函数不等式有解与恒成立问题

课程：函数不等式的恒成立与有解问题

讨论含参数方程解的问题的主要方法

方程 f x a的解可以看成两个函数y f x , y a 的交点横坐标

（1）已知一元二次方程两解的具体分布情况可用一元二次方程根的分布求解

（2）方程 f x a在x D 上解的个数即两个函数y f x ,y a在x D 上的交点个数利用参变量分离加数形结合解决。

（3）方程 f x g x （其中y f x , y g x 是两个不同类型的函数）也可通过研究两个函数y f x , y g x 的交点来解决。

不等式恒成立问题

不等式 f x g x 反映的是两个函数y f x , y g x 图像的位置关系

（1）函数思想

f x 0在x D 上恒成立，即 f x min x D 0

f x 0在x D上恒成立，即 f x max xD 0

（2）参变量分离

f x a在x D上恒成立，即 f x min x D a

f x a在x D上恒成立，即 f x max x D a

（3）数形结合

f x

g x 在x D 上恒成立，即在x D 上y f x 的图像始终在y g x 图像上方。

二、例题分析

例1、（1）若关于x的方程9x a 4 3x4 0有实数解，求实数a的取值范围。

（2）若关于x的方程k 9x k 3x 16 k 5 0在x 0,2 上有实数解，求实数k的取值范围。

练习1、若关于x的方程4x k 2x k 3 0只有一个实数解，求实数k的取值范围（有两解、无解、有解）

例2、实数a取何值时，方程lg x 1 lg 3 x lg 1 ax 有一解、两解、无解？

练习2、当a满足什么条件时，方程lg x2 20x lg 8x 6a 3 0 有唯一解

例3、已知关于x的不等式k 4x 2x 1 6k 0 （1）若不等式的解集为x 1 x log23 ，求实数k 的值

2）若不等式的解集为x 1 x log23 的子集，求实数k的取值范围

3）若不等式对任意x x1 x log23 恒成立，求实数k的取值范围练习3、（1）已知二次函数 f x ax2x a R, a 0 ，如果x 0,1 时，恒有 f x 1，求实数 a 的取值范围。

（2）已知不等式 1 a x2a 1 x 3 a 0在x 2,2 上恒成立，求实数 a 的取值范围。

（3）已知不等式 1 a x2a 1 x 3 a 0在x 2,2 上有解，求实数a的取值范围。

（4）已知不等式 1 a x2a 1 x 3 a 0在x 2,2 上无解，求实数a的取值范围。

5）已知不等式mx2 2x 1 m 0对任意m 2恒成立，求实数x的取值范围

6）已知函数 f x log3 2x 4 2 x a 的定义域为一切实数，求实数a的取值范围

1

1．（1）若a 0,a 1，关于x的不等式x2 a x 1在x 1,1 上恒成立，求实数a的取

值范围。

2）若关于x的不等式log a x x2在区间0,1上恒成立，求实数a的取值范围

2

2．（1）已知不等式xy ax2 2y2对于任意x 1,2 ，y 2,3 恒成立，求实数a的值范围。

（2）关于 x 的不等式 x 2 25 x 3 5x 2 ax 在区间 1,12 上恒成立，求实数 a 的取值范

围。

2．关于 x 的方程 a x x 2 2x a a 0,a 1 的解的个数是 __________________ 。 3．求实数 a 的取值范围，使方程 x 2 2 a x 5 a 0 的两个相异实根都大于 2。 4．对于函数 y f x x D ，同时满足以下条件：① f x 在 D 上是单调函数， ②存在区间 a,b D ，其中 ab 0，使得 f x 在区间 a,b 上的值域也是 a,b ， 则称函数为闭函数。

(1)求闭函数 f x x 3 符合条件的区间 a,b 。

( 2)判断函数 y 3x lg x 是不是闭函数？请说明理由。

(3)若函数 y k x 2 是闭函数，求实数 k 的取值范围。

1.设函数 f (x) a x 2 4x,g(x) 34x 1，已知 x [ 4,0] ，时恒有 f(x) g(x)，求 a 的取值

3

范围.

2. 已知不等式 1 1

1 1

log a (a 1) 2 对于大于 1 的正整数 n 恒成立，试确

n 1 n 2 2n 12 3 定 a 的取值范围 .

x

3. 已知函数 f(x)= a ( a >０， a

a x a (1) 证明函数 f(x)的图象关于点 P 1,1 22

2 令 a n ＝ af(n) ，对一切自然数 n ，先猜想使 a n > ｎ２

成立的最小自然数 a, n f(1 n) n

(3) 求证： 1

n(n 1)lg3 (lg n!)(n ∈Ｎ). 4 4. 定义域是一切实数的函数 y f x ，其图像是连续不断的，且存在常数 ( R) 使得

f(x ) f (x) 0对任意实数 x 都成立，则称 f (x)是一个“ —伴随函数”． 有 下列关于“ —伴随函数”的结论：① f (x) 0 是常数函数中唯一一个“ —伴随 函数”； ②“ 1 —伴随函数”至少有一个零点． ；③ f(x) x 2是一个“ —伴随函数”；其中 2 正确结论的个数是 ( )

A ．1 个；

B ．2个；

C ．3个；

D ．0个； 5. 对于满足不等式 0 p 4 的实数 p ，使得不等式 x 2 px 4x p 3恒成立，求实 数 x 的取值范围。

6. 设 f(x) lg (1 2 (n 1) na) ，其中a 是实数， n 是任意给定的自然数 n

且n 2，(1)如果 f (x)当x ,1 时有意义，(1)求a 的取值范围；(2)如果a 0,1， 证明： 2f (x) f )2x ，当 x 0时成立 .

7. 设函数 f(x) x 2 1，对任意 x 32,

， 立，则实数 m 的取值范围是 . 8. 设 f ( x)是定义在 R 上的偶函数，对任意 x R ，都有 f(x 2) f (x 2),且当

x f

4m 2 f (x) f(x 1) 4f(m) 恒成

m