群论-三维转动群

物理学中的群论

——三维转动群

主讲翦知渐

群论-三维转动群

第四章三维转动群

三维转动群的表示4.1 维转动群的表示

§拓扑群和李群

42§4.2轴转动群SO (2)

§4.3 三维转动群SO (3)

§4.4二维特殊幺正群SU (2)

§4.1拓扑群和李群

连续群的基本概念

1拓扑群

无限群分为分立无限群和连续无限群

有关有限群的理论对于分立无限群来说几乎全部成立

定义4.1 连续群的维数

, a2, …, a n所标明连续群G的元素由一组实参数a

1

其中至少有一个参数在某一区域上连续变化，且该组参数对标明群的所有元素是必需的而且足够的

则该组参数中连续参数的个数l 称为连续群的维数。

在具体的群中，参数的取法可能不唯一

例子

如下的线性变换T(a,b)

x'= T(a,b)x = ax +b,a,b∈(-∞,+∞), a≠0构成的集合，定义其上的乘法为：

T(a1,b1)T(a2,b2)x = T(a1a2, a1b2+b1)x，

b b T

封闭律是显然的

逆元素为

T-1(a,b) = T(1/a, -b/a) ，

单位元是

T(1,0)

结合律也容易证明

因此{T(a,b)}构成个连续群。

构成一个连续群。

由于群元素的连续性质，需要在群中引入拓扑

由于群元素的连续性质需要在群中引入

简单说拓扑是个集子集族

简单地说，拓扑是一个集合以及它的子集族

拓扑学研究的是某个对象在连续变形下不变的性质

为简单起见，我们仅讨论其元素可与l 维实内积空间的某个子有对应关系的群

有一一对应关系的群

集S

l

该子集称为参数空间

定义4.2 拓扑群

群元的乘法法则和取逆法则在群的所有元素处都连续的群，称为拓扑群

定义4.3 简单群和混合群

拓扑群G的任意两个元素x

1和x

2

在参数空间中如果能用一条或

者多条道路连接（道路连通），则该群的参数空间是连通的，该群称为连通群或简单群。

若群的参数空间形成不相连结的若干片，则该群称为混合群。前者如三维转动群SO(3)，后者如三维实正交群O(3)。

定义4.4 多重连通群

简单群根据其参数空间的拓扑，进一步分为单连通和多连通的。若任意群元在参数空间中的连通道路恰有k条，并且它们

则称该群为

不能通过在参数空间内部的连续形变而重合，则称该群为k重连通。k称为连通度。

定义4.5 紧致群

若拓扑群的参数空间是紧致空间，即闭而有界的空间，则该

若拓扑群的参数间是紧致间即闭而有界的间则该

群称为紧致群。

1李群

定义4.6 李群

l 维拓扑群G的任意两个元素x1(a1, a2, …, a l)，x2(b1,b2,…,b l)的l a a b b

乘法运算和取逆运算为：

x1x2=x3(c1, c2, …, c l),

x1-1= x4(d1, d2, …, d l ),

参数之间的关系称为组合函数：

c i=c i(a1, a2, …, a l；b1, b2, …, b l)，

d i d i(a1, a2, …, a l )，i1,2,…l。

=d a a l i=l

若以上组合函数均为解析函数，则该群称为李群。

由于李群的组合函数是解析的，微积分的整套工具都可以用来研究李群，这使得李群成为研究最成功最深入的无限群

这使得李群成为研究最成功最深入的无限群

群的诸多概念（子群、同态、表示、特征标……）同样是李群的基本概念

李群表示的每一个矩阵元和特征标在参数空间中（测度不为零的区域内）都是群参数的单值连续函数。

李群中单位元的参数可以选择为零

单位元邻域中的元素，其参数是无穷小量，称为无穷小元素无穷小元素与极限过程或微分运算有关，不一定是参数很小无穷小元素决定了李群的局域性质

无穷小元素与任意元素相乘得到该元素邻近的一个元素

把无穷多个无穷小元素相继作用到该群元上，可以得到从该群元出发的一条连续曲线

简单李群中单位元与任意群元都是连通的，则通过无穷小元素的连续相乘可以从单位元得到任意群元

混合李群，在每一片参数区中都需要先确定一个特定元素，然后通过无穷小元素相乘可得到该参数区中的任意元素

紧致连续群的连续表示（连续群可以有不连续的表示，对于（连续群可以有不连续的表示比如O(3)群与{1,-1}同态），有以下基本结论：

任一连续表示都有等价的幺正表示；

任一幺正表示都是完全可约的；

不可约表示都是有限维的。

混合李群中，参数空间包含单位元的那个连续片的对应元素的集合构成该混合李群的不变子群（它是个简单李群），的集合构成该混合李群的不变子群（它是一个简单李群），其他元素片对应元素的集合构成该不变子群的陪集

混合李群的性质完全由简单李群（不变子群）和每一连续片中一个代表元素的性质确定。

故重点只需研究简单李群的性质

§4.2轴转动群SO (2)

最简单的连续群

1二维转动群 SO (2)群的定义

SO (2)群是绕固定轴的转动形成的集合。该集合元素只用一[02]个参数标记，可以选定区间[0, 2π] 上取值的转动角 ，而转动记为T ( )。乘法规则：

2T ++<θθπ单位元为逆元1该群为单参数连续

()()()()22T T T φφ⎧φ=⎨φ+−φ+≥⎩θθπθπ

当当T (0)，逆元T ( )-1= T (2π- )。该群为单参数、连续、连通、阿贝尔、紧致李群。

若选择整个实数轴为参数，则每个群元对应无穷多参数，对应无穷多个区间：[0, 2π]，[2π, 4π]……此时群是无穷多重连通的，有无穷多条道路连接任意两个元素，这些道路不能经由变形互相转换——绕n 圈和n +1 圈不一样