北师大版数学必修一《用函数模型解决实际问题》参考课件
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ab y [kx 2 100 (1 k ) x 10000 ] 10000
ab 2 1 [( x 50 ) 22500 ] 取k 得 y 20000 2
9 y max ab 即该商品的价格上涨50%时， 当 x = 50时， 8 销售总金额最大。 返回
2.∵二次函数
分析：
8000 １、每次进货量x与进货次数n有什么关系： x n
8000 2、进货次数为：n x
8000 3、全年的手续费是：500 x
1 4、一年的总库存费为： 2wenku.baidu.comx 2 5、其它费用： Ｃ
令总费用为F 1 8000 F 2 x 500 C 2 x 8000 16 500 n C 500 n C n n
50 40 30 20 10 0
180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60
取两点(70,7.90),(160,47.25),代入y=a· bx 得：
2.2 用函数模型解决 实际问题
函数模型是应用最广泛的数学模型之 一,许多实际问题一旦认定是函数关系,就 可以通过研究函数的性质把握问题,使问 题得到解决.
例1 某公司一年需要一种计 算机元件8 000个,每天需同 样多的元件用于组装整机. 该元件每年分n次进货,每次 购买元件的数量均为x,购一 次货需手续费500元.已购进而未使用的元件要付库存 费,可以认为平均库存量为0.5x件,每个元件的库存费 是一年2元.请核算一下,每年进货几次花费最小? 思考如下问题：（1）总费用由哪些部分组成？ （2）每一部分费用的表达式是什么？
4 2 2 500 8 n 4000 C n 2 4 500 n 4000 C ≥4000+C n 4 当 n ，即n=4时,总费用最少。 n
例2
已知某商品的价格每上涨x%,销售的数量就减少
ab 2 y [kx 100 (1 k ) x 10000 ] 10000
50(1 k ) 在( , ] 上递增， k
50(1 k ) , ) 上递减 在[ k
50(1 k ) 0 ∴适当地涨价，即 x>0 , 即 k 就是 0<k<1,能使销售总金额增加.
例3 电器材厂在生产扬声 器的过程中，有一道重要 的工序：使用AB胶粘合 扬声器中的磁钢与夹板.思考如下问题： 长期以来,由于对AB胶的 （1）磁钢面积与用胶量间 用量没有一个确定的标准,经常出现用胶过多,脱水外 是否具有函数关系？用什 溢;或用胶过少,产生脱胶,影响了产品质量.经过实验, 么方法可以确定是什么函 已有一些恰当用胶量的具体数据 . 数关系？
序号
1 11.0 0.164 2 19.4 0.396 3 26.2 4 46.6 5 56.6 6 67.2 7 125.2 1.688 8 189.0 2.86 9 247.1 4.076 10 443.4 7.332
磁钢面积 /cm2 用胶量/g
（2）确定函数类型后，如
0.664 0.812 0.972
归纳为：
根据收集到的 数据的特点 ，通过 建立函数模型解决 实际问题的基本过 程，可简化为如下 程序过程：
实际数据 画出散点图 选择函数模型 求出函数模型 检验
不合乎实际
合乎实际
例子
用函数模型解释实际问题
例4 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值 如下表：
身高/cm 体重/kg 身高/cm 60 6.13 120 70 7.90 130 80 9.99 140 90 12.15 150 100 15.02 160 110 17.50 170
体重/kg
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
(1)根据表提供的的数据,能否建立一个恰当的函数模型 ,使它能近似地反映这个地区一体化未成年男性体重y㎏ 与身高x㎝的函数关系?试写出这个函数模型的关系式；
解：(1)以身高为横坐标,体重为纵坐标,画出散点图
60
根据图的分布特点,设 y=a· bx这一函数来近 似刻画其关系;
取点(56.6,0.812),(189.0,2.86)代入y=ax+b,得方程:
0.812 56.6a b, 2.86 189.0a b.
解得： a=0.015 47, b=-0.06350 ，
这条直线是 ：y=0.015 47x-0.063 50 . 注：取不同的的点代入会得到直线不同，要注意检 验是否符合实际问题。
kx%,其中k为正常数.
1 1. 当 k 时，该商品的价格上涨多少，就能使销售 2
的总金额最大？
2. 如果适当的涨价，能使销售总金额增加，求k的取
值范围。 思考：我们应该怎么入手？ 进入
解：1.设商品现定价a元,卖出数量为b个. 由题设：当价格上涨x%时,销售总额为
y a(1 x%) b(1 kx%)
何求出具体的函数解析式？
0.404
现在需要提出一个既科学又简便的方法来确定两者关系
现在需要提出一个既科学又简便的方法来确定磁钢面 积与用胶量的关系.
解 磁钢面积x为横坐标,用胶量y为纵坐标,建立直角坐 标系.根据上表数据描点.
根据图的分布特 点,用y=ax+b表 示其关系
8 7 y/g
6
5 4 3 2 1 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 x/cm2
思考： 例3给我们带来了什么启示？把这 种处理数据方法叫作什么呢？
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这 些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征， 看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形 式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出 具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际， 就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法 称为数据拟合。 在自然科学和社会科学中，很多规律、定律都是 先通过实验，得到数据，再通过数据拟合得到的。
ab 2 1 [( x 50 ) 22500 ] 取k 得 y 20000 2
9 y max ab 即该商品的价格上涨50%时， 当 x = 50时， 8 销售总金额最大。 返回
2.∵二次函数
分析：
8000 １、每次进货量x与进货次数n有什么关系： x n
8000 2、进货次数为：n x
8000 3、全年的手续费是：500 x
1 4、一年的总库存费为： 2wenku.baidu.comx 2 5、其它费用： Ｃ
令总费用为F 1 8000 F 2 x 500 C 2 x 8000 16 500 n C 500 n C n n
50 40 30 20 10 0
180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60
取两点(70,7.90),(160,47.25),代入y=a· bx 得：
2.2 用函数模型解决 实际问题
函数模型是应用最广泛的数学模型之 一,许多实际问题一旦认定是函数关系,就 可以通过研究函数的性质把握问题,使问 题得到解决.
例1 某公司一年需要一种计 算机元件8 000个,每天需同 样多的元件用于组装整机. 该元件每年分n次进货,每次 购买元件的数量均为x,购一 次货需手续费500元.已购进而未使用的元件要付库存 费,可以认为平均库存量为0.5x件,每个元件的库存费 是一年2元.请核算一下,每年进货几次花费最小? 思考如下问题：（1）总费用由哪些部分组成？ （2）每一部分费用的表达式是什么？
4 2 2 500 8 n 4000 C n 2 4 500 n 4000 C ≥4000+C n 4 当 n ，即n=4时,总费用最少。 n
例2
已知某商品的价格每上涨x%,销售的数量就减少
ab 2 y [kx 100 (1 k ) x 10000 ] 10000
50(1 k ) 在( , ] 上递增， k
50(1 k ) , ) 上递减 在[ k
50(1 k ) 0 ∴适当地涨价，即 x>0 , 即 k 就是 0<k<1,能使销售总金额增加.
例3 电器材厂在生产扬声 器的过程中，有一道重要 的工序：使用AB胶粘合 扬声器中的磁钢与夹板.思考如下问题： 长期以来,由于对AB胶的 （1）磁钢面积与用胶量间 用量没有一个确定的标准,经常出现用胶过多,脱水外 是否具有函数关系？用什 溢;或用胶过少,产生脱胶,影响了产品质量.经过实验, 么方法可以确定是什么函 已有一些恰当用胶量的具体数据 . 数关系？
序号
1 11.0 0.164 2 19.4 0.396 3 26.2 4 46.6 5 56.6 6 67.2 7 125.2 1.688 8 189.0 2.86 9 247.1 4.076 10 443.4 7.332
磁钢面积 /cm2 用胶量/g
（2）确定函数类型后，如
0.664 0.812 0.972
归纳为：
根据收集到的 数据的特点 ，通过 建立函数模型解决 实际问题的基本过 程，可简化为如下 程序过程：
实际数据 画出散点图 选择函数模型 求出函数模型 检验
不合乎实际
合乎实际
例子
用函数模型解释实际问题
例4 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值 如下表：
身高/cm 体重/kg 身高/cm 60 6.13 120 70 7.90 130 80 9.99 140 90 12.15 150 100 15.02 160 110 17.50 170
体重/kg
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
(1)根据表提供的的数据,能否建立一个恰当的函数模型 ,使它能近似地反映这个地区一体化未成年男性体重y㎏ 与身高x㎝的函数关系?试写出这个函数模型的关系式；
解：(1)以身高为横坐标,体重为纵坐标,画出散点图
60
根据图的分布特点,设 y=a· bx这一函数来近 似刻画其关系;
取点(56.6,0.812),(189.0,2.86)代入y=ax+b,得方程:
0.812 56.6a b, 2.86 189.0a b.
解得： a=0.015 47, b=-0.06350 ，
这条直线是 ：y=0.015 47x-0.063 50 . 注：取不同的的点代入会得到直线不同，要注意检 验是否符合实际问题。
kx%,其中k为正常数.
1 1. 当 k 时，该商品的价格上涨多少，就能使销售 2
的总金额最大？
2. 如果适当的涨价，能使销售总金额增加，求k的取
值范围。 思考：我们应该怎么入手？ 进入
解：1.设商品现定价a元,卖出数量为b个. 由题设：当价格上涨x%时,销售总额为
y a(1 x%) b(1 kx%)
何求出具体的函数解析式？
0.404
现在需要提出一个既科学又简便的方法来确定两者关系
现在需要提出一个既科学又简便的方法来确定磁钢面 积与用胶量的关系.
解 磁钢面积x为横坐标,用胶量y为纵坐标,建立直角坐 标系.根据上表数据描点.
根据图的分布特 点,用y=ax+b表 示其关系
8 7 y/g
6
5 4 3 2 1 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 x/cm2
思考： 例3给我们带来了什么启示？把这 种处理数据方法叫作什么呢？
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这 些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征， 看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形 式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出 具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际， 就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法 称为数据拟合。 在自然科学和社会科学中，很多规律、定律都是 先通过实验，得到数据，再通过数据拟合得到的。