根轨迹法习题及答案
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第四章 根轨迹法习题及答案
4-1 系统的开环传递函数为
)
4)(2)(1()()(*
+++=
s s s K s H s G 试证明点311j s +−=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*
K 和开环增益K 。
解 若点在根轨迹上，则点应满足相角条件1s 1s π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图解4-1所示。
对于31j s +−=，由相角条件
=∠)()(11s H s G
=++−∠−++−∠−++−∠−)431()231()131(0j j j
ππ
π
π
−=−
−
−
6
3
2
满足相角条件，因此311j s +−=在根轨迹上。将代入幅值条件：
1s 14
31231131)(*
11=++−⋅++−⋅++−=
j j j K s H s G ）（
解出 ： 12*
=K ， 2
38*==K K
4-2 已知开环零、极点如图4-22所示，试绘制相应的根轨迹。
1
（ｅ） （ｆ） （ｇ） （ｈ） 题4-22图 开环零、极点分布图
解 根轨如图解4-2所示：
4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。 ⑴ )
15.0)(12.0()(++=
s s s K
s G
⑵ )
3)(2()
5()(*+++=s s s s K s G
⑶ )
12()
1()(++=
s s s K s G
2
解 ⑴ )
2)(5(10)15.0)(12.0()(++=++=
s s s K
s s s K s G
系统有三个开环极点：,01=p 22−=p ,53−=p
① 实轴上的根轨迹：
,
(]5,−∞−[0,2−]② 渐近线： ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧±=+=−=−−=πππϕσ,33)12(3
73520k a a
③ 分离点：
02
1511=++++d d d 解之得：，(舍去)。
88.01−=d 7863.32−d ④ 与虚轴的交点：特征方程为
010107)(2
3
=+++=k s s s s D 令 ⎩⎨⎧=+−==+−=0
10)](Im[0
107)](Re[3
2ωωωωωj D k j D 解得⎩⎨
⎧==7
10
k ω 与虚轴的交点（0，j 10±）。 根轨迹如图解4-3(a)所示。
⑵ 根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹：
[], 3,5−−[]0,2−
② 渐近线： ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧±=+==−−−−=22)12(02
)5(320ππϕσk a a ③ 分离点： 5
1
31211+=
++++d d d d 用试探法可得
886.0−=d 。根轨迹如图解4-3(b)
3
⑶ )
2
1(2)
1()
12()1()(++=
++=
s s s K s s s K s G 根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹：, (]1,−∞−[]0,5.0− ② 分离点：
1
1
5.011+=
++d d d 解之得：。根轨迹如图解4-3(c)所示。 707.1,293.0−=−=d d 4-4已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出相应的根轨迹。
⑴ )21)(21()
2()(*j s j s s K s G −++++=
⑵ )
1010)(1010()
20()(*j s j s s s K s G −++++=
解 ⑴ )
21)(21()
2()(*j s j s s K s G −++++=
根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹： (]2,−∞−
② 分离点：21211211+=
−++++d j d j d
解之得：
23.4−=d
③ 起始角：
οοοο43.15390435.631801
=−+=p θ
由对称性得另一起始角为 。 ο43.153−根轨迹如图解4-4(a)所示。
⑵ )
1010)(1010()
20()(*j s j s s s K s G −++++=
系统有三个开环极点和一个开环零点。 根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹：
[]0,20−
4
② 起始角： °=−−+=01359045180οοοοθ根轨迹如图解4-4(b)所示。
4-５ 已知系统的开环传递函数，试概略绘出相应的根轨迹。
⑴ )
208()()(2++=∗
s s s K s H s G
⑵ )5)(2)(1()()(+++=∗
s s s s K s H s G
⑶ )22)(3()
2()()(2++++=∗s s s s s K s H s G
⑷ )164)(1()
1()()(2
++−+=∗s s s s s K s H s G 解 ⑴ )208()()(2
++=∗
s s s K s H s G ① 实轴上的根轨迹：
(]0,∞−② 渐近线：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧±=+=−=−−++−+=πππϕσ,33)12(3
83)24()24(0k j j a a
③分离点：
02
412411=−+++++j d j d d 解之得：33.3,2−=−=d d 。
④与虚轴交点：∗+++=K
s s s s D 208)(2
3
把ωj s =代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得：
⎩⎨⎧=−==−=∗0
20))(Im(0
8))(Re(3
2ωωωωωj D K j D
5