狄利克雷问题的解

引言

复平面上积分公式及其应用，主要是通过学习Cauchy 积分有关理论的基础上，推导Poisson 积分公式和Schwarz 积分公式，再结合共形映射的相关理论知识，研究不同区域上Dirichlet 问题的解。在一般的教材中，只是单纯的介绍了上半平面和单位圆周上的Poisson 积分公式和Schwarz 积分公式的构造，而对其他常见区域上Dirichlet 问题的解却没有给出推导，缺乏系统性和完善性。我们能否仿照着去推导？其他区域上的Poisson 积分和Schwarz 积分是否亦有类似的结论？本文主要对这些问题加以探究，就是要在深入分析上半平面和单位圆周区域的Dirichlet 问题的解的推导过程中，总结出一般规律和方法，对上半圆周区域，心形区域，两圆所构成的角形区域上的Poisson 积分和Schwarz 积分进行构造，这些成果在理论和应用中很有意义。

1复平面上的积分公式

1.1复平面上的积分公式

本小节内容参考了文献[1]，[2].

定理1.1.1（Cauchy 积分公式） 设区域D 的边界是周线或复周线C ，()f z 在D 内解析，在=D+C D 上连续，则1()

(),()2C f f z d z D i z

ζζπζ=

∈-⎰. 定义1.1.1 设函数()f z 在圆K : z R <内解析，在闭圆上连续，则对于K 内任一点i z re ϕ=，根据Cauchy 积分公式，有

20

1()1

e ()(Re ).22e i i i i R

f R f z d f d i z R re

θ

π

θ

θθ

ζζζθπζπ===

--⎰⎰

(1-1)

点z 关于圆周R ζ=的对称点

22,i R R e z r z

ϕ

*

==

因为点z *在圆周的外部，所以

20

1()10(Re ).

22Re i i i i R

f re d f d i z re θ

π

θ

θϕ

ζζζθπζπ*===

--⎰⎰

(1-2)

从(1-1)减去(1-2)，得

20

1

Re e ()(Re )[],2Re e i i i i i i i r f z f d re r Re θθ

π

θ

θϕθϕ

θπ

=

---⎰

经过一些计算，即得

22

222

1

()(Re ),22cos()i R r u iv f z f d R Rr r

π

θ

θπ

θϕ-+==

--+⎰

比较上式两端的实部，得到公式

22

222

1

(,)(Re ),

22cos()i R r u r u d R Rr r π

θ

ϕθπ

θϕ-=

--+⎰

(1-3)

上式也可写成

22

222

1

()(Re ),22cos()i R r u z u d R Rr r

π

θ

θπ

θϕ-=

--+⎰

(1-4)

特别，对于单位圆来说，1R =上式变为

2

22

1

1()(e ),212cos()i r u z u d r r

π

θ

θπ

θϕ-=

--+⎰

(1-5)

公式(1-3)，(1-4)，(1-5)均称为对于圆的Poisson 积分。 定义1.1.2 在(1-5)中令u(z) ≡1，立刻得到：

2

22

11 1.212cos()r d r r π

θπ

θϕ-=--+⎰

令：(),,01.i i e z re r θθζ==≤< 我们有

22112cos()11(1)(1)221[()]Re().2r z

r r z z z z z z

z z z z z z

ζθϕζζζζζζζζζζζζ-=+

--+--++=

++---+++=+=---

又

,i d ie d i d θζθζθ==

,d d i ζ

θζ

= 从而()u z 是函数11()().(1)2z d f z u z i z ζζζ

ζπζζ

=+=⋅<-⎰的实部，上式中的积分成为Schwarz 积分。

2 Dirichlet 问题

2.1 Dirichlet 问题的介绍：

本小节内容参考了文献[3]，[4].

拉普拉斯方程的通解，就是全体调和函数。此方程是最简单的二阶偏微分方程之一。对于常微分方程，给出了一定的附加条件，便可以确定出一个特解来。为了要确定拉普拉斯方程的一个解，也需要附加一些条件。常见的条件就是表示成边值问题的形状，即表示成所求函数在区域的边界上应当满足的一些已知关系式的形状，这样的边界条件，往往可以由所给问题的解的那些物理条件本身得到。这类问题中最简单的一种，引出了Dirichlet 问题：

定义2.1.1 求出一个在区域D 内调和并且在D D C =+上连续的函数()u z ，使它在

C 上取已知值():u ζ ()(),u u C ζζζ=∈

定理2.1.1 任何一个在圆内调和且在闭圆内连续的函数，圆内的值都可以用圆周上的值的积分即Poisson 积分表示。

证明 由Poisson 积分公式的推导过程可知定理成立。

定理2.1.2 在已知区域D ，对于给定的边界值()u ζ，Dirichlet 问题的解不能多于一个。

证明 假设1()u z 与2()u z 是Dirichlet 问题的两个解，则12()()u z u z -在区域D 内调和，在D D C =+上连续，沿C, 12()()0u z u z -≡，（因沿C,12()()()u z u z u ζ=≡,）由极