4.4正态随机变量线性函数的分布

( z 5 ) 2 18
, z .
2.设随机变量 X 服从正态分布 N ( , 2 ) , 且二次方程
y 2 4 y X 0 无实根的概率为 0.5 , 则 _____ . 2 解： 方程 y 4 y X 0 无实根就是 16 4 X 0 , 即 X 4, 按题意,有 P( X 4) 0.5 , 即 P( X 4) 0.5.
则它们的和也服从正态分布， 且有
Z X Y ~ N ( x y , ).
2 x 2 y
定理2表明： 独立正态随机变量的和仍是正态随机变量.
由定理1及定理2 还可得下面更一般的结论. [定理3] 设随机变量 X1 , X 2 , , X n 相互独立， 且都
X i ~ N ( i , i2 ), i 1 ,2 , n , 则它们 服从正态分布：
已知 X ~ N ( , 2 ) , 所以 X 4 4 P( X 4) P( ) ( ),



从而，
4 0 , 由此得 4. 因为 (0) 0.5 , 所以应有
(
4
) 0.5 ,
fY ( y ) [ FX ( y a )] 1 f X ( y a ) 1 e 2 πb b b b
[ y ( a b )]2 2 b 2 2
,
所以Y ~ N (a b , b 2 2 ). 当 b 0 时类似地可证.
定理1表明： 正态随机变量的线性函数仍然是正态随机变量.
第四章
正态分布
§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
2 [定理1] 设随机变量 X 服从正态分布 N ( , ) , 则 X 的线性函数 Y a bX (b 0) 也服从正态分布： Y a bX ~ N (a b , b 2 2 ). 证：由分布函数定义， 的分布函数为 Y FY ( y ) P(Y y ) P(a bX y ). 若 b 0 则有 ya ya ) FX ( FY ( y ) P ( X ), b b 求导得
且有 的线性组合 ci X i 也服从正态分布，
i 1
n
ci X i ~ N ( ci i , ci2 i2 ),
i 1
i 1 i 1
n
n
n
其中 c1 , c2 , , cn 为常数.
例 设 X , Y 是两个相互独立的服从同一正态分布 1 2 N (0 , ( ) ) 的随机变量， 求随机变量 X Y 的数学 2 期望 E ( X Y ). 解: 设 Z X Y , 由正态随机变量的线性性质知
E ( Z ) E ( 2 X Y 3) 2 E ( X ) E (Y ) 3 5 D( Z ) D( 2 X Y 3) 4 D( X ) D(Y ) 9 Z 2 X ห้องสมุดไป่ตู้ 3 ~ N (5 ,9). 所以 由此可知， 的概率密度为 Z
1 fZ ( z) e 3 2π
2 推广： 设 X 1 , X 2 , X n 相互独立， X i ~ N ( i , i ), 且
i 1 ,2 ,, n, 则
ci X i ~ N ( ci i , c i
i 1 i 1 i 1 2 i
n
n
n
2
).
思考题
1.设随机变量 X 与 Y 独立， X 服从均值为 1 , 标准差 且 为 2 的正态分布， Y 服从标准正态分布， 而 试求随机 变量 Z 2 X Y 3 的概率密度. 解： 已知 X 与Y 独立， X ~ N (1 ,2) ,Y ~ N (0 ,1) , 且
Z X Y ~ N (0 ,1) ,
于是 Z 的概率密度为
1 fZ ( z) e 2π
z2 2
, z .
所以，
E( Z )

1 z e 2π
z2 2
dz
1 z e 2π
z2 2
dz
2 0 z e 2π
2 . π
[推论]
设随机变量 X 服从正态分布, 则标准化的
随机变量
X
*
X

~ N (0 ,1).
1 在定理1中，设 a , b 即得结论.
[定理2] 设随机变量X 与Y 独立， 并且都服从正态分布：
2 2 X ~ N ( x , x ) , Y ~ N ( y , y ) ,
z2 2
dz
小 结
1. 若 X ~ N ( , 2 )，则当b 0时，
Y a bX ~ N (a b , b 2 2 ). X ~ N (0 ,1). 特别：
2 2. 随机变量 X 与 Y 相互独立， X ~ N ( x , x ), 且 2 2 2 Y ~ N ( y , y ), 则 X Y ~ N ( x y , x y ).