整式的运算经典解析复习过程

整式的基本概念

1、代数式的有关概念

代数式：用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数、表示数的字母连结而成的式子叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。

2、整式的有关概念

（1）单项式的定义：都是数与字母的积的代数式叫做单项式．

说明：判断一个代数式是不是单项式，主要是根据代数式中数字和字母间是否都是乘法运算关系．如

x

y 2就不是一个单项式． a 2是一个单项式，因为a 2可以看作是a ·a ．特别地，单独的一个数或单独的一个字母也都是单项式，如－3，0，35 ，x ，2x 等都是单项式 （2）单项式次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．

说明：在单项式中，系数只与数字因数有关；次数只与字母有关．如x 3yz 4的系数是1，次数为3＋1＋4＝8．

（4）多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．

（5）多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数． 说明：在确定多项式的次数时，应先计算出多项式的每一项的次数，次数最大的项的次数作为该多项式的次数．如，多项式x 3－x 2y 2＋x 中，单项式x 3的次数是3，单项式－x 2y 2的次数是4，单项式x 的次数是1，所以多项式x 3－x 2y 2＋x 的次数是4．

（6）多项式的项数：一个多项式中有几个单项式就有几项．每一个单项式就是一项。 说明：多项式的项，包括符号．如多项式5－3x 2中，二次项是－3x 2．

（7）常数项的定义： 在多项式中，不含有字母的项叫做多项式的常数项。

（8）降幂排列： 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列．

（9）升幂排列 ：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．

说明：把多项式按升幂或降幂排列时，一定要弄清是针对哪个字母的排列，排列时只看这个字母的指数，而后按照加法交换律交换项的位置．对于不同的字母，排列后的顺序往往不同，切记重新排列多项式时，各项一定要带着符号移动位置．如：

x 3＋2x 4y －7xy 3－y 4－7＝2x 4y ＋x 3－7xy 3－y 4－7 ①

＝－7－y 4－7xy 3＋x 3＋2x 4y ② ＝－y 4－7xy 3＋2x 4y ＋x 3－7 ③ ＝－7＋x 3＋2x 4y －7xy 3－y 4 ④ 其中，①是按x 的降幂排列；②是按x 的升幂排列；③是按y 的降幂排列；④是按y 的升幂排列．

（10）整式的定义： 单项式和多项式统称整式．

说明：知道一个代数式，不论是单项式还是多项式，都一定是整式；反之，如果已知一个代数式是整式，那么它或者是单项式，或者是多项式，二者必具其一．如单项式－3x 2，x 等都是整式，多项式3－x ，－x 3－x ＋1等都是整式；在整式2x ，x 4－1中，2x 是单项式，x 4

－1是多项式．

探究引导：

216

b π是二次单项式，这里要注意π是一个常数，不是一个字母，所以单项式中只有一个字母b ，它的指数是2，216b π就是一个二次单项式。 代数式4a －4b 是单项式4a,－4b 的和，像这样的几个单项式的和所形成的代数式，我们把它叫做多项式.，每个单项式就是这个多项式的一项，多项式4a －4b 中的项是4a 和－4b ，要注意多项式的项包括符号，所以第二项是－4b 。

在一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.

13x 2y 这一项在13

x 2y+2y －1中次数最高，因此我们把13x 2y 的次数3作为多项式13x 2y+2y －1的次数，即13x 2y+2y －1是一个三次三项式。

二、方法频道 由解题理解知识，由知识学会解题

1. 对单项式、多项式、整式进行判断

例1 判断下列各代数式，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些不是整式．

(1)－3xy 2； (2)2x 3＋1； (3)2

1(x ＋y ＋1)； (4)－a 2； (5)0； (6)y x 2； (7)32xy ； (8)x 21； (9)x 2＋x 1－1； (10)1

1+x ； 解：单项式有：(1)－3xy 2，(4)－a 2，(5)0，(7)

32xy ； 多项式有：(2)2x 3＋1，(3)2

1 (x ＋y ＋1)； 不是整式的有：(6)y x 2，(8)x 21，(9)x 2＋x 1－1，(10)1

1+x ．

知识体验：只有数字与字母的乘积，这样的代数式是单项式，几个单项式的和组成多项式，单项式和多项式都是整式。在数字和字母之间只出现了乘法、加法、减法（可转化为加法）的运算，这样的代数式就是整式。没有出现2÷x 即

x 2,或x÷2即2x 这样的式子，那么2x ,x 2是整式吗？2x 可以写成21·x,所以2x 是单项式，而2x

是数字与字母的商，所以不是单项式，更不是整式，所以整式最显著的特征是字母不能作分母。所以(6)

y x 2；(8)x 21；(9)x 2＋x 1－1；

(10)1

1+x ；这几个代数式分母中含有字母，就不是整式。

例2、 填空：

（1）多项式2x 4-3x 5-2π4是 次 项式，最高次项的系数是 ，四次项的系数是 ，常数项是 ，补足缺项后按字母x 升幂排列得 ；

（2）多项式a 3-3ab 2+3a 2b-b 3是 次 项式，它的各项的次数都是 ，按字母b 降幂排列得 .

解：（1）五，三，-3，2，－2π4，-2π4+0x+0x 2+0x 3+2x 4-3x 5;

（2）三，四，3，-b 3-3ab 2+3a 2b+a 3.

解题技巧：多项式应看作是省略括号的和的形式．因此，当确定多项式的项时，应包括符号．另外，圆周率π是一个常数．回答多项式是几次几项式时，数字要大写.如五次三项式，不能写成5次3项式.；补足缺项，是把升（或降）幂排列中缺少次数的项的系数用零表示补入式中.，移动多项式的某一项的位置时，要连同前面的符号一起移动.，对含有两个以上字母的多项式，一般按其中的某一个字母的指数大小顺序排列，本题是按规定的字母指数大小排列。

三、例题频道

（一）题型分类全析

1、与代数式有关的题型

例1. 用代数式表示：

（1）把温度是t ℃的水加热到100℃，水温升高了___________℃。

（2）一个两位数，个位数字是a ，十位数字是b ，则这个两位数可表示为___________。

（3）用字母表示两个连续奇数为___________。

（4）若正方体的棱长是a －1，则正方体的表面积为___________。

（

思维直现：（1）温度差别就是末了温度－初始温度；（2）一个两位数的表示方法：十位数字×10＋各位数字；（3）连续奇数之间相差2；（4）正方体的表面积＝棱长×棱长×6； 解：（1）（100－t ）

（2）10b ＋a

（3）2n －1，2n ＋1（n 为整数）

阅读笔记：用代数式表示，要仔细读题，找到题目中的等量关系，将需要表示的量表达出来，书写代数式时要注意：（1）数与字母、字母与字母相乘时乘号省略不写，数字要写在字母前面，如10b ＋a ；数字因数是1或－1时，“1”省略不写，如（100－t ）；（2）带分数与字母相乘时要化成假分数，如：ab 2

11要写成ab 2

3的形式；（3）除号要改写成分数线，如：a ÷b 要写成b a ；（4）书写单位时要把代数式用括号括起来，如（12ab ＋2R π）平方米。