清华大学理论力学惯量矩阵分析解析
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第2节
惯量矩阵
2020年2月29日
第12章
三 维 刚 体 动 力 学 基 础
对过O点任意轴e的转动惯量
e l m nT
Je midi2
z0
mi
mi[ri2 (e ri )(ri e)] z ri di
mi[eT ri2Ee eT ririTe]
e
O
eT mi[ri2E ririT ]e x0
惯性主轴。
第12章
三 维 刚 体 动 力 学 基 础
返回
移心：研究对两点的转动惯量的关系
第12章
三 维 刚 体 动 力 学 基 础
ri ρi s ri i s
JO mi (ri2 E ri riT ) mi[(i s)T (i s)E (i s)(i s)T ]
mi[(i2 iT s sT i s2 )E (i iT i sT siT ssT )]
LO = Jx x i + Jy y j + Jz z k
求任意点惯量矩阵的一般方法是：先求出中 心主轴坐标系中的惯量矩阵，再用移心和转 轴变换求解。
第12章
三 维 刚 体 动 力 学 基 础
确定惯性主轴的几何方法
如果均质刚体有对称平面，
则平面上某点的惯性主轴 之一必与平面垂直
mi xi zi 0
0
1 4
mR
2
0
0
1 2
0 mR2
z
c
y
a
b
J
C
1 12
m(b2 0 0
c2
)0
1 12
m(a
2
0
c
2
0
)0 112m(a2
b2
)
第12章
三 维 刚 体 动 力 学 基 础
思考题 - 用几何法确定中心惯性主轴
x
y
z
JC
1 12
mL2 0 0
LO =
LO = JO
JO = — 惯性矩阵的特征值问题
J x J xy J xz x
J yx
Jy
J yz
y
0
J zx J zy J z z
JO是实对称阵，必存在三个实特征值（即 为主转动惯量），相应的特征向量就是三个
wk.baidu.com
JO JC m(s2E ssT )
Jo J c J m (Jm 为质心C对O的惯量矩阵)
J z J z md 2
(转动惯量的移轴公式)
J xy J xy msxsy
Z
z mi
在若干平行轴中，刚体对通
过质心之轴的转动惯量最小
O
X
ri s
ρi
y
xC
Y
第12章
三 维 刚 体 动 力 学 基 础
ri AT ri
JO mi (ri2E ririT ) mi (ri2E AT ririT A) AT mi (ri2E ririT ) A
z
z
O
x x
mi
ri y
y
JO AT JO A
若保持坐标原点不变，改变坐标轴相对于物 体的方位，则惯性矩阵的元素将随之变化。
x
y
A
y0
Je eT JOe
Je J xl2 J ym2 Jzn2 2J xylm 2J yzmn 2J zxnl
转轴：研究不同坐标系中惯性矩阵的关系
第12章
三 维 刚 体 动 力 学 基 础
旧系Oxyz —A 新系O'x'y'z' i = iA Aij ii ij
0
1 12
mL2
0
0 00
z
x
y
JC
2 5
mR2 0
0
0
2 5
mR2
0
0
2 5
0 mR
2
第12章
三 维 刚 体 动 力 学 基 础
确定惯性主轴的解析方法—特征值问题
矢量LO与一般不共线： LO = JO 如果沿某一惯性主轴z： = z k
LO=Jz — LO与共线
主轴坐标系
在惯性矩阵中, 若 Jxy = Jyx = 0; Jzx = Jxz = 0; Jzy = Jyz = 0 则Oxyz称为主轴坐标系，三轴称为惯性主 轴, Jx , J y , Jz 称为主转动惯量。惯性矩阵为
Jx 0 0 J 0 Jy 0
0 0 Jz
若点O与质心C重合，则轴Cx、Cy、Cz称为 中心惯性主轴，相应的转动惯量Jx、Jy、Jz 称为中心主转动惯量。
mi yi zi 0
如果均质刚体有对称轴, 则此轴是轴上各点的惯性 主轴
x mi
xi
z i
0
mi yi zi 0
z1 z2 对称面 o1 o2 P
z 对称轴
y
思考题 - 用几何法确定中心惯性主轴
第12章
三 维x 刚 体 动 力 学x 基 础
z
y JC
1 4
mR2 0
0
惯量矩阵
2020年2月29日
第12章
三 维 刚 体 动 力 学 基 础
对过O点任意轴e的转动惯量
e l m nT
Je midi2
z0
mi
mi[ri2 (e ri )(ri e)] z ri di
mi[eT ri2Ee eT ririTe]
e
O
eT mi[ri2E ririT ]e x0
惯性主轴。
第12章
三 维 刚 体 动 力 学 基 础
返回
移心：研究对两点的转动惯量的关系
第12章
三 维 刚 体 动 力 学 基 础
ri ρi s ri i s
JO mi (ri2 E ri riT ) mi[(i s)T (i s)E (i s)(i s)T ]
mi[(i2 iT s sT i s2 )E (i iT i sT siT ssT )]
LO = Jx x i + Jy y j + Jz z k
求任意点惯量矩阵的一般方法是：先求出中 心主轴坐标系中的惯量矩阵，再用移心和转 轴变换求解。
第12章
三 维 刚 体 动 力 学 基 础
确定惯性主轴的几何方法
如果均质刚体有对称平面，
则平面上某点的惯性主轴 之一必与平面垂直
mi xi zi 0
0
1 4
mR
2
0
0
1 2
0 mR2
z
c
y
a
b
J
C
1 12
m(b2 0 0
c2
)0
1 12
m(a
2
0
c
2
0
)0 112m(a2
b2
)
第12章
三 维 刚 体 动 力 学 基 础
思考题 - 用几何法确定中心惯性主轴
x
y
z
JC
1 12
mL2 0 0
LO =
LO = JO
JO = — 惯性矩阵的特征值问题
J x J xy J xz x
J yx
Jy
J yz
y
0
J zx J zy J z z
JO是实对称阵，必存在三个实特征值（即 为主转动惯量），相应的特征向量就是三个
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JO JC m(s2E ssT )
Jo J c J m (Jm 为质心C对O的惯量矩阵)
J z J z md 2
(转动惯量的移轴公式)
J xy J xy msxsy
Z
z mi
在若干平行轴中，刚体对通
过质心之轴的转动惯量最小
O
X
ri s
ρi
y
xC
Y
第12章
三 维 刚 体 动 力 学 基 础
ri AT ri
JO mi (ri2E ririT ) mi (ri2E AT ririT A) AT mi (ri2E ririT ) A
z
z
O
x x
mi
ri y
y
JO AT JO A
若保持坐标原点不变，改变坐标轴相对于物 体的方位，则惯性矩阵的元素将随之变化。
x
y
A
y0
Je eT JOe
Je J xl2 J ym2 Jzn2 2J xylm 2J yzmn 2J zxnl
转轴：研究不同坐标系中惯性矩阵的关系
第12章
三 维 刚 体 动 力 学 基 础
旧系Oxyz —A 新系O'x'y'z' i = iA Aij ii ij
0
1 12
mL2
0
0 00
z
x
y
JC
2 5
mR2 0
0
0
2 5
mR2
0
0
2 5
0 mR
2
第12章
三 维 刚 体 动 力 学 基 础
确定惯性主轴的解析方法—特征值问题
矢量LO与一般不共线： LO = JO 如果沿某一惯性主轴z： = z k
LO=Jz — LO与共线
主轴坐标系
在惯性矩阵中, 若 Jxy = Jyx = 0; Jzx = Jxz = 0; Jzy = Jyz = 0 则Oxyz称为主轴坐标系，三轴称为惯性主 轴, Jx , J y , Jz 称为主转动惯量。惯性矩阵为
Jx 0 0 J 0 Jy 0
0 0 Jz
若点O与质心C重合，则轴Cx、Cy、Cz称为 中心惯性主轴，相应的转动惯量Jx、Jy、Jz 称为中心主转动惯量。
mi yi zi 0
如果均质刚体有对称轴, 则此轴是轴上各点的惯性 主轴
x mi
xi
z i
0
mi yi zi 0
z1 z2 对称面 o1 o2 P
z 对称轴
y
思考题 - 用几何法确定中心惯性主轴
第12章
三 维x 刚 体 动 力 学x 基 础
z
y JC
1 4
mR2 0
0