专题21 概率分布与数学期望-2020年江苏省高考数学命题规律大揭秘(解析版)

专题21 概率分布与数学期望

【真题感悟】

1、【2019年江苏,23】在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯，

{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),

,(,2)},.n n B n C n n N *==∈令n n

n n M A B C =.从集合M n 中任取两

个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离. （1）当n =1时，求X 的概率分布；

（2）对给定的正整数n （n ≥3），求概率P （X ≤n ）（用n 表示）. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】

（1）当1n =时，X 的所有可能取值是1225，，，．

X 的概率分布为22667744

(1),(2)C 15C 15

P X P X ==

====， 22662222

(2),(5)C 15C 15

P X P X ==

====． （2）设()A a b ，

和()B c d ，是从n M 中取出的两个点． 因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况． ①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法；

②若01b d ==，，则22()11AB a c n =-+≤+，

所以X n >当且仅当21AB n =+，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，

，有2种取法； ③若02b d ==，

，则22()44AB a c n =-+≤+，因为当3n ≥时，2(1)4n n -+≤，所以X n >当且仅当24AB n =+，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法； ④若12b d ==，，则22()11AB a c n =-+≤+，

所以X n >当且仅当21AB n =+，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，

，有2种取法． 综上，当X n >时，X 的所有可能取值是21n +和24n +，且

2222

24

24

42

(1),(4)C C n n P X n P X n ++=+=

=+=

．

因此，22224

6()1(1)(4)1C n P X n P X n P X n +≤=-=

+-=+=-

．

2、【2010江苏，22】某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互独立．

（1）记X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列； （2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．

【答案】（1

）

（2）0.8192

【解析】解：（1）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，-3，且 P （X=10）=0.8×0.9=0.72，P （X=5）=0.2×0.9=0.18， P （X=2）=0.8×0.1=0.08，P （X=-3）=0.2×0.1=0.02． ∴X 的分布列为：

（2）设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4-n 件． 由题设知4n-（4-n ）≥10， 解得n≥

又n ∈N ，得n=3，或n=4．

所求概率为P=C 43×0.83×0.2+0.84

=0.8192

答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192．

3. 【2012江苏，22】设ξ为随机变量．从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1. (1)求概率P (ξ＝0)；

(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)． 【答案】(1)

4

11

．(2) ξ

1

2

P (ξ)

411 611 111

62

()11

E ξ+=

【解析】解：(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有2

38C

对相交棱，因此

232128C 834

(0)C 6611

P ξ⨯====.

(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故21261

(2)C 11

P ξ==

=， 于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)＝416

1111111

--=， 所以随机变量ξ的分布列是

ξ 0

1

2

P(ξ)

411 611

111

因此

6162()12111111E ξ+=⨯

+⨯=

4. 【2014江苏，22】盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同. （1）从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率；

（2）从盒中一次随机抽出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为123,,x x x ，随机变量X 表示123,,x x x 的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X . 【答案】（1）

518；（2）20

()9

E X =. 【解析】（1）由题意222

432295

18

C C C P C ++==

； （2）随机变量X 的取值可能为2,3,4，

4

4491

(4)126C P X C ===

， 313145364

913

(3)63

C C C C P X C +===， 11

(2)1(3)(4)14

P X P X P X ==-=-==

，