复数的几何意义 精讲优练课型PPT课件
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3.1.2 复数的几何意义
1.复平面
【自主预习】
实轴
虚轴
2.复数的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R) Z(a,b). (2)复数z=a+bi(a,b∈R) (O为坐标原点).
复平面内的点
平面向量
OZ
3.复数的模
(1)定义:向量 的___r叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模.
OZ 模
,两个虚数不能比较大小,但它们的模表示实 a2 b2 数,可以比较大小.
(3)几何角度理解:表示复数的点Z到原点的距离.|z1z2|表示复数z1,z2对应的点之间的距离.
易错警示:两个复数不能比较大小,但是复数的模能比 较大小.
类型一 复数与复平面内点的关系
【典例】1.(2016·潍坊高二检测)复数z= 应的点在复平面的( )
(3)虚轴与复数的对应:除了原点外,虚轴上的点都表示 纯虚数,原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复 数是z=0+0i=0,表示的是实数.
(4)象限内的点与复数的对应: ①第一象限的复数特点:实部为正,且虚部为正; ②第二象限的复数特点:实部为负,且虚部为正; ③第三象限的复数特点:实部为负,且虚部为负; ④第四象限的复数特点:实部为正,且虚部为负.
3
3
所以z对应的点在实轴上.
2.复数z在复平面上对应的点为(m-3,2 ), 所以m-3=2 ,即m-2 -3=0.解得m=m9.
答案:9 m
m
3.复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的实部为m2-m-2, 虚部为m2-3m+2. (1)由题意得m2-m-2=0. 解得m=2或m=-1.
(2)由题意得
m2 m2
m 2 0, 3m 2 0,
所以1 m 所2以, -1<m<1.
(3)由已m 知2或得mm<21-, m-2=m2-3m+2.所以m=2.
【延伸探究】将典例2中“复数z=(m-3)+2 i的点在 m
2.复数几何意义的两个注意点 (1)复数与复平面上的点:复数z=a+bi(a,b∈R)的对应 点的坐标为(a,b),而不是(a,bi). (2)复数与向量的对应:复数z=a+bi(a,b∈R)的对应向 量是以原点O为起点的,否则就谈不上一一对应,因为复 平面上与 相等的向量有无数个.
OZ
探究点2 复数的模 1.复数的模可以等于该复数吗? 提示:可以,当复数为正实数和0时就可以. 2.任意两个复数的模能比较大小吗? 提示:复数的模为实数,故能比较大小.
+i2对 3
A.第一象限内
B.实轴上
C.虚轴上
D.第四象限内
2.在复平面内表示复数z=(m-3)+2 i的点在直线y=x m
上,则实数m的值为________.
3.在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i对应点 (1)在虚轴上. (2)在第二象限. (3)在直线y=x上. 分别求实数m的取值范围.
【解题探究】1.典例1中复数对应的点是什么？
提示：( -1，0). 3
2.典例2中复数对应的点有什么特点? 提示:复数对应的点坐标中横坐标与纵坐标相等. 3.典例3中复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i对应点的坐标 是什么? 提示:(m2-m-2,m2-3m+2).
【解析】1.选B.因为z= +i2= -1∈R，
【归纳总结】 对复数模的三点说明 (1)数学上所谓大小的定义是,在(实)数轴上右边的比 左边的大,而复数的表示要引入虚数轴,在平面上表示, 所以也就不符合关于大和小的定义,而且定义复数的大 小也没有什么意义,所以我们说两个复数不能比较大小.
(2)数的角度理解:复数a+bi(a,b∈R)的模|a+bi|=
B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线y=x对称
【解析】选B.在复平面内对应于复数a-bi,-a-bi的两 个点为(a,-b)和(-a,-b),关于y轴对称.
2.(2016·保定高二检测)已知i为虚数单位,则复数-1-i
对应的点位于坐标平面内 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选C.复数-1-i对应的点的坐标为(-1,-1),位
于坐标平面内的第三象限.
3.复数z与它的模相等的充要条件是 ( ) A.z为纯虚数 B.z是实数 C.z是正实数 D.z是非负实数 【解析】选D.因为z=|z|,所以z为实数且z≥0.
4.在复平面内,O为原点,向量 对应的复数为-1+2i,
A.1
B.Biblioteka Baidu1
C.
D.±
【解3析】选D.因为|z|=2,所3 以a2+1=4,所以a=± .
3
6.设z=a+bi(a,b∈R)和复平面内的点Z(a,b)对应,当 b=________时,点Z位于实轴上. 【解析】当b=0时,复数z=a+bi=a为实数,即落在实轴上. 答案:0
【知识探究】 探究点1 复数的几何意义 1.原点O在虚轴上,数0是否也可以看作虚数? 提示:不可以.数0为实数,不是虚数.
(2)记法:复数z=a+bi的模记为____________. |z|或|a+bi|
(3)公式:|z|=|a+bi|=r=____________(r≥0,r∈R).
a2 +b2
【即时小测】
1.已知a,b∈R,那么在复平面内对应于复数a-bi,-a-bi
的两个点的位置关系是 ( )
A.关于x轴对称
2.实数可用数轴上的点来表示,类比一下,复数怎样来 表示呢? 提示:任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)都和一个有序实数 对(a,b)一一对应,因此,复数集与平面直角坐标系中的 点集一一对应.
【归纳总结】 1.复平面、实轴、虚轴与复数的对应 (1)复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应:点Z的横 坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a,b∈R)可用点Z(a,b) 表示. (2)实轴与复数的对应:实轴上的点都表示实数.
OA
若点A关于直线y=-x的对称点为B,则向量 对应的复
OB
数为 ( )
A.-2-i B.-2+i
C.1+2i D.-1+2i
【解析】选B.因为A(-1,2)关于直线y=-x的对称点为
B(-2,1),所以向量 对应的复数为-2+i.
OB
5.已知复数z=a+i(其中a∈R,i为虚数单位)的模为
|z|=2,则a等于 ( )
1.复平面
【自主预习】
实轴
虚轴
2.复数的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R) Z(a,b). (2)复数z=a+bi(a,b∈R) (O为坐标原点).
复平面内的点
平面向量
OZ
3.复数的模
(1)定义:向量 的___r叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模.
OZ 模
,两个虚数不能比较大小,但它们的模表示实 a2 b2 数,可以比较大小.
(3)几何角度理解:表示复数的点Z到原点的距离.|z1z2|表示复数z1,z2对应的点之间的距离.
易错警示:两个复数不能比较大小,但是复数的模能比 较大小.
类型一 复数与复平面内点的关系
【典例】1.(2016·潍坊高二检测)复数z= 应的点在复平面的( )
(3)虚轴与复数的对应:除了原点外,虚轴上的点都表示 纯虚数,原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复 数是z=0+0i=0,表示的是实数.
(4)象限内的点与复数的对应: ①第一象限的复数特点:实部为正,且虚部为正; ②第二象限的复数特点:实部为负,且虚部为正; ③第三象限的复数特点:实部为负,且虚部为负; ④第四象限的复数特点:实部为正,且虚部为负.
3
3
所以z对应的点在实轴上.
2.复数z在复平面上对应的点为(m-3,2 ), 所以m-3=2 ,即m-2 -3=0.解得m=m9.
答案:9 m
m
3.复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的实部为m2-m-2, 虚部为m2-3m+2. (1)由题意得m2-m-2=0. 解得m=2或m=-1.
(2)由题意得
m2 m2
m 2 0, 3m 2 0,
所以1 m 所2以, -1<m<1.
(3)由已m 知2或得mm<21-, m-2=m2-3m+2.所以m=2.
【延伸探究】将典例2中“复数z=(m-3)+2 i的点在 m
2.复数几何意义的两个注意点 (1)复数与复平面上的点:复数z=a+bi(a,b∈R)的对应 点的坐标为(a,b),而不是(a,bi). (2)复数与向量的对应:复数z=a+bi(a,b∈R)的对应向 量是以原点O为起点的,否则就谈不上一一对应,因为复 平面上与 相等的向量有无数个.
OZ
探究点2 复数的模 1.复数的模可以等于该复数吗? 提示:可以,当复数为正实数和0时就可以. 2.任意两个复数的模能比较大小吗? 提示:复数的模为实数,故能比较大小.
+i2对 3
A.第一象限内
B.实轴上
C.虚轴上
D.第四象限内
2.在复平面内表示复数z=(m-3)+2 i的点在直线y=x m
上,则实数m的值为________.
3.在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i对应点 (1)在虚轴上. (2)在第二象限. (3)在直线y=x上. 分别求实数m的取值范围.
【解题探究】1.典例1中复数对应的点是什么？
提示：( -1，0). 3
2.典例2中复数对应的点有什么特点? 提示:复数对应的点坐标中横坐标与纵坐标相等. 3.典例3中复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i对应点的坐标 是什么? 提示:(m2-m-2,m2-3m+2).
【解析】1.选B.因为z= +i2= -1∈R，
【归纳总结】 对复数模的三点说明 (1)数学上所谓大小的定义是,在(实)数轴上右边的比 左边的大,而复数的表示要引入虚数轴,在平面上表示, 所以也就不符合关于大和小的定义,而且定义复数的大 小也没有什么意义,所以我们说两个复数不能比较大小.
(2)数的角度理解:复数a+bi(a,b∈R)的模|a+bi|=
B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线y=x对称
【解析】选B.在复平面内对应于复数a-bi,-a-bi的两 个点为(a,-b)和(-a,-b),关于y轴对称.
2.(2016·保定高二检测)已知i为虚数单位,则复数-1-i
对应的点位于坐标平面内 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选C.复数-1-i对应的点的坐标为(-1,-1),位
于坐标平面内的第三象限.
3.复数z与它的模相等的充要条件是 ( ) A.z为纯虚数 B.z是实数 C.z是正实数 D.z是非负实数 【解析】选D.因为z=|z|,所以z为实数且z≥0.
4.在复平面内,O为原点,向量 对应的复数为-1+2i,
A.1
B.Biblioteka Baidu1
C.
D.±
【解3析】选D.因为|z|=2,所3 以a2+1=4,所以a=± .
3
6.设z=a+bi(a,b∈R)和复平面内的点Z(a,b)对应,当 b=________时,点Z位于实轴上. 【解析】当b=0时,复数z=a+bi=a为实数,即落在实轴上. 答案:0
【知识探究】 探究点1 复数的几何意义 1.原点O在虚轴上,数0是否也可以看作虚数? 提示:不可以.数0为实数,不是虚数.
(2)记法:复数z=a+bi的模记为____________. |z|或|a+bi|
(3)公式:|z|=|a+bi|=r=____________(r≥0,r∈R).
a2 +b2
【即时小测】
1.已知a,b∈R,那么在复平面内对应于复数a-bi,-a-bi
的两个点的位置关系是 ( )
A.关于x轴对称
2.实数可用数轴上的点来表示,类比一下,复数怎样来 表示呢? 提示:任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)都和一个有序实数 对(a,b)一一对应,因此,复数集与平面直角坐标系中的 点集一一对应.
【归纳总结】 1.复平面、实轴、虚轴与复数的对应 (1)复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应:点Z的横 坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a,b∈R)可用点Z(a,b) 表示. (2)实轴与复数的对应:实轴上的点都表示实数.
OA
若点A关于直线y=-x的对称点为B,则向量 对应的复
OB
数为 ( )
A.-2-i B.-2+i
C.1+2i D.-1+2i
【解析】选B.因为A(-1,2)关于直线y=-x的对称点为
B(-2,1),所以向量 对应的复数为-2+i.
OB
5.已知复数z=a+i(其中a∈R,i为虚数单位)的模为
|z|=2,则a等于 ( )