高等代数 二次型ppt课件

17 2 2
AE 2 14 4 12 8 9
x2(a21x1a22x2a2nxn)
xn(an1x1an2x2annxn) a11x1a12x2 a1nxn
(x1,x2,,xn)a21x1a22x2 a2nxn an1x1an2x2 annxn
.
5
a11 a12 a1nx1
x1,x2,,xna21
a22
a2nx2
an1 an2 annxn
k1
y1
(y1, y2,, yn)
k2
y 2,
knyn
也就是 CTA 要 成 C使 为对.角矩阵
.
12
由于对任意的实阵对 A,总 称有 矩正交P矩 , 阵
P 使 1AP,即PT AP.把此结论应用于
型,有
定理任给二f次 X 型 TAX,总有 正交变 X换 PY,使f化为标准形
f 1 y 1 2 2 y 2 2 n y n 2 ,
5.作正交 X变 CY ,换 则f得 的标准形
f 1y12nyn 2.
.
14
例2
将二次型
f1x 7121x 42 21x 43 24x1x24x1x38x2x3 通过正X交 P,变 Y 化换 成标 . 准形
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 17 2 2
A 2 14 4 2 4 14
2 a 1x 2 1 x 2 2 a 1x 3 1 x 3 2 a n 1 ,n x n 1 x n 称为二次型.
当 ai是 j 复 ,f称 数 复为 二时 次型 ; 当 ai是 j 实 ,f称 数 实为 二时 次型 .
.
2
只含有平方项的二次型 f k 1 y 1 2 k 2 y 2 2 k n y n 2
第五章 二次型
• 一、二次型及其标准形的概念
• 二、二次型的表示方法
• 三、二次型的矩阵及秩
• 四、化二次型为标准形
• 五、惯性定理
• 六、正(负)定二次型的概念
• 七、正(负)定二次型的判别
.
1
一、二次型及其标准形的概念
定1义 含n 有 个变 x1,x量 2,,xn的二次齐
fx 1 ,x 2 , ,x n a 1x 1 1 2 a 2x 2 2 2 a nx n n 2
设 x1 c11y1 c12y2 c1nyn, x2 c21y1c22y2 c2nyn, xn cn1y1 cn2y2 cnnyn
记C(cij),则上述可逆线性变换记可作
XCY
.
10
XCY 将其f代 X入 TAX ,有
f XTAXCY TACY Y TC TAY C YTBY.
矩阵的合同
其 1 ,2 , 中 ,n 是 f Байду номын сангаас A 矩 a ij 的 阵 .特
.
13
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1.将二次型表成f矩 X阵 TA形 X,求 式出 A;
2.求A 出 的所有 1,特 2,,征 n; 值
3.求出对应于特 征征 向1值 量 ,2, 的 ,n;特
4.将 特征 1,2, 向 ,n正 量 交 ,单化 位 ,得化 1,2,,n,记 C1,2,,n;
n
aij xi xj .
i, j1
.
4
2．用矩阵表示 f a 1 x 1 2 1 a 1 x 1 2 x 2 a 1 n x 1 x n a 2 x 2 1 x 1 a 2 x 2 2 2 a 2 n x 2 x n a n 1 x n x 1 a n 2 x n x 2 a n x n 2 n x1(a11x1a12x2a1nxn)
对称A矩 叫阵 做二 f的 次矩 ;型阵
f叫做对称 A的 矩二 阵次 ; 型
对称矩 A的 阵秩叫做二 f的次 秩 . 型
.
7
例１ 写出二次型
f x122x223x324x1x26x2x3 的矩阵及秩
解 a 1 1 1 ,a 2 2 2 ,a 3 3 3 , a12a212, a13a310, a23 a32 3.
称为二次型的标准形（或法式）．
例如
f x 1 ,x 2 ,x 3 x 1 2 4 x 2 2 4 x 3 2
为二次型的标准形.
只含有平方项的且形如以下二次型
f y 1 2 y 2 p y 2 p 1 y r 2 称为二次型的规范形
.
3
二、二次型的表示方法
1．用和号表示 对二次型
fx 1 ,x 2 , ,x n a 1x 1 1 2 a 2x 2 2 2 a nx n n 2
2 a 1x 2 1 x 2 2 a 1x 3 1 x 3 2 a n 1 ,n x n 1 x n
取ajiaij,则 2 a ix jix j a ix jix j a jx ijx i,于是
f a 1 x 1 2 1 a 1 x 1 2 x 2 a 1 n x 1 x n a 2 x 2 1 x 1 a 2 x 2 2 2 a 2 n x 2 x n a n 1 x n x 1 a n 2 x n x 2 a n x n 2 n
a11 a12 a1n
x1
记 Aa21
a22
a2n,
an1 an2 ann
xx 2, xn
则二次型 fX可 TA,X 其 记A 中 作 为对称 . 矩
.
6
三、二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
1 2 0 1 2 0 A 2 2 3 ~ 0 1 1 .
0 3 3 0 0 1
二次型. 秩为 3
8
四、化二次型为标准形
1.配方法Ｐ２０６例２
2.正交线性替换法
3.初等变换法
.
9
四、化二次型为标准形
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形．
设A，B为两n阶矩阵，存在可逆矩 C，阵
使得
B CT AC
则称矩阵A，B合同。记为 A~ B
.
11
说明
1.二次型经 XC 可 后 Y,其 逆秩 变,但 不 换 f 变 的矩A变 阵B 为 由 CTA;C
2.要使二 f经次 可型 逆 XC 变 变 Y换 成标 , 准
就是要使
( C ) T A ( C Y ) k 1 Y y 1 2 k 2 y 2 2 k n y n 2