经济数学微积分 第二版第三章 第六节边际与弹性
微积分I课程边际与弹性
lim ( y x) lim ( y x0 )
y x0 0
x0
x0 x y0
=
f
x0 (x0 )
f
(x0 )
Ey Ex
x x0
由极限与无穷小量的关系有
y x Ey ，且 lim 0
y0 x0 Ex xx0
x0
所以 y Ey x y0 Ex xx0 x0
故
Ey Ex
x x0
表示在点x
(6) 1.2 1,说明当P 6时，需求变动的幅度
大于价格变动幅度，即P 6时，价格上涨1%， 需求下降1.2%为富有弹性
(2)供给价格弹性 设某商品的供给函数为Q Q(P), 其中Q为 供给量，P为价格，供给对价格的弹性为：
EQ P Q(P) EP Q(P)
一般情况下 EQ 0,即供给量会随价格的升高 EP
当销售量为Q 时，销售Q 前最后一个
0
0
单位商品所增加的利润
L(Q) R(Q) C(Q)
L(Q) R(Q) C(Q)
厂商理论：R(Q) C(Q) 此时，L(Q) R(Q) C(Q) 0 即再增加销量时不会增加利润， 此时利润达到最大.
例3.设某商品的需求函数为P 10 Q ,总成本 5
§3.6 边际与弹性 一、边际的概念 二、弹性函数
• 在经济活动中，经常需要考虑一项指标的变化给 其他指标带来的影响，如产量的变化对成本、收 益、利润的影响，价格的变化对需求量、销售量 的影响等。将这些经济指标建立数学模型，利用 导数的特性去研究它们之间的关系，这就是本次 课的内容。
一、边际的概念
x0处，当x产生1%的
改变时，y f (x)相应改变 Ey % Ex xx0
例4.求函数y 100e3x的弹性函数 Ey 及 Ey Ex Ex x2
导数与微分第六节 经济活动中的边际分析与弹性分析
9 15e 3
3
p9
该结果说明在9千元价格水平上， 价格若增加1%，
该商品的需求量将下降3%.
2. 供给价格弹性
对供给价格函数 Qs g( p) 的弹性分析，与需求价格弹性
的分析一样，可推出商品在 p0 处的供给价格弹性为
g
(
p0
)
g
p0 ( p0
)
记为
gE ( p) PE
，在经济学中常记为 Es
第六节 经济活动中的边际分析 与弹性分析
由导数概念可知，函数在某一点处的导数就是 函数在该点的变化率.它描述了函数在某点的变化 情况.在经济学中,经常需要研究经济函数的绝对变 化率与相对变化率问题.这类问题如何求解？
一、边际分析
二、弹性分析
一、边际分析 供给函数、需求函数、成本函数、利润函数等这 些经济问题讨论中所涉及的函数, 称为经济函数. 在经济数学中, 把导函数 f (x)称为边际函数. 常用的边际函数有三个，即边际成本函数、边际 收益函数、边际利润函数。
TC (100 ) 2000 45 100 0.02 100 2 6700
（2）当产量为100吨时的平均成本
AC(100) 6700 67 100
（3）当产量从100吨增加到200吨时，总成本的平均变化率
Q 200 100 100
，
TC TC(200) TC(100) 2000 45 200 0.02 2002 6700 5100
lim ( Qd p0 p
p0 ) f ( p0 )
f ( p0 )
p0 f ( p0 )
p0
称为该商品在 p0 处的需求价格弹性，记为
第6节 边际与弹性
C (900) 1) C (900) 1775 C (900) 1.97 900 C (Q) C (1000) C (900) 2) 1.58 Q 1000 - 900
3) C(900) 1.5
生产900个单位 , 增加 ( 减少)1个单位产品 , 成本将增加 ( 减少)1.5
二、经济学中常见的边际函数
1.边际成本 1 边际成本 : 总成本函数C Q 的导数C (Q ) 2 边际平均成本 : 平均成本C Q 的导数 C (Q)Q C Q C Q C Q 2 Q Q 3 一般情况下，C Q C0 C1 Q ， 则C (Q ) C1 Q .
四、经济学中常见的弹性函数
1.需求弹性 : 设需求函数Q f P 在P处可导,
dQ P dQ P 则在P处需求弹性为 Ed ( ( P) ) dP Q dP Q
经济含义 : Q f P 在P处, 价格每上涨1%, 需求就减少 ( P )%; 价格每下降1%, 需求就增加 ( P )%.
(1) 当 1, 在价格 P 处, 价格每上涨 1%, 收益增加
收益减少
(1- ) %
| (1- ) | %
(2) 当 1, 在价格 P 处, 价格每上涨 1%,
(3) 当 1, 总收益最大
p 例4：设某商品需求函数 Q f ( p ) 12 2 试求：
(1)p=6时价格上涨1％，总收益将变化百分之几？
2
y / y0 x / x0
称为f ( x)从x0到x0 x两点间的
平均相对变化率或两点间的弹性.
2.弹性
y / y0 1 lim 称为f ( x)在x0处的相对变化率或弹性， x 0 x / x 0 Ey 记作 Ex E 或 f ( x0 ). Ex x x0
边际、弹性分析经济数学建模课件
一、边际分析边际的概念.如果一个经济指标y 是另一个经济指标x 的函数)(x f y =，那么当自变量有改变量x ∆时，对应有函数的改变量y ∆.在经济学中，当自变量在x 处有一个单位改变量时，所对应的函数改变量为该函数所表示的经济指标在x 处的边际量.例如当生产量在x 单位水平时的边际成本，就是在已生产x 单位产品水平上，再多生产一个单位产品时总成本的改变量，或者可以说是再多生产一个单位产品所花费的成本.设x 的改变量为x ∆时，经济变量y 的改变量为y ∆=)()(x f x x f -∆+，则相应于x ∆,y 的平均变化率是xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( 由边际的概念，在上式中取1=∆x 或1-=∆x 就可得到边际量的表达式.但边际概念的定义和计算使我们想到能否用函数)(x f y =的导数作为y 的边际量呢？如果按纯粹的数学概念来讲，似乎行不通，因为导数定义要求自变量增量必须趋向于零，而实际问题中自变量x 的经济意义通常是按计件的产量或销量作为单位的，改变量为小数且趋于零不合乎实际.但我们可以这样考虑，对于现代企业来讲，其产销量的数额和一个单位产品相比是一个很大数目，1个单位常常是其中微不足道的量，可以认为改变一个单位的这种增量是趋近于零的.正是这个缘故，在经济理论研究中，总是用导数xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0表示经济变量y 的边际量，即认为)(x f '的经济意义是自变量在x 处有单位改变量时所引起函数y 的改变数量.1．边际成本在经济学中，边际成本定义为产量为x 时再增加一个单位产量时所增加的成本.成本函数的平均变化率为xx C x x C x C ∆-∆+=∆∆)()( 它表示产量由x 变到x +x ∆时，成本函数的平均改变量.当成本函数()C x 可导时，根据导数定义，成本函数在x 处变化率为xx C x x C x C x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 在经济上我们认为)(x C '就是边际成本.因此，边际成本)(x C '是成本函数)(x C 关于产量x 的一阶导数.，它近似等于产量为x 时再生产一个单位产品所需增加的成本，即)()1()()(x C x C x C x C -+=∆≈'在实际问题中企业为了生产要有厂房、机械、设备等固定资产，在短期成本函数中作为固定成本0C ，它是常数，而生产中使用劳力，原料、材料、水电等方面的投入随产量x 的变化而改变，生产的这部分成本是可变成本，以)(1x C 记，于是成本函数可表示为)()(10x C C x C +=此时边际成本为)()()()(110x C x C C x C '='+'=' 由此，边际成本与固定成本无关，它等于边际可变成本.在实际经济量化分析问题中，经常将产量为x 时的边际成本)(x C '和此时已花费的平均成本xx C )(做比较，由两者的意义知道，如果边际成本小于平均成本，则可以再增加产量以降低平均成本，反之如果边际成本大于平均成本，可以考虑削减产量以降低平均成本.由此可知，当边际成本等于平均成本时可使产品的平均成本最低.2．边际收入和边际利润在经济学中，边际收入定义为销量为x 时再多销售一个单位产品时所增加的收入.设收入函数)(x R R =是可导的，收入函数的变化率是xx R x x R x R x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 同边际成本道理一样，我们认为)(x R '就是边际收入.因此，边际收入)(x R '是收入函数)(x R 关于产量x 的一阶导数.，它近似等于销量为x 时再销售一个单位产品所增加（或减少）的收入.即)()1()()(x R x R x R x R -+=∆≈'设利润函数为)(x L L =，由于利润函数是收入函数与成本函数之差，即)()()(x C x R x L -=则边际利润是)()()(x C x R x L '-'='因此，边际利润)(x L '是利润函数)(x L 关于产量x 的一阶导数，它近似等于销量为x 时再销售一个单位产品所增加（或减少）的利润.在经济学中还经常用到边际效用，边际产量、边际劳动生产率等概念，它和边际成本、边际收入、边际利润的经济解释方法大同小异，在此不再阐述.下面用具体例子说明边际概念在实际问题中的意义和作用.例 1 设某企业的产品成本函数和收入函数分别为52003000)(2x x x C ++=和20350)(2x x x R +=，其中x 为产量，单位为件，)(x C 和)(x R 的单位为千元，求：（1）边际成本、边际收入、边际利润；（2）产量20=x 时的收入和利润，并求此时的边际收入和边际利润，解释其经济意义.解 由边际的定义有（1）边际成本 x x C 52200)(+=' 边际收入 10350)(x x R +=' 边际利润 x x C x R x L 103150)()()(-='-'=' （2）当产量为20件时，其收入和利润为702020)20(20350)20(2=+⨯=R （千元） 6070807020)20()20()20(-=-=-=C R L （千元）其边际收入与边际利润为3521020350)20(=+='R （千元/件）144208352)20()20()20(=-='-'='C R L （千元/件）上面计算说明，在生产20件产品的水平上，再把产品都销售的利润为负值，即发生了亏损，亏损值为60千元；而此时的边际收入较大，即生产一件产品收入为352千元，从而得利润144千元.这样以来，该企业的生产水平由20件变到21件时，就将由亏损60千元的局面转变到盈利8460144=-千元的局面，故应该再增加产量.二、弹性分析一个简单引例.设2x y =，当x 由10变到11时，y 由100变到121.显然，自变量和函数的绝对改变量分别是x ∆=1，y ∆=21，而它们的相对改变量xx ∆和y y ∆分别为 x x ∆=%10101= y y ∆=%2110021= 这表明，当自变量x 由10变到11的相对变动为10%时，函数y 的相对变动为21%，这时两个相对改变量的比为1.2%10%21==∆∆=x x y yE 解释E 的意义：x =10时，当x 改变1%时，y 平均改变2.1%，我们称E 为从x =10到x =11时函数2x y =的平均相对变化率，也称为平均意义下函数2x y =的弹性.这个大小度量了)(x f 对x 变化反应的强烈程度.特别是在经济学中，定量描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度对科学决策至关重要.如果极限00000000/)(/)]()([lim /)(/limx x x f x f x x f x x x f y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆ 存在，则称此极限值为函数)(x f y =在点x 0处的点弹性，记为x x Ex Ey =，=∆∆⋅=→∆=x y x f x Ex Ey x x x )(lim 0000)()(000x f x f x ' 称)()(x f x f x Ex Ey '=为函数)(x f y =在区间Ⅰ的点弹性函数，简称弹性函数.而称00000/)(/)]()([/)(/x x x f x f x x f x x x f y ∆-∆+=∆∆ 为函数)(x f y =在以x 0与x 0+x ∆为端点的区间上的弧弹性.弧弹性表达了函数)(x f 当自变量x 从x 0变到x 0+x ∆时函数的平均相对变化率，而点弹性正是函数)(x f 在点x 0处的相对变化率.例2 求指数函数)1,0(≠>=a a a y x 的弹性函数.解 因为a a y x ln ='所以a x ax a a y x y Ex Ey x x ln ln =⋅='=.1. 需求弹性函数的弹性表达了函数)(x f 在x 处的相对变化率，粗略来说，就是当自变量的值每改变百分之一所引起函数变化的百分数.需求弹性就是在需求分析中经常用来测定需求对价格反应程度的一个经济指标.设某商品的市场需求量Q 是价格p 的函数：)(p Q Q =，)(p Q 是可导函数，则称Q Qp p Q p Q p Ep EQ '='=)()( 为该商品的需求价格弹性，简称为需求弹性，记为p ε.可以这样解释p ε的经济意义；当商品的价格为p 时，价格改变1%时需求量变化的百分数.为什么不使用变化率而要使用这种相对变化率来表达价格改变对需求量的反应呢？由弹性定义看到，弹性与量纲无关，需求弹性与需求量和价格所用的计量单位无关.以对水果的需求为例，在我国将以m 公斤/元来度量，在美国将以n 公斤/美元来度量，这就无法比较两国需求对价格的反应.正因为弹性可不受计量单位的限制，所以在经济活动分析中广泛采用，除需求价格弹性，还有收入价格弹性,成本产量弹性等.由经济理论知道，一般商品的需求函数为价格的减函数，从而0)(<'p Q ,这说明需求价格弹性p ε一般是负的.由此，当商品的价格上涨（或下跌）1%时，需求量将下跌（或上涨）约%p ε，因此在经济学中，比较商品需求弹性的大小时，是指弹性的绝对值p ε,一般在经济分析中将需求弹性记为p p εε-=. 当1=p ε时，称为单位弹性，此时商品需求量变动的百分比与价格变动的百分比相等；当1>p ε时，称为高弹性，此时商品需求量变动的百分比高于价格变动的百分比，价格的变动对需求量的影响比较大；当1<p ε时，称为低弹性，此时商品需求量变动的百分比低于价格变动的百分比，价格的变动对需求量影响不大.在商品经济中，商品经营者关心的是提价（0>∆p ）或降价（0<∆p ）对总收入的影响，利用需求弹性的概念，可以对此进行分析.设收入函数为R ，则pQ R =，此时边际收入为Q p Q p R '+=')()1(Q Qp Q '+=)1(p Q ε+= （2） 当p ∆很小时,有p Q p p R R p ∆+=∆'≈∆)1()(ε p Q p ∆-=)1(ε （3）由此可知，当1>p ε（高弹性）时，商品降价时(0<∆p )，0>∆R ，即降价可使收入增加，商品提价时(0>∆p )，0>∆R ，即提价将使总收入减少. 当1<p ε（低弹性）时，降价使总收入减少，提价使总收入增加. 当1=p ε（单位弹性）时，0=∆R ，提价或降价对总收入无影响. 上述分析使我们看到,根据商品需求弹性的不同,应制定不同的价格政策,以使收入快速增长.例3 设某种产品的需求量Q 与价格p 的关系为p p Q )41(1600)(= （1）求需求弹性；（2）当产品的价格10=p 时再增加1%，求该产品需求量变化情况.解 （1）由需求弹性公式'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅='=p pp p Q Q p )41(1600)41(1600ε p p 39.141ln -≈= 需求弹性为-1.39p ，说明产品价格p 增加1%时，需求量Q 将减少1.39p %.（2）当产品价格10=p 时,有9.131039.1-=⨯-=p ε这表示价格10=p 时，价格增加1%，产品需求量将减少13.9%；如果价格降低1%，产品的需求量将增加13.9%.这也表明此商品的需求弹性是高弹性的，适当降价会使销量大增.例4 已知某企业的产品需求弹性为2.1，如果该企业准备明年降价10%，问这种商品的销量预期会增加多少？总收益预期会增加多少？题中价格的改变量是相对量,所以所求的销量和总收益的改变也采用相对改变量.解 由需求函数弹性定义知，当p ∆较小时pQ Q p dp dQ Q p p ∆∆⋅≈⋅=ε 即p p Q Q p ∆≈∆ε故当1.2=p ε，1.0-=∆pp 时，有 %21)1.0(1.2=-⨯-≈∆QQ 因为R =PQ ，由(3)式有p Q p Q R R p ∆⋅-≈∆)1(εpp p ∆-=)1(ε 当1.2=p ε时，有%11)1.0()1.21(=-⨯-≈∆RR 可见，明年企业若降价10%，企业销量将增加21%，收入将增加11%.（注：素材和资料部分来自网络，供参考。
经济数学课件 3.6边际与弹性
解: 因为y 3x 2 2, 所以 y x2 14, 即边际函 数值为14。 它表示函数 y在x 2处，当 x 改变一个单位时，函数 y 近
似地改变14个单位。
《经济数学基础》配套课件
边际成本的定义
设成本函数C C(q) 可导（其中 C表示总成本， q 表示产量）， 则其边际函数 C C(q)称为边际成本函数，简称边际成本。C(q0 ) 称为当产量为 q0时的边际成本。
经济意义：销售量达到 q0时，如果销售量增减一个单位产品，则 收益相应增减 R(q0 )个单位。
《经济数学基础》配套课件
边际利润的定义 设利润函数 L L(q) 可导，则其边际函数 L L(q) 称为边际
利润。L(q0 ) 称为当产量为 q0 时的边际利润。 经济意义：当产量达到q0 时，如果增减一个单位产品，则利
设函数
f (x) 在点
x
处可导，称极限
lim
x0
x
x 为函数
f (x)
的弹性函数，记为 E(x) ，即
E(x) lim y x f (x) x
x0 x y
f (x)
《经济数学基础》配套课件
在点 x x0处，弹性函数值
E(x0 )
f (x0 )
x0 f (x0 )
称为函数
f (x)
在点
记为 p 。
《经济数学基础》配套课件
例3
某商品的需求函数为 Q 400 100 p ，求：p 1, 2,3 时
的需求价格弹性，并给出经济解释。
解： 由 dQ 100 可得
dp
p
dQ dp
p Q
100 p 400 100 p
当
p
1时，|
边际与边际分析_经济数学——微积分（第2版）（微课版）_[共3页]
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第２章 一元函数微分学———导数、微分及其应用７１ ６．用对数求导法求下列函数的导数．（１）狔＝（１＋狓２）ｓｉｎ狓 （２）狔＝（ｃｏｓ狓）２狓（３）狔＝（狓２＋１）３（狓＋２）２ （４）狔＝（２狓＋１）２３２－３槡狓狓槡＋２７．设方程狔－狓ｅ狔＝１确定了隐函数狔＝狔（狓），求狔′（０），并求曲线上横坐标狓＝０点处的切线方程与法线方程．８．求下列函数的二阶导数．（１）狔＝狓５＋３狓２＋２ （２）狔＝ｅ２狓－３ （３）狔＝１－狓槡２（４）狔＝１狓２＋１（５）狔＝狓ｅ狓２ （６）狔＝ｌｎ（１－狓２）９．设函数狔＝狔（狓）由方程ｅ狔＋狓狔－ｅ＝０确定，求狔″．１０．设函数犳（狓）存在二阶导数，求狔＝ｌｎ犳（狓）的二阶导数ｄ２狔ｄ狓２．２ ３ 导数在经济学中的简单应用边际与边际分析 学习要求１．理解边际、弹性的经济含义．２．会计算经济函数的边际和弹性．３．会对经济函数进行边际分析和弹性分析．2．3．1 边际与边际分析在经济分析中，常碰到变化率的问题，通常用“边际”这个概念来描述因变量相对于自变量变化的快慢情况．设经济函数狔＝犳（狓）可导，反映一个经济变量狔相对于另一个经济变量狓的变化率，即Δ狔Δ狓或ｌｉｍΔ狓→０Δ狔Δ狓称为经济变量狔的边际（函数）．Δ狔Δ狓是平均意义上的边际，表示狓产生１个单位的变化时，狔将改变Δ狔个单位．ｌｉｍΔ狓→０Δ狔Δ狓是自变量在狓处的边际，由导数的定义可知ｌｉｍΔ狓→０Δ狔Δ狓＝犳′（狓）在经济学中，犳′（狓）在狓０处的值犳′（狓０）称为边际函数值．当给自变量狓在狓０处变化１个单位即Δ狓＝１时，函数的增量为犳（狓０＋１）－犳（狓０）．由于在实际的经济问题中，狓一般是一个比较大的量，而。
经济学中边际与弹性的数学定义及实际意义
经济学中边际与弹性的数学定义及实际意义摘要：边际与弹性是导数在经济学中的一个重要应用，是微分学在经济分析中一种有效可行的方法。
文章从经济数学中边际和弹性的数学定义出发，结合实际通俗的解释了边际和弹性的意义。
关键词：边际；弹性；定义1 整体分析2 从实例来解释边际和弹性先看边际，比如可以研究产品的边际成本，边际受益来衡量工厂合适的生产量，还有边际效用也是解决实际问题或解释实际问题常用的方法。
比如农民一年收获了袋谷子，第一袋谷子用来维持一个月的生活，效用为10，第二袋谷子可以卖掉使他生活水平提高，效用为8，第三袋谷子可以用来酿酒，效用为4，第四袋谷子可以用来喂宠物，效用为2。
第一袋谷子的效用最高，后面依次递减。
很多实际的问题都用到了边际分析法，比如长途汽车即将出站出发时，有一名乘客要求以票价的一半价格上车，售票员考虑之后还是让他上车了。
咋一看，我们会觉得长途车车主亏了，但实际上我们应该考虑的是边际成本和边际收益这两个概念。
在这个例子中，增加这一名乘客，所需汽油费、工作人员工资、过路费和汽车的磨损等几乎都不会增加，即长途车所增加的成本几乎为0，即边际成本约等于0元。
但是增加这一名乘客，长途车车主的收入增加了乘客所付的钱（票价的一半），即边际收益为票价的一半。
这样分析的话长途车车主还是得利了。
又比如在食品保鲜技术还不是非常发达的上世纪，乳品商面对当日无法全部售完的新鲜牛奶，是选择极低价促销还是全部掉入阴沟？众多的商家选择了后者。
这与以上所提到的坐车案例处理方法截然不同。
难道那时的商人不懂得边际分析？可想而知不是。
在商人的算盘中，并不仅是计算着今天的收益，他们所要考虑的是最为重要的：今天的极低价促销对于日后的牛奶价格会产生什么影响！因为今日的低价促销所获得的较少收益足不以弥补日后由于牛奶单价的降低所带来的亏损（原本购买正价牛奶的消费者亦选择在低价促销时购买）。
可见，关于边际分析法应用讨论还需继续。
弹性使用的范围也非常广，商品可分为弹性商品和非弹性商品，弹性商品是指商品的价格变动会带动需求量跟着会发生很大的变化，比如奢侈品就是弹性商品。
第三章导数微分边际与弹性资料
第三章导数微分边际与弹性资料微积分教案第三章导数、微分、边际与弹性第⼀节导数概念教学⽬的与要求：理解导数概念，意义教学重点（难点）：对导数概念理解，及其与连续的关系⼀、引例⼆、导数的定义xyx f x ??='→?00lim)(0000)()(lim )f()(lim0x x x f x f x x x x f x x x --=?-?+=→→?xx f x x f x f x ?-?+='→?)()(lim)(0左导数00000)()(lim )f()(lim )(0-x x x f x f x x x x f x f x x x --=?-?+='-→→?- 右导数00000)()(lim )f()(lim )(0x x x f x f x x x x f x f x x x --=?-?+='++→→?+ ∴ A x f x f A x f ='='?='+-)()()(000三、导数的⼏何意义曲线()x f y = 在点()00,y x 处切线：()()000x x x f y y -'=-例1 讨论??)(x x x x x f 在x = 0处可导性.解：∵ (0)01sinlim )(lim 0f xx x f x x ===→→，)(x f 在x = 0连续 x x f x f x x 1sin lim 0-(0)-)(lim00→→= 不存在 , ∴)(x f 在x = 0不可导例2 已知)(0x f '存在，则 =+→hx f h x f h )(-)2(lim000)(20x f /=--→hx f h x f h )()5(lim000)(50x f /-h h x f h x f h )()3(lim000--+→==----+→])()()()3([lim 00000hx f h x f h x f h x f h )(40x f '例3 设函数)(x f 可微，则=-+→xx f x x f Δx Δ)()Δ(lim 220)()(2x f x f '例4 设 ??>+≤=0)(02x b ax x x x x f020l i m )(l i m x x x f --x x x x ==→→； b ax b ax x f x x x x +=+=++→→00lim )(lim ∴ 20x b ax =+①02200000lim )()(lim )(x-x x x x-x x f x f x f x x x x -=-='--→→-002lim 0x x x x x =+=-→ a x-x ax-ax x-x b-x ax x-x x f x f x f x x x x x x ==+=-='+++→→→+0 020000000lim lim )()(lim )(∵ )(0x f '存在∴ 02x a =。
经济数学中的边际与弹性分析
经济数学中的边际与弹性分析朱文涛（健雄职业技术学院 商贸系，江苏 太仓 215411）摘 要：边际与弹性是经济数学中的重要概念, 是微分学在经济分析中应用的一种有效的方法。
本文从经济数学理论中的“边际”和“弹性”出发 ,对目前企业管理中常见的几个问题进行了数学化讨论和数学模型的建立 ,包括最低成本、最优利润和价格变动对销售收入的影响模型等。
关键词：边际；弹性；经济数学中图分类号：F224 文献标识码：A边际分析和弹性分析是经济数量分析的重要组成部分，是微分法的重要应用。
它密切了数学与经济问题的联系。
在分析经济量的关系时，不仅要知道因变量依赖于自变量变化的函数关系，还要进一步了解这个函数变化的速度，即函数的变化率，它的边际函数；不仅要了解某个函数的绝对变化率，还要进一步了解它的相对变化率，即它的弹性函数。
经过深层次的分析，就可以探求取得最佳经济效益的途径。
一、 边际及其经济意义边际作为一个数学概念, 是指函数y= f(x)中变量x 的某一值的“边缘”上y 的变化。
它是瞬时变化率, 也就是y 对x 的导数。
用数学语言表达为：设函数y= f(x)在(a, b)内可导, 则称导数)('x f 为f(x)在(a, b)内的边际函数；在0x 处的导数值)(0'x f 称为f(x)在0x 处的边际值。
根据不同的经济函数，边际函数有不同的称呼，如边际成本、边际收益、边际利润、边际产值、边际消费、边际储蓄等。
本文主要分析前三个边际函数的应用。
1、边际成本。
在经济学中,把产量增加一个单位时所增加的总成本或增加这一个单位产品的生产成本定义为边际成本 ,边际成本就是总成本函数在所给定点的导数，记作MC= C ′(q)。
2、边际收益。
是指销售量增加一个单位时所增加的总收益或增加这一个单位的销售产品的销售收入，是总收入函数在给定点的导数，记作MR= C′(q)。
3、边际利润。
对于利润函数L (q) = R(q) - C(q) ,定义边际利润为L′(q) = R′(q) –C′(q)=MR-MC ,表示指销售量增加一个单位时所增加的总利润或增加这一个单位销售量时利润的改变量。
微积分-经济数学-吴传生第三章-(6)专题市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
又平均函数为
f (x) x
tan ,因而
Ey Ex
tan m tan
若考虑弹性的绝对值， 则 Ey tan m Ex tan
如果我们知道了一条函 数y f ( x)所示的曲线，
则在曲线上任一点 A处对应的弹性，通过 A作
曲线AB的切线和线段OA，就可得夹角 m 和，
进而就可得 Ey . Ex
(3)生产 900 个单位的边际成本，并解释其
经济意义.
解 (1)生产900个单位时旳总成本为
C (Q )
1100 9002 1775
Q 900
1200
平均成本为
C (Q)
1775 1.99
Q900 900
（2）生产900个单位到1000个单位时总成本旳 平均变化率为
C(Q) C(1000) C(900) 1993 1775 1.58
解： (a)其纵轴截距a 0,故EP 1 (b)此函数与横轴相交(a 0)，故EP 1 (c)此函数与纵轴相交(a 0)，故EP 1
4. 收益弹性
ER dR P EP dP R
例1 某需求曲线为：Q 100P 3000，求 当P 20时的弹性．
解 dQ 100
dP
当P 20时，Q 1000
所以EP
100 20 1000
2.
(一)几种特殊旳价格弹性 从理论上来说，有下列四种特殊旳需求弹性：
(1)需求的价格弹性等于 0．也就是说，这种商品 完全 没有弹性，不管价格如 何变化，其需求量都不 发生 变化．这种商品的需求 曲线的图形是一条垂直 的直 线(图2 3a).
P
D
P
O
P
(a)
O QP
A
《高等数学B》 第三章 导数、微分、边际与弹性 第6节 边际与弹性
E (ba ) (4)指数函数 f ( x ) ba 的弹性 x ln a ; Ex E (b ln ax ) 1 ; (5)对数函数 f ( x ) bln ax的弹性 Ex ln ax (6)三角函数的弹性 E (sin x ) E (cos x ) x cot x ; x tan x . Ex Ex
则任意销量 Q处的边际收益为 R(Q ) 40 0.04Q ,
由于 R( 30) 38.8 , R(80) 36.8 , R(1200) 0 .
这些数值说明:
销售第31件商品时收益增加38.8 元; (此时总收益为R( 31) 1240 1.24 1238 .76 ) . 销售第 81 件商品时收益增加 36.8 元; 销售第1201件商品时收益减少了.
求量乘以进价为C(P) = Q 10 = 10(80 2P) , 因此 L( P ) 100P 2 P 2 800 , 则 L' ( P ) 100 4 P , 令其为零可解出 P = 25 , 而
L'' ( 25) 0 ,
因此, P = 25 元时 L最大 , 此时 L(25) = 450 (元) .
定义2 设函数 y = f (x) 在点 x x0处可导. 函数值的 相对改变量 y f ( x0 x ) f ( x0 ) , y0 y0 x 与自变量的相对改变量 的比 x0
y / y0 x / x0 称为函数y = f (x)从 x x0到 x x0 x两点间的弹性. 而极限 y / y0 lim , x 0 x / x 0
2Q , 令其为零可解出 Q = 20 . 边际利润为 L' (Q ) 8 5 又 L'' ( 20) 0 , 因此 Q = 20 时总利润最大。
经济数学-边际与弹性
P
1 P ln ( 2 ln 2) P 1.39 P . 4
例1 设函数 y x 2，试求 y 在 x 5 时的边际函数值． 解 因为 y 2 x ，所以 y x5 10．
该值表明：当 x 5 时，x 改变 1 个单位（增加 或减少 1 个单位） ，y 改变 10 个单位（增加或 减少 10 个单位） ．
边际收入与边际利润 在估计产品销售量 x 时, 给产品所定的价格 P ( x ) 称为价格函数, 可以期望 P ( x ) 应是 x的递减函数. 于是 收入函数 R( x ) xP ( x )
。 C C(Q) 1000 7Q 50 Q , Q 0,1000
求：(1)当日产量为 1000 吨时的边际成本； (2)当日产量为 1000 吨时的平均单位成 本。
5．某产品的价格 P 与需求量 Q 的关系为
Q P 10 5 ，求需求量为
30 时的总收益 R，平均收益
(a ) P Q 2 2Q （ 1 供给函数 ) (b)Q 36 2 P (需 求 函 数 )
3．就下列各平均函数求其边际函数。
46 18 (a) AC 1.5Q 4 (b) AC 0.1 0.5Q 0 Q Q
4．某化工产日生产能力最高为 1000 吨，每 日产品的总成本Ｃ(单元:元)是日产量 Q(单 元:吨)的函数：
需求弹性为负, 说明商品价格 P 上涨1%时, 商品需求
量 Q 将减少1.39%. (2) 当商品价格 P 10 (元)时,
3.6-4经济学中常见的弹性函数
经济学中常见的弹性函数第三章 导数 微分 边际与弹性第6节边际与弹性一、需求弹性经济学中常见的弹性函数1、需求的价格弹性需求的价格弹性是指当价格变化一定的百分比以后引起的需求量的反应程度.用公式表示为.0QP dP dQ Q P P Q Lim E p P ⨯=⨯∆∆=→∆注因为需求量与价格的变化总沿着相反的方向，需求的价格弹性算出来总是负值，为了讨论方便，取其绝对值。
另外，在实际应用中，也常用符号表示。
η例7解100-=dPdQ 100020==Q P 时，当.2100020100-=⨯-=P E 所以时的弹性．当，求某需求曲线为：203000100=+-=P P Q从理论上来说，有以下四种特殊的需求弹性：(1)0().a 需求的价格弹性等于．也就是说，这种商品完全没有弹性，不管价格如何变化，其需求量都不发生变化．这种商品的需求曲线的图形是一条垂直的直线图(2).b 需求的价格弹性为无穷大．它表明商品在一定价格条件下，有多少就可以卖掉多少；然而想把价格稍微提高一点点，就可能一个也卖不掉．这种商品的需求曲线为一条水平的直线（图）(3)1()c 单元弹性即需求曲线上各点的弹性均为，也就是说，在任何价格水平下，价格变动一个百分比时，需求量均按同样的百分比变化．这种商品的需求曲线是一条双曲线图．(4)()()()0()111d A EP B EP M EP AM EP MB EP =∞==><需求曲线是一条倾斜的直线图．在其上端点， ；在其下端点， ；需求曲线的中点， ；需求曲线的部分， 称之为弹性需求；需求曲线的部分， 称之为非弹性需求．二、供给弹性经济学中常见的弹性函数2、供给弹性定义：，则供给弹性弹性．设价格曲线通常指的是供给的价格)(P f Q =供给的价格弹性． ， 式中：--⨯=P P E QP dP dQ E解：.323,3PP Q P dP dQ E dP dQ P +=⨯==故时，当3=P .11933233=⨯+⨯=P E 823,3.Q P P =+=例设某产品的供给函数求供给弹性函数及当时的供给弹性三、收益弹性经济学中常见的弹性函数.－－收益的销售弹性EQER 3、收益弹性R P dP dR EP ER ⨯=RQ dQ dR EQ ER ⨯=收益的价格弹性；式中：--EPER912.P Q R ER EP ER EQdR P Q dP dR dQηη例设、、分别为销售总收益、商品价格和销售量，（）试分别找出收益的价格弹性，收益的销售弹性与需求的价格弹性之间的关系；（）试分别解出关于价格的边际收益，关于价格的边际收益与需求的价格弹性之间的关系解故，设,)()1(PQ R P f Q ==)(1)()(dP dQ P Q Q dP PQ d PQ P EP PQ E EP ER +=⋅==η-=⋅--=⋅+=1)(11dPdQ Q P dP dQ Q P dQPQ d P dQ PQ d PQ Q EQ PQ E EQ ER )(1)()(⋅=⋅==η1111)(1-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--=+=dP dQ Q P dQ dP Q P P，故知由η-=1)1()2(EP ER 得,1η-=⋅=⋅=dPdR PQ P dP dR R P EP ER (1)()(1)dR Q f P dP ηη=-=-，故又由η11)1(-=EQ ER 得η11-=⋅=⋅=dQ dR PQ Q dQ dR R Q EQ ER 1(1)dR P dQ η=-需求弹性与总收益（市场销售总额）的关系 当需求价格弹性大于1时，降价增加销售收入； 当需求价格弹性小于1时，降价反而会减少销售收入此时，需求变动的幅度大于价格变动的幅度，边际收益小于0，即价格上涨，总收益减少，价格下跌，总收益增加；此时，需求变动的幅度小于价格变动的幅度，边际收益大于0，即价格上涨，总收益增加，价格下跌，总收益减少； 当需求价格弹性等与1时，当价格的变化时，总收益不变．解22275275)2()1(P P P P P Q P dP dQ -=-⨯--=⨯-=η54.04==η时，P %54.0)(%1)(4增加，需求量减少下降价格上涨时，其经济意义是=P)1()1()1(ηηη-=-=-=PR P QP Q dP dR 由η-==1dPdR R P EP ER 即46.0)4(14=-==ηP EP ER 故%46.0%1时，总收益增加即当价格上涨（2）解法一（2）解法二)11()11()11(ηηη-=-=-=Q R Q PQ P dQ dR 由η11-==dQ dR R Q EQ ER 即)%54.011(4-==P EQ ER 故%46.0)%54.011(54.0,%1=-⨯总收益增加时则当价格上涨公式计算出来？再用收益的价格弹性的写出收益函数考虑：此题是不是可以)75(2P P PQ R -==THANK YOU。
《边际与弹性》PPT课件 (2)
x
由弹性的定义知：
E E
y x
y
x y
y y
边际函数 平均函数
x
弹性在经济学上又可理解为边际函数与平均函数之比。
3、 经济学中常见的弹性函数 ⑴需求 Q 对价格 p 的弹性
①定义 设商品的需求量Q是销售价格p的函数Q=Q(p)
Q 则称 Q为该商品在价格
p p
(弧弹性) 。
间(的p需, p求弹性p)
Ex x x0
x0 x x0
x0 x y0
f ( x0 )
x0 f ( x0 )
当x0为定值时，EE
y x
为定值，且当x 很小时，
x x0
Ey
y y0 ( 弧弹性)
Ex x x0
x x0
弹性函数的定义
一般的，若函数y f ( x)在区间内(a, b)可导，
且f ( x) 0，则称 Ey lim y / y lim y x y x
p
Ed
p Q Q
d ln Q d ln p
这种形式主要用于：
Q 当 只含有乘、除、乘方、开方时。
⑤需求弹性计算公式的另一种常用形式
Q d ln Q Ed p Q d ln p
1
如： Q 2 p 3
(1)Ed
p Q Q
2
p
4 3
(
1
)
p
3
1
1 3
2p 3
(2)lnQ ln 2 1 ln p 3
平均函数边际函数1933微积分微积分三三需求q对价格p的弹性定义经济学中常见的弹性函数设商品的需求量q是销售价格p的函数qqp为该商品在价格间的需求弹性2033微积分微积分三三定义epeq弹性点弹性记为时的需求价格为则称此极限为该商品在之比的极限存在2133微积分微积分三三点弹性的经济意义由于需求函数通常为价格的减函数故随着价格的上涨下跌需求量将减少增加即需求量变化方向与价格相反
第三章第六节边际与弹性
ER x R' ( x). Ex R( x)
它表示在产量为x的水平上，当产量增加1%时，总收益 R变化的百分数．
例4 某商品的需求函数为 p Q 10 . 2 求 ⑴需求价格弹性函数， ⑵当 p =5时的需求价格弹性并说明其经济意义， ⑶当 p =10时的需求价格弹性并说明其经济意义， ⑷当 p =15时的需求价格弹性并说明其经济意义. 解 ⑴按弹性定义：
小结:
1．边际分析 （1）边际的定义：f ' ( x) （2）常用的边际函数
C' ( x); 边际成本： Q' ( p); 边际需求： R' ( x); 边际收益： L' ( x). 边际利润：
2．函数的弹性
Ey x f ( x) （1）弹性的定义： Ex f ( x)
（2）常用的弹性
EC x C' ( x); 成本弹性： Ex C ( x)
3x
2 x 2
12,
x 改变1个单位，y 改变12个单位． 它表示当 x 2 时，
1．边际成本
（x为产量）的导数 C' ( x), 总成本函数 C C ( x)
称为产量为 x 单位时的边际成本．
边际成本C' ( x) 表示当产量为x时，再生产1个单
位产品时总成本将改变 C' ( x) 个单位． 2．边际需求
EQ p Q '( p); 需求弹性： Ep Q( p)
ER x R' ( x). 收益弹性： Ex R( x)
本节作业：131页 1(3) 2 10
函数的弹性
问：怎样用数学方法来描述弹性呢？
分析 绝对变化率
y , x 问：用绝对变化率能否描述商品对价格的灵敏度 的？ 例 商品 A 的单价为10元，涨价1元；商品 B 的 f ( x) lim
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2)边际平均成本：
平均成本 C (Q )的导数 C (Q ) QC (Q ) C (Q ) C ( Q ) 称为平均边际成本 . 2 Q Q
总成本 C (Q )等 于 固 定 成 本 C 0与 可 变 成 本 C 1 (Q )之 和 ， 即 ：C (Q ) C 0 C 1 (Q )
当 x 1时，标志着 x 从 x0 减小一个单位.
这表明 f ( x) 在点 x x0 处，当 x 产生一个单位的 改变时， y 近似改变 f ( x0 ) 个单位．在应用问题中解 释边际函数值的具体意义时往往略去 “近似” 二字．
定义1 设函数 y f ( x) 在 x 处可导，则称导数 f ( x)
在 x x0 处的相对变化率，也就是相对导数，或称为 函数 y f ( x )在 x x0 处的弹性．
记作
Ey Ex
或
x x0
E f ( x0 ) Ex
即
Ey Ex
x x0
y y0 y y0 lim lim x 0 x x x 0 x x0 0
4 函数弹性的图解方案
即 tan( m ) tan m (图2 2)
tan m f ( x) Ey 又平均函数为 tan ,因 而 x Ex tan tan m Ey 若考虑弹性的绝对值， 则 Ex tan 如果我们知道了一条函 数y f ( x )所 示 的 曲 线 ， 则在曲线上任一点 A处 对 应 的 弹 性 ， 通 过 A作 曲 角 m 和 ， Ey 进而就可得 . Ex
Ec (1)常数函数f ( x ) C的弹性 0 Ex E ( ax b ) ax ( 2)线性函数f ( x ) ax b的弹性 Ex ax b E ( ax ) ( 3)幂函数f ( x ) ax 的弹性 Ex x E ( ba ) x ( 4)指数函数f ( x ) ba 的弹性 x ln a Ex E ( b ln ax ) x ( 5)对数函数f ( x ) b ln ax的弹性 Ex ln ax E (sin x ) E (cos x ) ( 6)三角函数 x cot x , x tan x Ex Ex
2 常见函数的弹性（a,b,c,为常数）
3 弹性的四则运算
Ef 1 ( x ) Ef 2 ( x ) f ( x ) f ( x ) 1 2 E f 1 ( x ) f 2 ( x ) Ex Ex (1) Ex f1 ( x ) f 2 ( x ) f1 ( x ) E Ef ( x ) Ef ( x ) f ( x ) ( 2) 2 1 2 Ex Ex Ex f1 ( x ) E Ef ( x ) Ef ( x ) f ( x ) ( 3) 2 1 2 Ex Ex Ex
而边际成本则为：
C(Q) [C0 C1 (Q)] C1(Q)
这样可以看出，边际成本与固定成本无关．
例 2 设某产品生产Q 单位的总成本为 Q2 C ( Q ) 1100 1200 ， 求： (1) 生产 900 个单位的总成本和平均成本； (2) 生产 900 个单位到 1000 个单位时的总成 本的平均变化率； (3) 生产 900 个单位的边际成本，并解释其 经济意义 .
解
dQ 100 dP
当P 20时，Q 1000
20 所以E P 100 2. 1000
(一)几种特殊的价格弹性 从理论上来说，有以下四种特殊的需求弹性：
边 际函 数 y f ( x )的 几何 意 义为 所 示曲 线 上 各点 的 切线 斜 率，
y
A( x , f ( x ))
y f ( x)
y
O
m
x
图2-2
x
四、 经济学中常见的弹性函数
1. 需求弹性 1)需求的价格弹性
需求的价格弹性是指当价格变化一定的百分比以后引起 的需求量的反应程度.用公式表示为
解 Q( P ) dP 2 P ,当P 4时的边际需求为
dQ Q ( P ) P 4 8
它的经济意义时价格为4时，价格上涨（或下 降）1个单位，需求量将减少（或增加）8个单位.
三、弹性的概念
1. 弹性的定义
定义 设函数 y f ( x )在点 x 0 处可导，且 x0 0 ，
例 5 某工厂对其产品的销售情况进行大量统计后分 析后，得出总利润 L(Q ) (元)与每月产量 Q (吨)的
2 L L ( Q ) 250 Q 5 Q 关系为 ，试确定每月生产 20
吨，25 吨，35 吨的边际利润，并做出经济解释． L(Q) 250 10Q, 则 解 边际利润为
边际利润表示：若已经生产了Q单位产 品，再生产一个单位产品所增加的总利润．
一般情况下，总利润函 数L(Q )等于总收益函数 R(Q )与总成本函数 C (Q )之差．即
L(Q ) R(Q ) C (Q ), 则边际利润为 L(Q ) R(Q ) C (Q ) 显然, 边际利润可由边际收入 与边际成本决定 , C ( Q ) R( Q ) C ( Q ) C ( Q ) 时, 0 L(Q ) 0 0
4. 边际需求
定义 若Q f ( P)是需求函数，则需求量Q对价格P
dP 的导数 f ( P)称为边际需求函数. dQ
显然， f ( P ) 1
f
1
(Q )
2 Q Q ( P ) 75 P 例 6 某商品的需求函数为 ，求 P 4
时的边际需求，并说明经济意义．
x0 . f ( x 0 ) f ( x0 )
弹性函数的定义
一般的，若函数y f ( x )在区间内(a , b )可导， Ey y / y y x x 且f ( x ) 0，则称 lim lim y Ex x 0 x / x x 0 x y y 为函数y f ( x )在区间(a , b )内的点弹性函数，简称 弹性函数.
2Q Q ( 3)边际成本函数 C ( Q ) , 当Q 900 1200 600 时的边际成本 C (Q ) Q 900 1.5
2. 边际收益
定义：总收益函数 R(Q )的导数
R R(Q Q ) R(Q ) R (Q ) Lim Lim Q 0 Q Q 0 Q 称为边际收益函数 .
当销售量从 15个 单 位 增 加 到 20个 单 位 时 收 益 的 平 均 变 化率为 R R( 20) R(15) 320 255 13 Q 20 15 5
例4. 当某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品 的需求函数为P P (Q ) 10e ，其中Q为需求量， P为价格，且最大需求量为6．求该商品的收益函数 和边际函数．
Q P dQ P E P lim . p 0 P Q dP Q
注 因为需求量与价格的变化总沿着相反的方向，
需求的价格弹性算出来总是负值，为了讨论方 便，取其绝对值。另外，在实际应用中，也常 用符号 表示。
Q 100P 3000 ，求 例1 某需求曲线为： 当P 20时的弹性．
解 (1)生产900个单位时的总成本为 9002 C (Q ) Q 900 1100 1775 1200
平均成本为
C (Q)
Q 900
1775 1.99 900
（2）生产900个单位到1000个单位时总成本的 平均变化率为
C (Q ) C (1000) C (900) 1993 1775 1.58 Q 1000 900 100
y f ( x0 x ) f ( x0 ) 称函数的相对改变量 y0 f ( x0 ) y y0 x 与自变量的相对改变量 之比 为函数从 x0 x x0
x 0 到 x0 x 两点间的平均相对变化率，或称为 x 0 与 x0 x 两点间的弹性．
y y0 当 x 0时， 称 的极限为函数 y f ( x ) x x0
该值表明：当 x 5 时，x 改变 1 个单位（增加 或减少 1 个单位） ，y 改变 10 个单位（增加或 减少 10 个单位） ．
二、 经济学中常见的边际函数
1. 边际成本
1)边际成本
总成本函数 C (Q )的 导 数 C (Q ) Lim C C (Q Q ) C (Q ) Lim Q 0 Q Q 0 Q
Q 2
解 收益函数 R(Q) PQ 10Qe
Q 2
(0 Q 6)
Q 2
边际收益函数 R(Q) 5(2 Q)e
(0 Q 6)
3. 边际利润 定义：总利润函数 L(Q )的导数
L L(Q Q ) L(Q ) L(Q ) Lim Lim Q 0 Q Q 0 Q 称为边际利润 .
解
销 售15个 单 位 时 总 收 益R Q 15
Q2 总收益为 R QP (Q ) 20Q 5
Q2 ( 20Q ) 5
255
Q 15
平均收益 R Q 15
R(Q ) Q
Q 15
255 17 15
边 际收 益R(Q ) Q 15
2 ( 20 Q ) 14 5 Q 15
第六节
边际与弹性
一、边际的概念 二、经济学中常见的边际函数 三、弹性的概念 四、经济学中常见的弹性函数 五、小结 思考题
一、 边际的概念
如果函数 y f ( x ) 在 x0 处可导，则在( x0 , x0 x ) 内的
y 平均变化率为 ；在x x0 处的瞬时变化率为 x f ( x0 x) f ( x0 ) lim f ( x0 ) ， x 0 x 经济学中称它为 f ( x ) 在x x0 处的边际函数值 .