第四章 平面弯曲

力）。 基本方法：进行受力分析，用截面法计算横截面 上的内力，求出将各自的内力对应的应力，然后 叠加。轴力对应截面上均布的正应力，弯矩对应 截面上线性分布的应力，叠加后得到截面上最大 的拉应力或压应力，进而建立强度条件，进行各 种计算。 例：偏心拉伸，塔受风载及重力的作用,卧式容器 受内压及重力的作用.
4.4.2挠曲线近似微分方程及两次积分法
•梁弯曲变形的基本方程：
M ( x) 1 ( x) EI
d2y dx 2
注：为书写简单起见，将惯 性矩的下标略去。
•曲率可用挠曲线的二阶导数来表示：
1 3 ( x) 2 2 dy 1 dx
4.4平面弯曲的变形计算
4.4.l梁弯曲变形的度 量——挠度和转角
• 挠度和转角是控制梁 弯曲变形的宏观量 • 挠曲线可以表示挠度 和转角：横截面转角 与挠曲线上相应点的 切线转角相同。小变 形情况下，转角可以 用挠曲线的斜率表示。 y=f(x) θ≈
，
tan
dy dx
•挠曲线的曲率表示梁轴线上各点的弯曲程度， 加上边界条件就决定了挠曲线，即确定了梁的 挠度和转角。因此，梁弯曲变形的基本方程是 梁弯曲变形的微分方程。
第4章 平面弯曲
4.1平面弯曲的概念和实例
4.2平面弯曲的内力分析
4.3平面弯曲的正应力计算 4.4平面弯曲的变形计算 4.5简单超静定梁的求解 4.6压杆稳定性简介
4.7弯曲和拉（压）的组合变形
4.1平面弯曲的概念和实例
弯曲变形：轴线变成一条曲线。 梁：以弯曲变形为主的杆。 平面弯曲：轴线成为一条平面曲线。 平面弯曲梁的几何特征：存在一纵向对称面。 受力特点：约束反力及主动力关于纵向对称面
• 4.6.2提高压杆稳定性的措施 1）提高压杆的抗弯刚度EI：钢材的E值 差别不大，截面的惯性矩的影响很大。 压杆的弯曲方向不定，故压杆的合理截 面形状为对称截面，如圆形或正方形。 2）加强压杆所受的约束。 3）减小压杆的长度。
4.7 弯曲和拉（压）的组合变形
基本概念：横截面上的内力有轴力、弯矩（剪
ql 2 MA 8
法Ⅱ：解除转角约束，形 成静定基，变形协调方程 ： 120 静 定 基 变 形 图
ql 3 M Al 1 2 24EJ 3EJ
ql 2 MA 8
4.6 压杆稳定性简介
4.6.1压杆稳定性的概念
• 压杆的稳定性分析：外加力有利于弯 曲变形的继续发展；杆自身具有抵抗 弯曲变形的能力（抗弯刚度）。压杆 是否稳定取决于杆自身抵抗弯曲变形 的能力与外力使杆发生弯曲变形的能 力的较量。 • 临界压力 ：弯曲变形既不消失也不扩 大（临界状态）时的压力。临界压力 的大小表示了压杆稳定性的高低，是 表示压杆稳定性的重要参数。
2. 图示超静定梁采用工字钢，已知： F=10kN，a=2m，许用弯曲应力 [σ]=120MPa，工字钢的弹性模量 E=2×105MPa。试确定工字钢的型 号。若将B处支座去掉，试问已确定 的工字钢型号能否满足此时的强度 要求？
3. 对于1-11题，将塔简化为壁厚均匀的圆筒体，若筒体计算 厚度e10mm，[]=120MPa，试求塔壁中的最大弯曲正 应力及由重力产生的压应力，并校核其强度。
M D =28-12=16kN· m
QD=2 kN
QB 22kN
QB 12kN
MB=-24 kN· m
4.3平面弯曲的正应力计算


剪力、弯矩对应的应力：剪应力和正应力
纯弯曲梁模型的建立：对于长梁，影响强度的 决定因素是弯矩。
4.3.l 纯弯曲时梁横截面上的正应力
变形几何关系
例：图示简支梁AB，试 求： (1)最大弯曲正应力及 其所在位置； (2)在D、E两点的弯 曲正应力。 解：（1）作出剪力图 和弯矩图，求出最大弯矩 值；计算抗弯截面模量 （找出中性轴），计算最 大弯曲正应力。 （2）计算D、E两点 所在截面的弯矩值，按照D、 E两点各自离中性轴的距离， 计算出其弯曲正应力的值 ， 并判断出其应力的性质 （拉应力或压应力）。
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M ydA
横截面上正应力的合力为

My 工程实用计算式： Iz
最大弯曲正应力： max
抗弯截面模量：
应力的性质可由 变形直观判断
Mymax M max Iz Wz
Iz Wz ymax
形状规则截面的惯性矩和抗弯截面模量由定义可 直接计算出来，对于型钢可查表。 惯性矩（截面模量）、静矩（一次矩）、面积等 是平面图形的几何性质，只有和具体的变形结合起 来才有其物理意义。 上述应力计算公式可近似用于平面弯曲的长梁。
qx2 dx dθ 2 EI
，
qx3 dx dy (l x)d 3EI q (3lx 2 x 3 )dx 6 EI
max
ql 4 ql3 ymax 8EI 6 EI
4.4.4 梁的刚度条件
刚度条件：将最大变形限制在一定范围内的
条件，即 ymax≤[y] θmax≤[θ] 许可挠度[y]和许可转角[θ]由构件的具体工 作要求来确定。化学工业中[y]和[θ]的值经 常取决于生产工艺要求。如，一般塔设备塔 顶自由端的许可挠度可取塔高的1/500～ 1/1000,具体值可由塔工艺要求来确定。

例：已知：P=24kN， F=12kN， q=6kN/m， MO=12kN· m。 作出剪力图和弯矩 图。 解：(1)求支座反力 (2)剪力图和弯 矩图大致形状分析 (3)计算剪力和 弯矩值
RB=34 kN，RA=26 kN
QC 26kN
QC 26 24 2kN
MC=26 kN· M D =28kN· m m
例 试求图示悬臂梁 自由端的挠度和转角。 设抗弯刚度EI为常量。 解：P1和P2共同 作用下悬臂梁自由端 的挠度和转角，可看 作P1和P2单独作用下 产生的变形的代数和。
例 试求悬臂梁受均布载荷作用时自由端的挠 度和转角。设抗弯刚度EI为常量
解：将均布载荷设想 为由无数个微元力qdx 组成的，则每一个微 元力qdx在梁自由端产 生的微小转角和挠度：
①
②
平面假设：横截面变形后 仍保持平面，但绕自身的 中性轴偏转了一定角度， 保持与中性层垂直。
中性层的存在性：每一纵向 纤维层由直变弯，靠近上方 的纤维层受压，下方的纤维 层受拉，中间某处存在一层 既不受拉也不受压的纤维层， 这一层叫中性层，中性层与 横截面的交线叫中性轴。轴 线：中性层与纵向对称面的 交线。
③
不挤压假设：每一纵向纤维均 为单向拉伸或压缩，纤维层间 不存在相互的挤压。
d
任一纤维层的变形计算：
绝 对 变 形：
o1
o2
相对变形（应变）：
( y)d d yd yd y d
物理关系——
应力和应变间的关系
不挤压假设，每一纤维层处于简单 拉压变形，满足虎克定律：
4.2.2剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图

准确无误地求出约束反力。
横截面上的剪力和弯矩按符号规定的正方
向假设，不去判断其真实方向。

取左段还是取右段，以研究问题简单为准。

研究受集中力、均布力、集中力偶等的剪
力图和弯矩图。
剪力 弯矩 按正 Q RB 方向 (a x l ) 假设 M RB (l x)
4.3.4提高梁弯曲强度的措施
• 途径：减小最大弯矩，增大抗弯截面模量。 • 合理设置支座、合理布置载荷。简支梁变为外伸梁， 尽量不用悬臂梁，集中载荷变为分布载荷等。 • 选择合理的截面形状，注意梁的放置方式。选择抗弯 截面模量大的截面，如工字形，圆环形等，同样的截 面形状，要注意使具有较大的惯性矩的轴成为中性轴。
小变形
1 d2y ( x) dx 2
•二阶导数与弯矩的符号关系：
挠曲线微分方程：
d y M ( x) 2 dx EI
•解此挠曲线微分方程， 加上边界条件，即可得 到梁挠曲线上各点的转 角和挠度，即转角方程 和挠度（挠曲线）方程。
2
例：导出悬臂梁受集中 力作用的转角方程和挠 度方程。设 EI为常量。 解：建立坐标系，写出 弯矩方程； 两次积分得出转角方程和挠度方程的通用 式； 考虑边界条件得到该梁的转角方程和挠度 方程：
4.5简单超静定梁的求解
例：求图示超静定梁的约束反力。 解：法Ⅰ：解除支座B， 形成静定基，变形协调方程 ： y1+y2=0
ql 4 y1 8EI
RB l 3 y2 3EI
，
静 定 基 变 形 图
ql 4 RBl 3 0 8 EI 3EI
5ql RA 8
RB
3ql 8
E E
y

o1
o2
应力分布规律：横截面上的正应力沿 高度方向呈线性分布。
静力关系——
应 力和内力间的关系
横截面上的正应力分布
力系（平行力系）应为一 力偶系。 中性层在哪里？
dA 0
A

A
E
y

dA 0

A
ydA 0
中性轴通过横截面的形心
截面上的弯矩。 对中性轴的惯性矩表示截 E 面绕中性轴转动的难易程度， 2 M y dA 即表示了变形的刚度。 A 轴线的曲率表示了梁的变 形程度。 2 I z y dA A 梁弯曲变形的基本公式， 表示了引起梁变形的外力及 1 M 梁自身抵抗弯曲变形的能力 （抗弯刚度）对弯曲变形的 EI z 影响。 My 正应力计算公式： Iz
F

4
pD 2
pD 4
卧式容器在重力作用下 支座最佳位置的分析
支座最佳位置的条件: 跨中截面处的弯矩 值等于支座处的弯矩值.
1 2 qL L 1 2 qa a qL 2 2 2 8
a 0.207 L
I

8
D W
3

4
D 2
1. 求图示结构的约束反力。设 Mo=qa2.
惯性矩及抗弯截面模量
矩形截面：
bh bh2 Iz Wz 12 6 Iz
4
3
实心圆截面：
D 4
64
4
Wz
D 3
32
Iz
圆 环 形
D 64
3

d4

4 D d 1 64 D
4 D d Wz 1 32 D
对称作用。
实例：卧式容器—外伸梁；塔设备—悬臂梁等。
4.2 平面弯曲的内力分析
4.2.1 剪力和弯矩

产生原因：存在与轴线相垂直的横向载荷。 剪力和弯矩符号规定 ：取左段剪力向下为正，弯 矩逆时针为正。

符号规定的目的：使内力素与变形相关联，成为 截面位置的函数，这种函数叫剪力方程和弯矩方 程，作出的图线叫做剪力图和弯矩图。
dy Px ( x) (2 L x) dx 2 EI
Px2 y ( x) (3L x) 6 EI ymax PL3 3EI
max
PL2 2 EI
4.4.3用叠加法求梁的变形
► 叠加原理
：小变形，材料服从虎克定 律，梁的挠度和转角均与梁所受载荷 成线性关系，因此，梁在几种载荷共 同作用下的变形，可以看作是每一种 载荷单独作用时所产生的变形的叠加 。 ► 叠加原理用来求复杂载荷作用下梁特 定截面处的挠度和转角。每一种基本 载荷作用下的梁的变形公式需要预先 导出。
Q RA (0 x a) M RA x


作剪力图与弯矩图的规律：
1）若q=0，则剪力图为水平直线，弯矩图为直线。 2）若有向下的均布载荷，则剪力图为下降直线， 弯矩图为上凸抛物线。 3）在集中力作用处，剪力图发生突变，弯矩图不 发生突变；集中力偶作用处，剪力图不受影响， 弯矩图会发生突变。 4）最大弯矩可能发生的位置：集中力作用处；集 中力偶作用处；剪力等于零（Q=0）处。 关注图线走向、突变处、极值点及最大值（绝对 值）。
Iz Wz

8
D 3 D 2

4
薄 壁 圆 筒
4.3.3弯曲正应力强度条件
强度条件式(等截面)：
max
M max [ ] Wz
许用弯曲应力与简单拉(压)的许用应力意 义相同；
考虑到弯曲正应力的分布规律，许用弯曲 应力的值可取较大的值，或说弯曲安全系数 可取较小的值； 强度条件式可解决三方面的问题。