1, 2,3
i 1,2,3
运动方程
xi xi ( X i , t )
i 1, 2,3
函数 xi ( X i , t ) 将参考构形映射到t时刻的当前构形。 根据变形的连续性要求，这种变换必须是一一对应 的，也即变换应是单值连续的，因此上述变换应有 唯一的逆变换

关于变形梯度 (反映变形特征)
x1 X 1 x2 也称为运动的Jacobian矩阵 J Fij X 1 x3 X 1
变形梯度定义
xi Fij X j
x1 X 2 x2 X 2 x3 X 2
x1 X 3 x2 X 3 x3 X 3
弹塑性材料进入塑 性的特征：载荷卸 去后存在不可恢复 的永久变形。 应力应变之间不是 单值对应关系，与 加载历史有关。

单轴应力状态下弹塑性材料行为

单轴（一维）应力状态下材料的应力应变行为 可以从拉伸试验中获得。
F
nom
s0
F nom A0 L nom L0
第6讲 非线性专题 第10讲 非线性问题有限元法
张洪伟
zhanghw@bipt.edu.cn
10.1 非线性问题及分类 10.2 非线性问题的有限元求解方法 10.3 材料非线性 10.4 几何非线性
10.1 非线性问题及分类

在分析线性弹性问题时，假定：

应力应变线性关系 结构位移很小（变形远小于物体的几何尺寸） 加载时边界条件的性质不变

1969年，第一个商业非线性有限元程序——Marc诞生。 目前几乎所有的商业有限元软件都具备较强的非线性问 题的分析求解能力。

非线性求解技术的先进性与稳健性已经成为衡量 一个结构分析程序优劣的标准。
10.2 非线性问题的有限元求解方法
非线性问题有限元控制方程： K(q)q P

非线性方程(组)的求解方法


大位移、大转动、小应变问题 ——板壳的大挠度和后屈曲
例如板、壳等薄壁结构在一定载荷作用下，尽管应变很小，甚至未超过弹性极限，但是位移 较大，材料线元素有较大的转动。必须考虑变形对平衡的影响，即平衡条件应建立在变形 后的位形上，同时应变表达式也应包括位移的二次项。这样一来，平衡方程和几何关系都 将是非线性的。
L
nom

s0
nom (1 nom ) p e ln(1 nom ) E

s0
F nom (1 nom ) A ln L ln(1 nom ) L0
如板壳的大挠度问题 ——平衡方程必须建立于变形后的状态


接触非线性：接触状态的变化所引起。

如金属成形、跌落试验、多零件装配体等
接触非线性例子
碰到障碍物的悬臂梁（端部 碰到障碍物时，梁端部的边 界条件发生了突然变化，阻 止了进一步的竖向挠度。） 板料的冲压成形

随着有限元算法理论、计算机硬件和软件技术的 进步及实际工业的需求，CAE技术的应用逐步由 线性模拟为主向非线性模拟为主快速发展。


直接迭代法 Newton-Raphson迭代法 修正的Newton-Raphson迭代法

非线性问题通常采用增量法求解（追踪加载过 程中应力和变形的演变历史。）

每个增量步采用Newton-Raphson迭代法
非线性问题的增量法求解过程
Newton-Raphson迭代法
(1) 将总的外力载荷分为一系列载荷段 (2) 在每一载荷段中进行迭代，直至收敛 (3) 所有载荷段循环，并将结果进行累加
概念：由于材料的应力应变非线性关系引起的 非线性。 分类：


不依赖时间的弹、塑性问题

非线性弹性——橡胶 弹塑性——冲压成形 蠕变——载荷不变，变形随时间继续变化 松弛——变形不变，应力随时间衰减

依赖于时间的粘（弹、塑）性问题

10.3.2 非线性弹性材料行为
橡胶应力应变关系曲线
10.3.3 弹塑性材料行为
F ( ij , k ) f k 0 1 1 2 p f ij ij k s ( ) 2 3
材料的强化只与总的塑性变形 功有关而与加载路径无关。
应力有反复变化时，等向强化 模型与实验结果不相符合。
运动硬化：该模型假设材料随塑性变形发展时，屈服面的大小和形状 不变，仅是整体在应力空间作平动。

10.4.2 几何非线性力学理论基础
变形体运动的描述 应变的度量 应力的度量 弹塑性问题本构方程的客观性

变形体运动的描述

描述物体的运动和变形时，需要选择某一构形 作为各种方程式的参考。一般选择未变形构形 作为参考构形。

物体的构形：某一时刻所占据的空间区域 初始构形： 未变形构形 V0 现时构形： 当前时刻的变形构形 V
大位移、大转动、大应变问题 ——薄板成形、弹性材料的受力
比较：线弹性 —几何非线性

线弹性：小变形假设——假定物体发生的 位移远小于物体本身的几何尺寸，应变远 小于1。建立平衡方程时不考虑物体位置 和形状的变化。
几何非线性：物体发生有限变形——大位 移、大转动的情况。建立平衡方程时必须 考虑物体位置和形状的变化。
Kq P
如果不满足上述条件之一，就称为非线性问题。

非线性结构的基本特征：变化的结构刚度
K(q)q P
非线性问题可以分为三类：

材料非线性：体系的非线性由材料的应力应变 关系的非线性引起。

如金属变形弹塑性行为、橡胶的超弹性行为等

几何非线性：结构的位移使体系的受力状态发 生了显著的变化。
ij ) k 0 F f ( ij
流动法则
塑性应变增量和应力分量的关系：
2
F 0
d ijp d
F d d ij
p ij
F ij
d ——是一正的待定系数，其具体数值和
材料硬化准则有关
1
塑性应变沿后继屈服面 F=0 的法线方向
加载、卸载准则
对于硬化材料（当材料处于某一塑性状态）：
10.4 几何非线性
10.4.1 几何非线性问题及分类 10.4.2 几何非线性力学理论基础
变形体运动的描述 应变的度量方法 应力的度量方法

10.4.3 几何非线性问题的表达格式
10.4.1 几何非线性问题及分类
概念：由于大位移、大转动而引起的非线性。 分类：
(1) 将总的外力载荷分为一系列载荷段
K(q)q P
(2) 在每一载荷段中进行迭代，直至收敛
K(q)q P
K(q)q P( k 1)
N-R迭代:
KT (qi(k ) )qi( k ) Pi( k )
P1( k )
(k ) KT (q1 )
Pi( k ) P(k 1) Pi(k )
2 2


o
o
1
3
π平面上的屈服轨迹
1
σ3=0平面上的屈服轨迹
硬化法则

塑性硬化法则规定了材料进入塑性变形后 的后继屈服函数（又称加载函数或加载曲 面）
各向同性硬化 运动硬化 混合硬化

各向同性硬化：材料进入塑性变形以后，屈服面在各方向均匀地向外 扩张，其形状、中心及其在应力空间的方位均保持不变。