第九章 重积分自测题及解答
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第九
重积分自测题及解答
一、选择题
1．设),(y x f 连续，且⎰⎰+=D
dudv v u f xy y x f ),(),(，其中D 是由0=y ，2x y =，
1=x 所围成区域，则),(y x f 等于（ C ）
（A ）xy ； （B ）xy 2； （C ）8
1
+xy ； （D ）1+xy 。
解：设⎰⎰=D
dudv v u f b ),(（常数）。在D 上对⎰⎰+=D
dudv v u f xy y x f ),(),(两边积分得：
b dy dx b ydy xdx dxdy b xydxdy b x x D
D
3
1
1212
2
10
10
+=
+=+=⎰
⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰，解得81=b ，
故8
1
),(+=xy y x f 。
2．二次积分⎰⎰
ϕρρϕρϕρϕ
πcos 0
)sin cos d ,f(d 可以写成（ D ）
（A ）⎰
⎰-2
1
y y f(x,y)dx dy ； （B ）⎰
⎰-2
1 0
1
0 y f(x,y)dx dy ；
（C ）⎰⎰1
1 0
f(x,y)dy dx ； （D ）⎰
⎰-2
1
x x f(x,y)dy dx 。
3．设)(u f 为连续函数，3{(,)1, 1 }D x y x y x =≤≤≥-，
dxdy y y x f x x I D
⎰⎰++=]sin )([22，则I =（ B ）
（A ）32-； （B ）32； （C ）0； （D ）2
3
。
4. .设2222:,0x y z a z Ω++≤≥，则d z v Ω
≠⎰⎰⎰（ C ）
(A).
222
d d d x y a x y z +≤⎰⎰ (B).20
d d d a
r r z πθ⎰⎰
(C). 222
d d d a
x y a z
x y +≤⎰⎰⎰ (D).2320
d d sin cos d a
r r ππ
θϕϕϕ⎰⎰⎰
5. 设Ω由z =z =()x z dv Ω
+⎰⎰⎰=（ ）
（A ）0； （B ）
8π； （C ）8π-； （D ）4
π
6. Ω 是由曲面
22
,1,4x y z z z +===围成的区域，在柱面坐标系下(,,)d d d f x y z x y z Ω
=⎰⎰⎰ ( C )，其中f 为连续函数.
(A)
244
1
d d (cos ,sin ,)d f z z
πθρρρθρθ⎰
⎰⎰;
(B)
2
244
1d d (cos ,sin ,)d f z z
πρθρρρθρθ⎰⎰⎰
;
(C)
21
4
1
d d (cos ,sin ,)d f z z πθρρρθρθ+⎰
⎰⎰224
4
1
d d (cos ,sin ,)d f z z
π
ρ
θρρρθρθ⎰⎰⎰;
(D)
2440
1
1
d d (cos ,sin ,)d f z z πθρρρθρθ+⎰
⎰⎰214
1
d d (cos ,sin ,)d f z z
πθρρρθρθ⎰
⎰⎰
7. . 如图，正方形{}(,)||1,||1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域(1,2,3,4)k D k =，
cos k
k D I y xdxdy =⎰⎰，则max k k
I =( A )
(A)1I ; (B) 2I ; (C) 3I ; (D) 4I .
二、填空题
1．计算下列积分 （1）
⎰⎰≤+=+1
2
)(y x dxdy y x 3
1 。 解：
3
1
44
)(1021
,01
21
12
1
2
===+
=
+⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-≥≥≤+≤+≤+≤+x y x y x y x y x y x dy x dx dxdy x ydxdy dxdy x dxdy y x 。 （2）=
⎰⎰1 51 0
3
1
cos y
dx x y dy sin1 20
3
。 解：⎰
⎰⎰
⎰=3 0
511 0 1 3511
cos cos x y dy x y dx dx x y dy 1sin 203)(cos 203cos 431 0 551 0 54===
⎰⎰x d x dx x x 。 （3）=-⎰⎰y dx x x
dy 221 1
sin cos1cos2-。 解：该积分不是二重积分的二次积分。
1cos 2cos sin 1sin 1sin 1
sin 21 121 2
2
1 2
2
1 -=-=--=--=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xdx dy x x dx dx x x dy dx x x
dy x y y 换序。
2．⎰
⎰⎰⎰-+=2
40
2
1
30
10
),(),(x x
dy y x f dx dy y x f dx I 在极坐标系下的二次积分
为=
I ⎰
⎰
ρρϕρϕρϕπ
20
30 )sin ,cos (d f d 。
3.交换积分顺序 2
31
3
20010
d (,)d d (,)d x
x x f x y y x f x y y -+=
⎰⎰⎰
⎰
1320
d (,)d y y f x y x -⎰.
三、解答题
1．设区域D 为222R y x ≤+，求
dxdy b y a x D
⎰⎰+)(22
22。
解法1：D 关于直线x y =对称，利用轮换对称性化简计算。