欧拉在微分方程

《积分学原理》还展示了欧拉在常微分方程和偏微分方程理论方面的众多发现。他和其他数学家在解决力学、物理问题的过程中创立了微分方程这门学科。

在常微分方程方面，欧拉在1743年发表的论文中，用代换y=ekx给出了任意阶常系数线性齐次方程的古典解法，最早引入了“通解”和“特解”的名词。1753年，他又发表了常系数非齐次线性方程的解法，其方法是将方程的阶数逐次降低。欧拉早在1740年左右就知道并且在潮汐和行星轨道摄动的著作中应用过常数变易法。他在1734—1735年领会了积分因子的概念，提供一个方法，并在1768—1770年的工作中广泛地发展了积分因子法，把它应用于许多一阶微分方程类型，还推广到高阶方程。欧拉对黎卡提(Riccati)方程的性质多有研究。1768年，他给出了一个从特殊积分鉴别奇解的判别法。这一年，欧拉在其有关月球运行理论的著作中，创立了广泛用于求带有初值条件x=x0，y=y0的方程




的近似解的方法，次年又把它推广到二阶方程。这个现称“欧拉折线法”的方法，为19世纪柯西关于解的存在性的严格证明和数值计算提供了重要途径。

欧拉在18世纪30年代就开始了对偏微分方程的研究。他在这方面的最重要的工作，是关于二阶线性方程的。数学物理中的许多问题都可以归结为二阶线性方程。弦振动问题是一个著名的例子。1747年，达朗贝尔首次建立了弦振动方程




得到形如两个任意函数之和的解：




欧拉随即对达朗贝尔的方法作了进一步研究。他在允许什么函数可以作为初始曲线，因而也可以作为偏微分方程的解的问题上，有全然不同的想法。于是，这两位数学家，还有丹尼尔·伯努利、拉格朗日、拉普拉斯和其他一些数学家，都卷进了一场旷日持久的激烈论战，延续了半个多世纪，直到傅里叶的《热的分析理论》(The- órie analytique de la chaleur， 1822)发表为止。其间，欧拉把特征线法发展得更加完善了。欧拉还在流体动力学和鼓膜振动、管内空气运动等问题中接触到数学物理方程。例如，位势方程




最早就出现在他1752年关于流体运动的论文中。1766年，欧拉从圆膜振动问题得到后来所称的贝塞尔(Bassel)方程，并借助于贝塞尔函数Jn(x)来求解。