理论力学8章分析
理论力学第七版
公理3 (Axiom 3) 加减平衡力系原理(The Principle of Addition or 公理
Subtraction Equilibrium Forces System)
推理1 推理 (Inference 1) 力的可传性(The Principle of Transmissibility) 推理2 推理 (Inference 2) 三力平衡汇交定理(Theorem of Three-force
被约束体
轴可在孔内任意转动， 轴可在孔内任意转动， 也可沿孔的中心线移动， 也可沿孔的中心线移动，但 轴承阻碍轴沿孔径向向外的 约束 位移。 位移。
第一章 静力学公理和物体的受力分析
1－2 约束和约束力 －
1-2 Constraints and Reactions of Constraints 反力方向 过接触点，沿接触面公法线指向轴心。 过接触点，沿接触面公法线指向轴心。 由于轴在孔内可任意转动， 由于轴在孔内可任意转动，故而轴 与孔的接触点位置是不定的。 与孔的接触点位置是不定的。因此反力 的方向一般预先不能确定。 的方向一般预先不能确定。但这样的一 个反力常用两个过轴心的， 个反力常用两个过轴心的，大小未知的 正交分力F 来表示。 正交分力 AX、FAY来表示。此二力指向 可任意假定。 可任意假定。
1－2 约束和约束力 － 约束和约束力(Constraints and Reactions of Constraints)
约束特点 阻碍物体沿接触面法线，并指向约束的运动。 作用点 接触点 反力方向 过接触点，沿接触面公法线，指向被约束物体
第一章 静力学公理和物体的受力分析
1－2 约束和约束力 － 约束和约束力(Constraints and Reactions of Constraints)
理论力学(大学)课件8.1 空间任意力系向一点的简化及结果分析
空间任意力系及重心的计算
c. 简化为合力偶
⑤ FR′= 0, MO≠0
一个合力偶 与简化中心无关。 d. 平衡
⑥ FR′= 0, MO= 0
平衡
平面任意力系简化的最后结果
只能是合力、合力偶、平衡三种情况，不可能出现力螺旋。
1、空间任意力系向一点的简化 及结果分析
空间任意力系及重心的计算
中心轴过简化中心的力螺旋
力螺旋 由一个力和一个力偶组成的力系, 并且力垂直于力 偶的作用面。
MO O F'R
F'R O
右螺旋
F'R O
F'R O
MO
左螺旋
1、空间任意力系向一点的简化 及结果分析
空间任意力系及重心的计算
钻头钻孔时施加的力螺旋
1、空间任意力系向一点的简化 及结果分析
空间任意力系及重心的计算
å å å 方向 cos(FR¢ , i) =
Fix FR¢
cos(FR¢ , j) =
Fix FR¢
cos(FR¢ , k) =
Fiz FR¢
作用点: 一般令其作用于简化中心上
空间任意力系及重心的计算
空间力偶系的合力偶矩
å å MO = Mi = MO (Fi )
主矩
由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
1、空间任意力系向一点的简化 及结果分析
空间汇交力系与空间力偶系等效代替一空间任意力系.
空间任意力系及重心的计算
汇交力系的合力
FR¢ = å Fi = å Fxi + å Fy j + å Fzk
主矢
F1¢
M2
M1
FR¢ F2¢
Fn¢ M n
理论力学教程 (周衍柏)(第四版)
理论力学教程 (周衍柏)(第四版)介绍《理论力学教程》是中国科学技术大学教授周衍柏先生编写的理论力学教程的第四版。
本教程系统地介绍了力学的基本原理、定律和方法，旨在帮助读者深入理解和掌握理论力学的核心概念，培养分析和解决力学问题的能力。
目录1.力学的基本概念–力学的起源和发展–力学的基本假设–物体的受力分析2.动力学–一维运动学–牛顿定律–静力学–动力学定律的应用3.连续体力学–连续体的基本概念–物质点系和质点系的运动方程–连续体的动力学方程4.运动学的数学方法–坐标系和位置矢量–速度和加速度–运动学定理–曲线运动的描述5.动力学的数学方法–牛顿第二定律的矢量形式–动量和动量守恒定律–力矩和力矩定律–统一的动力学方法6.力学系统的理论–多体系统的动力学–质点系和刚体系的力学–力学系统的能量和能量守恒定律7.外力作用下的刚体运动–刚体的运动学–刚体受力和动力学–刚体运动的定理和方法–刚体系统动力学的能量和能量守恒定律8.振动–简谐振动–非简谐振动–耦合振动–振动的应用内容概述《理论力学教程》共分为八个章节，包含了力学的基本概念、动力学、连续体力学、运动学的数学方法、动力学的数学方法、力学系统的理论、外力作用下的刚体运动以及振动等内容。
在力学的基本概念部分，教程介绍了力学的起源和发展，以及力学的基本假设和物体的受力分析方法，为后续章节的学习奠定了基础。
动力学部分介绍了一维运动学、牛顿定律、静力学以及动力学定律的应用。
读者可以学习如何利用牛顿定律分析力学问题，并应用其定律解决实际问题。
连续体力学部分讲解了连续体的基本概念、物质点系和质点系的运动方程，以及连续体的动力学方程。
通过学习这一章节，读者可以了解连续体力学的基本理论和应用。
运动学的数学方法一章介绍了坐标系和位置矢量的概念，以及速度和加速度的定义与计算方法。
运动学定理和曲线运动的描述也是本章的重要内容。
动力学的数学方法部分将牛顿第二定律推广到矢量形式，详细介绍了动量和动量守恒定律以及力矩和力矩定律的应用。
理论力学教案-运动学
论力学--运动学运动学研究点和刚体运动的几何规律，即运动方程、轨迹、速度、加速度或角速度、角加速度等运动特征量。
第六章 点的运动学点的运动学是研究一般物体运动的基础，又具体独立的应用意义。
描述点的运动有矢径法、直角坐标法、自然法三种方法。
§6.1 矢量法一．矢量法表示点的运动方程设动点M 在空间作曲线运动，在参考坐标系上任取 某确定的点O 为坐标原点，则动点的位置可用原点至动 点的矢径r 表示。
当动点M 运动时，矢径r 的大小和方 向一般也随时间而改变，并且是时间的单值连续函数， 即)(t r r =上式称为用矢量表示的点的运动方程。
动点M 在运动过程中，其矢径r 的末端在空间 描绘出的曲线，称为动点M 的运动轨迹。
也称为矢径r 的矢端曲线。
二．矢量法表示点的速度)()(t t t r r r -+=∆∆平均速度tt t t t ∆∆∆∆)()(r r r υ-+== 瞬时速度dtd t t t rr υυ===→→∆∆∆∆00limlim 三．矢量法表示点的加速度 )()(t t t υυυ-+=∆∆ 平均加速度tt t t t ∆∆∆∆)()(υυυa -+==瞬时加速度2200lim lim dt d dt d t t t rυυa a ====→→∆∆∆∆结论：动点的速度等于它的矢径r 对时间的一阶导数，其加速度等于动点的速度对时间的一阶导数，也等于动点的矢径r 对时间的二阶导数。
§6.2 直角坐标法一．直角坐标表示动点的运动方程由于k j i r z y x ++=，当动点在轨迹上运动时，r 随时间而变化，则动点M 的坐标值x ，y 和z 随时间 而变化。
即⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(321t f z t f y t f x消去方程中的参数t ，则得到动点运动的轨迹。
二．直角坐标表示动点的运动速度由于动点M 的矢径可表示为 k j i r z y x ++=，所以动点M 的速度可表示为 k j i r υdtdzdt dy dt dx dt d ++==将动点M 的速度写成投影形式，即k j i υz y x υυυ++=比较以上两式，可得dt dx x =υ，dt dy y =υ，dtdz z =υ 三．直角坐标表示动点运动的加速度动点M 的速度可表示为k j i r υdtdz dt dy dt dx dt d ++==，其加速度可表示为 k j i υa 222222dtzd dt y d dt x d dt d ++==将动点M 的加速度写成投影形式，即k j i a z y x a a a ++=比较以上两式，可得 22dt x d a x =，22dt y d a y =，22dt z d a z =结论：动点的速度在各坐标轴上的投影等于各对应的坐标对时间的一阶导数，动点的加速度在各坐标轴上的投影等于各对应的坐标对时间的二阶导数。
理论力学复习资料
力学复习选择：力系简化最后结果（平面，空间）牵连运动概念（运动参考系运动，牵连点运动） 平面运动刚体上的点的运动平面运动的动能计算（对瞬心，及柯里西算法） 质心运动定理（投影法x ，y ，z ，轨迹）惯性力系想一点简化计算：刚体系统平衡计算（多次取分能力体，一般为2次） 平面运动 速度的综合计算 动能定理应用动静法（其他方法不得分），已知运动求力（先用动能（动量）定理求运动，在用动静法求力）注意：1.功的单位是m WN ------∙2.注意检验fs N F f F ≤∙,判断是否是静摩擦，当为临界状态时max f s s N F F f F ==∙，纯滚动为静摩擦S F ,且只能根据平衡方程解出，与正压力无关。
动摩擦f NF f F =∙。
3. 动静法中惯性力简化()=-IC i i CIC c IC c F m a c F ma c M J α⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭⎧⎫⎪⎪⇒⎨⎬=------⎪⎪⎩⎭∑质心过点到底惯性力绕点的惯性力偶二维刚体4.e c i i F ma m a ==∑∑， 22d ,d i i cc c m r r r a m t==∑eF ∑=0，则x v =常数=0（初始静止）则c x =常数=坐标系中所在位置，且c S 为直线。
（一直运动求力）5.平面运动刚体动能*222121122c c c J T mv J ωω⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪+⎪⎪⎩⎭瞬心法：柯里希法： 6.平面运动速度分析方法：a,基点法：,BA BA BA v v v v AB ω=+=，以Bv为对角线的平行四边形b,速度投影法：cos cos B B A A v v θθ=,,B A θθ是以AB 为基准。
c,速度瞬心法：***,*,0,0AB c c v v BC v a ACωω==∙=≠ 7.平面运动加速度分析：A.基点法：nB A BA BA a a a a τ=++，其中，多数情况下n A A A a a a τ=+，n B B B a a a τ=+注：当牵连运动为转动时，有科氏加速度k a ，2kr av ω=⨯大小：2kr a v ω=，方向：r v 向ω方向转90即可。
理论力学
两个坐标系
定坐标系（定系） 动坐标系（动系）
三种运动
绝对运动：动点相对于定系的运动。 相对运动：动点相对于动系的运动。 牵连运动：动系相对于定系的运动。
定参考系
牵连运动
动参考系
动点
一点、二系、三运动
相对轨迹
相对速度 v r
相对加速度 a r
绝对轨迹
绝对速度 绝对加速度
va
aa
牵连速度 v e 和牵连加速度 a e
在动参考系上与动点相重合的那一点（牵连点）的 速度和加速度称为动点的牵连速度和牵连加速度。
(1) 动点相对于定参考系的速度、加速度和轨迹， 称为动点的绝对速度va、绝对加速度aa和绝对轨迹。
(2) 动点相对于动参考系的速度、加速度和轨迹， 称为动点的相对速度vr、相对加速度ar和相对轨迹 。
由于动参考系的运动是刚体的运动而不是一个点 的运动，所以除非动参考系作平动，否则其上各点的 运动都不完全相同。因为动参考系与动点直接相关的 是动参考系上与动点相重合的那一点(牵连点)，因此 定义：
rO xi ' yj 'zk '
v a d d r M t r O x i' y j ' z k ' x i' y j ' z k '
得
vavevr
点的速度合成定理：动点在某瞬时的绝对速度等于
它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。
处理具体问题时应注意： (1) 选取动点、动参考系和定参考系。
练习：已知 ,，小球的相对速度u，OM=l。 求：牵连速度和牵连加速度
y x'
y'
M
O
φ
x
实例一：车刀的运动分析
理论力学受力分析
理论力学受力分析目录一、内容概括 (3)1. 理论力学概述 (3)2. 受力分析的重要性 (4)3. 受力分析的基本方法和步骤 (5)二、基本力学原理 (6)1. 牛顿运动定律 (7)1.1 牛顿第一定律 (8)1.2 牛顿第二定律 (9)1.3 牛顿第三定律 (9)2. 力的分类与性质 (10)2.1 力的种类 (10)2.2 力的性质 (11)三、受力分析方法与技巧 (13)1. 受力图的绘制 (14)1.1 确定研究对象 (15)1.2 力的识别和表示 (15)1.3 力的方向和大小标注 (17)2. 力的分解与合成 (18)2.1 力的分解 (19)2.2 力的合成 (19)3. 受力平衡条件及应用 (21)3.1 受力平衡条件的概述 (22)3.2 受力平衡条件的应用实例 (23)四、复杂系统受力分析 (25)1. 柔体系统的受力分析 (26)1.1 柔体系统的特点 (28)1.2 柔体系统的受力分析方法 (29)2. 多刚体系统的受力分析 (30)2.1 多刚体系统的组成 (32)2.2 多刚体系统的受力分析步骤 (32)五、实践应用与案例分析 (33)1. 工程中的受力分析实例 (35)1.1 桥梁工程中的受力分析 (36)1.2 机械结构中的受力分析 (37)1.3 建筑结构中的受力分析 (38)2. 理论力学在其它领域的应用 (39)2.1 生物力学中的受力分析 (41)2.2 材料力学中的受力分析应用 (42)六、总结与展望 (43)1. 受力分析的总结与回顾 (44)2. 受力分析的发展趋势与展望 (45)一、内容概括理论力学受力分析是研究物体在受到外力作用下所表现出的运动规律和性质的一门学科。
本文档将详细介绍理论力学受力分析的基本原理、方法和应用，包括质点、刚体、平面运动、曲线运动、圆周运动等不同情况下的受力分析。
我们将从牛顿三定律出发，阐述物体在受到外力作用下的加速度与力的关系。
理论力学8-4-拉格朗日方程的首次积分
讨论
2 , T 1 ( J mR 2 sin 2 ) 2 T2 1 mR 2 0 2 2
V mgR g cos
2 1 mR 2 2 mgR cos L 1 ( J mR 2 sin 2 ) 2 2
分析动力学
) 为循环坐标，存在循环积分 为循环坐标 存在循环积分 a)
L J mR 2 sin 2 C 系统动量矩守恒
2 1 ( J mR 2 sin 2 ) 2 L 1 mR 2 2 2 mgR cos
T2 T0 V 1 mR 2 2 1 ( J mR 2 sin 2 ) 2 mgR cos E 2 2
7/21
第 8章
9/21
第 8章
11/21
分析动力学 分析动力学 分析动力学
分析动力学
拉格朗日函数可写为：L T2 T1 T0 V N L q LE 2T2 T1 T2 T1 T0 V E j j j 1 q
T2 T0 V E
T T2 故 T V E 对于定常约束，有 T1 T0 0，
第8章 ri ri (q1 , q2 , , qn , t )
r T 1 mi r 2 i 1 i i
N
i r
ri r j i q t q j j 1
n
0
L C 循环积分 j j q
V与广义速度无关
N n r r n r r i i q l i 1 mi i q 2 i 1 j 1 q j j t t q l 1 l N n N r r r r 1 mi i i mi i i q 2 i 1 t t q j t j j 1 i 1
理论力学练习册及答案(南华版)
动系固连摇杆CB上，定系固连机架。
由速度合成定理 作速度平行四边形。
B点速度为：
由加速度合成定理 作加速度图。
取 方向投影，得：
B点加速度为：
7-4.半径为R的半圆形凸轮以匀速V0沿水平线向右平动，带动顶杆AB沿铅直方向运动，当OA与铅直线夹角为300时，求此时杆AB的速度和加速度。
解：动点取杆OA上A点，动系固连杆O1C上，定系固连机架。
由速度合成定理 作速度平行四边形。
由加速度合成定理 作加速度图。
取 方向投影，得：
再取动点杆O1C上C点，动系固连套筒B上，定系固连机架。
由速度合成定理 作速度平行四边形。
由加速度合成定理:
作加速度图。
取 方向投影，得：
取 方向投影，得：
第八章 刚体平面运动
分别取节点A、B为研究对象，受力如图
对于节点A： ，
(压)
对于节点B： , (压)
2-11.计算桁架中1、2、3杆的受力。
解：取I-I剖面右边部分为研究对象，受力如图。
,
(拉)
,
(压)
研究节点B: ，
(压)
第三章 空间力系
3-1.图示正立方体，各边长为a，四个力F1、F2、F3、F4大小皆等于F，如图所示，作用的相应的边上。求此力系简化的最终结果，并在图中画出。
8-7.四杆机构中，曲柄OA以匀角速度ω0=25 rad/s绕O轴转动，OA=50 cm，AB=100 cm，O1B= cm。求∠OAB=900时，B点的加速度，摇臂O1B的角速度和角加速度。
8-8.图示机构中，设当OA与水平线成450角的瞬时，曲柄OA有反时针方向的匀角速度ω＝25 rad/s，连杆AB水平，扇形板BD铅垂。求扇形板绕定轴D转动的角加速度ε。
《理论力学》第八章刚体的平面运动
刚体的平面运动特点
刚体的平面运动具有 连续性，即刚体上任 意一点的运动轨迹都 是连续的。
刚体的平面运动具有 周期性，即刚体的运 动轨迹可以是周期性 的。
刚体的平面运动具有 对称性，即刚体的运 动轨迹可以是对称的。
02
刚体的平面运动分析
刚体的平动分析
平动定义
刚体在平面内沿着某一确定方向作等速直线运动。
详细描述
通过综合分析动能和势能的变化，可以深入理解刚体在平面运动中的能量转换过程。例 如，当刚体克服重力做功时，重力势能转化为动能；当刚体克服摩擦力做功时，机械能 转化为内能。这种能量转换过程遵循能量守恒定律，即系统总能量的变化等于外界对系
统所做的功与系统内能变化之和。
06
刚体的平面运动的实例分析
刚体的平面运动通常可以分为两种类型：纯滚动和滑动。在 纯滚动中，刚体只滚不滑，刚体上任意一点在任意时刻都位 于一个固定的圆周上。在滑动中，刚体既滚又滑，刚体上任 意一点在任意时刻都位于一个变化的圆周上。
刚体的平面运动分类
纯滚动
刚体只滚不滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个固定的圆 周上。
滑动
刚体既滚又滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个变化的圆 周上。
势能定理
总结词
势能定理描述了势能与其他形式的能量转换的关系。
详细描述
势能定理指出，在刚体的平面运动过程中，非保守力（如摩擦力、空气阻力等）对刚体所做的功等于系统势能的 减少量。非保守力做正功时，系统势能减少；非保守力做负功时，系统势能增加。
动能和势能的综合分析
总结词
在刚体的平面运动中，动能和势能的综合分析有助于理解运动过程中能量的转换和守恒。
做平动，这种运动也是复合运动。
理论力学第八章点的合成运动和例题讲解
MM' ＝ MM1 ＋ M1M'
MM' ＝ MM1 ＋ M1M' 将上式两边同除以△t， 取△t →0时的极限，得
lim M M lim M M 1 lim M 1 M t 0 t t 0 t t 0 t
va vevr
即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度 的矢量和，这就是点的速度合成定理。 说明：① 点的速度合成定理适用于牵连运动（动系的运动）为
O1B的角速度1。
解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B 为动系，基座为静系。
绝对速度va = r ，方向 OA
相对速度vr = ? 方向//O1B 牵连速度ve = ? 方向O1B
由速度合成定理 va vevr作出速度平行四边形 如图所示。
ve vasin r
r r2 l2
r 2 r2 l2
则
1. 绝对运动：动点相对于静系的运动。 2. 相对运动：动点相对于动系的运动。 点的运动 3. 牵连运动：动系相对于静系的运动。 刚体的运动 在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点叫牵连点。
绝对运动中动点的速度与加速度称绝对速度 v a 与绝对加速度 a a 相对运动中动点的速度和加速度称相对速度 v r 与相对加速度 a r
§8-2 点的速度合成定理
点的速度合成定理将建立动点的绝对速度、相对速度和牵连 速度之间的关系。
设有一动点M按一定规律沿着固连于动系O’x’y’z’ 的曲线AB 运动, 而曲线AB同时又随同动系O’x’y’z’ 相对静系Oxyz运动。
当t t+△t 时 AB A' B' ， M M' 也可看成M M１ M´
理论力学8章分析解析
2018/10/20
理论力学第8章
22
补充例题。圆轮纯滚动的运动特点。 1. 圆轮在水平面上作纯滚动。轮心A作水平直 线运动。 无滑动条件：轮心A的 水平位移OC等于轮缘 滚动过的弧长，即 OC=MC。设OC长度为x， MC的圆心角为φ，则
x r
2018/10/20 理论力学第8章 23
OA sin AB sin r sin sin l
2018/10/20 理论力学第8章 13
2018/10/20
理论力学第8章
14
用基点法建立A和B的 速度关系。
v B v A v BA vB v A sin vBA sin 0 v A cos vBA cos r cos vBA AB l cos cos sin( ) vB r sin r sin r cos cos cos r , cos
2018/10/20
理论力学第8章
34
轮A的速度和加速度分析：
vA v A r A， A 10rad / s R vC 2 R A 4m / s aA aA r A ， A 10rad / s 2 R t n aC a A aCA aCA
v B v A v BA vB cos30 v A cos30 vB sin 30 v A sin 30 vBA v B v A r vBA 0,
2018/10/20
BA 0
理论力学第8章
19
对于轮B： C为瞬心。
vC v B vCB 0 vB vCB vCB vB r vCB B r
理论力学复习详解
《理论力学》复习指南第一部分静力学第1章．静力学基本概念和物体的受力分析1．静力学基本概念力是物体间相互的机械作用，这种作用使物体运动状态发生变化或使物体产生变形。
前者称为力的运动效应，后者称为力的变形效应。
力对物体的作用决定力的三要素：大小、方向、作用点。
力是一定位矢量。
刚体是在力作用下不变形的物体，它是实际物体抽象化的力学模型。
等效若两力系对物体的作用效应相同，称两力系等效。
用一简单力系等效地替代一复杂力系称为力系的简化或合成。
2．静力学基本公理力的平行四边形法则给出了力系简化的一个基本方法，是力的合成法则,也是一个力分解成两个力的分解法则。
二力平衡公理是最简单的力系平衡条件。
加减平衡力系公理是研究力系等效变换的主要依据。
作用与反作用定律概括了物体间相互作用的关系。
刚化公理给出了变形体可看作刚体的条件。
3. 约束类型及其约束力限制非自由体位移的周围物体称为约束。
工程中常见的几种约束类型及其约束力4. 受力分析对研究对象进行受力分析、画受力图时，应先解除约束、取分离体，并画出分离体所受的全部已知载荷及约束力。
画受力图的要点第2章．平面力系[例]桁架结构0力杆（习题2-55）第3章．空间任意力系1. 物体的重心重心是物体重力的合力作用点。
均质物体的重心与几何中心――形心重合。
重心坐标的一般公式是⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∆=∆=∆=∑∑∑P z P z P y P y P x P x i i C i i C ii C ; 对于均质物体⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⋅=⋅=⋅=⎰⎰⎰V dV z z V dV y y V dV x x VC V C V C第4章摩擦1.基本概念动滑动摩擦、静滑动摩擦 自锁当物体处于临界平衡状态时，静摩擦力的大小F 与相互接触物体之间的正压力大小与正比。
2.基本计算动滑动摩擦、静滑动摩擦的计算【例】物A 重100KN ，物B 重25KN ，A 物与地面 的摩擦系数为0.2，滑轮处摩擦不计。
理论力学8
求曲柄在水平位置瞬时，摇杆O1B绕O1轴的角速度1及滑块A相
对摇杆O1B的相对速度。
运动学/点的合成运动
解：
选取动点： OA 上的A点 动系： O1B 定系： 基座
运 绝对运动：圆周运动 动 分 相对运动：直线运动 析 牵连运动：定轴转动 ：
运动学/点的合成运动
另一方面，在实际问题中，不仅要在固联在地面上
的参考系上还要在相对于地面运动着的参考系上观察和
研究物体的运动。下面先看几个例子。
沿直线轨道纯滚动 的圆轮，研究轮缘上A 点的运动，对于地面上 的观察者，是旋轮线轨 迹，对站在轮心上的观 察者是圆。
A点的运动可看成随轮心的平移与绕轮心转动的合成。
运动学/点的合成运动
MM MM1 M1M 将上式两边同时除以t并取 t0得
lim MM lim MM1 t 0 t t 0 t
lim
M1M
t 0 t
va ve vr
即：在任一瞬时动点的绝对速度等于牵连速度与相对速
度的矢量和，这就是点的速度合成定理。
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其它两个。
运动学/点的合成运动
例如，直管OB以匀角速度绕定轴O转动，小球M
以速度u在直管OB中作相对的匀速直线运动，如图示。 将动坐标系固结在OB管上，以小球M为动点。随着动 点M的运动，牵连点在动坐标系中的位置在相应改变。 设小球在t1、t2瞬时分别到达M1、M2位置，则动点的 牵连速度分别为
ve1 OM1
运动学/点的合成运动
第八章
点的合成运动
在前两章中研究点和刚体的运动时，认为地球（ 参考体）固定不动,将坐标系（参考系）固连于地面。 因此，点和刚体的运动是相对固定参考系而言的。
完整word版理论力学课后习题及答案解析
理论力学教科书课后习题及解析第一章偶，大小是260Nm，转向是逆时针。
．求图示平面力系的合成结果，长度单位为m1习题4-习题4－3．求下列各图中平行分布力的合力和对于A点之矩。
A点的矩是：(1) 解：平行力系对O(1) 解：取点为简化中心，求平面力系的主矢：B取点为简化中心，平行力系的主矢是：求平面力系对点的主矩：O 点的主矩是：B 平行力系对B RB向点简化的结果是一个力，且：M和一个力偶合成结果：平面力系的主矢为零，主矩不为零，力系的合成结果是一个合力(2) B．理论力学教科书课后习题及解析A，且：M向A点简化的结果是一个力如图所示；R和一个力偶A如图所示；将，使满足：d R向下平移一段距离B的大小等于载荷分布的其几何意义是：。
R最后简化为一个力R，大小等于R B，使满足：d R将向右平移一段距离A矩形面积，作用点通过矩形的形心。
A(2) 取点为简化中心，平行力系的主矢是：的大小等于载荷分布的R。
其几何意义是：RR最后简化为一个力，大小等于A三角形面积，作用点通过三角形的形心。
点的主矩是：A平行力系对．理论力学教科书课后习题及解析列平衡方程：。
．求下列各梁和刚架的支座反力，长度单位为习题4-4m解方程组：反力的实际方向如图示。
校核：解：(1) 研究AB杆，受力分析，画受力图：结果正确。
(2) 研究AB杆，受力分析，将线性分布的载荷简化成一个集中力，画受力图：理论力学教科书课后习题及解析(3) 研究ABC，受力分析，将均布的载荷简化成一个集中力，画受力图：列平衡方程：解方程组：列平衡方程：反力的实际方向如图示。
校核：解方程组：结果正确。
．理论力学教科书课后习题及解析反力的实际方向如图示。
校核：结果正确。
的约束反力A．重物悬挂如图，已知习题4-5G=1.8kN，其他重量不计；求铰链和杆BC所受的力。
列平衡方程：解方程组：BC是二力杆），画受力图：研究整体，受力分析（(1) 解：反力的实际方向如图示。
理论力学习题册答案
第一章静力学公理与受力分析(1)一．是非题1、加减平衡力系公理不但适用于刚体，还适用于变形体。
（）2、作用于刚体上三个力的作用线汇交于一点，该刚体必处于平衡状态。
（）3、刚体是真实物体的一种抽象化的力学模型，在自然界中并不存在。
（）4、凡是受两个力作用的刚体都是二力构件。
（）5、力是滑移矢量，力沿其作用线滑移不会改变对物体的作用效果。
（）}二．选择题1、在下述公理、法则、原理中，只适于刚体的有（）①二力平衡公理②力的平行四边形法则③加减平衡力系公理④力的可传性原理⑤作用与反作用公理三．画出下列图中指定物体受力图。
未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑接触。
多杆件的整体受力图可在原图上画。
)a(球A )b(杆AB)d(杆AB、CD、整体)c(杆AB、CD、整体))e(杆AC、CB、整体)f(杆AC、CD、整体~四．画出下列图中指定物体受力图。
未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑接触。
多杆件的整体受力图可在原图上画。
)a(球A、球B、整体)b(杆BC、杆AC、整体第一章静力学公理与受力分析（2）一．画出下列图中指定物体受力图。
未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑接触。
多杆件的整体受力图可在原图上画。
WA DBCEOriginal FigureADBCEWWF AxF Ay F BFBD of the entire frame )a(杆AB、BC、整体)b(杆AB、BC、轮E、整体…)c(杆AB、CD、整体)d(杆BC带铰、杆AC、整体)e(杆CE、AH、整体)f(杆AD、杆DB、整体!)g(杆AB带轮及较A、整体)h(杆AB、AC、AD、整体]第二章平面汇交和力偶系一．是非题1、因为构成力偶的两个力满足F= - F’，所以力偶的合力等于零。
（）2、用解析法求平面汇交力系的合力时，若选用不同的直角坐标系，则所求得的合力不同。
（）3、力偶矩就是力偶。
（）（二．电动机重P=500N，放在水平梁AC的中央，如图所示。
理论力学解题思路剖析
典型习题以下通过例题来演示上述介绍的方法。
[例1]由哈工大1-2（k）改编;如图，各处光滑，不计自重。
1）画出整体，AC（不带销钉C）,BC（不带销钉C）,销钉C的受力图。
2）画出整体，AC（不带销钉C）,BC（带销钉C）。
3）画出整体，AC（带销钉C）,BC（不带销钉C）。
[解法提示]：应用三力汇交时从整体到局部或从局部到整体来思考，尽量减少未知力方向，则AC（不带销钉C）可用三力汇交。
BC（不带个数。
1）由整体利用三力汇交确定FA销钉C）也三力汇交。
（a） (b) (c) (d)方向，则AC（不带销钉C）可用三力汇交。
BC（带销钉2）由整体利用三力汇交确定FAC）不能用三力汇交。
具体参考1）方向，BC（不带销钉C）不能用三力汇交。
AC（带销钉3）由整体利用三力汇交确定FAC）不能用三力汇交。
[例2]由何锃1.4.3改编;如图，各处光滑，不计自重。
1）画出整体，AB（不带销钉B）,BC（不带销钉B）,销钉B的受力图。
2）画出整体，AB（不带销钉B）,BC（带销钉B）。
3）画出整体，AB（带销钉B）,BC（不带销钉B）。
[解法提示]： 1）由B点的特点，可用三力汇交确定F方向。
A（a） (b) (c) (d) 2），3）当销钉处没有集中力时，带不带销钉都一样，可把销钉处AB和BC间的力当作作用力与反作用力。
注意，当销钉处有集中力时，则不能如此。
[例3] 如图，求静平衡时，AB对圆盘c的作用力方向。
各处不光滑，考虑自重，圆盘c自重为P。
[解法提示]： 1）由E点的特点，可用三力汇交确定为DE方向。
[例4] 何锃1.4.9;如图. 各处光滑，不计自重。
画受力图：构架整体、杆AB、AC、BC（均不包括销钉A、C）、销钉A、销钉C[解法提示]：先对整体用用三力汇交确定地面对销钉C的力方向。
依次由a)~f)作图。
（a） (b)(c)(d)(e) (f)第2章平面力系的简化和平衡一问题问题1：本章注意问题有哪些？1）找出二力轩 2）约束力画正确3）①平面汇交力系：2个方程⇒能且只能求得2个未知量（以下“未知量”用？表示）1n平面力偶系： 1个方程⇒2个？ 2n 平面平行力系：2个方程⇒2个？ 3n 平面任意力系：3个方程⇒3个？ 4n⇒一个系统总的独立方程个数为：⇒+++4321322n n n n 能且只能求得相应数目？②任意力学列方程方法 a) 一矩式b ）二矩式 y AB ⊥不（力投影轴）c ）三矩式 ABC 不共线③具体对一个问题分析时注意（1）所列方程必须线性无关，局部：方程1；局部 ：方程2方程1+方程2＝整体方程 是不行的（2）因此尽量选择一个对象列所有的方程，看未知力与方程数差数目再找其他物体列对应方程问题2：如何取研究对象，如何列方程答：㈠、原则：（1）尽量列最少数目的方程 只包含待求未知量（优先） 尽量让每个方程能解出一个未知量 ㈡、解题思路（重要）:a)先整体，看能从3个方程中列几个有用方程，把能求出的未知量当作已知，方便以后分析，但不必具体求出其中的未知量的大小，以后须用到某个未知量，再回头求。
机械原理 第8章 平面机构的受力分析
式中， 为摩擦系数，当运动副元素是平面时，不同材料组 合测得的摩擦系数参数见表8.1。 由于 f 21 是一个常数，在计入摩擦的受力分析时，为了简化 N 21 分析过程，通常不单独分析 f 21 和 N 21 ，而研究它们的合力 F 21 ， 称为构件2对构件1的总反力。从图8.4中可以看到： F 21 与 N 21 之间 f arctan ， 称为构件的摩擦角。因为 F 21 与 的夹角 arctan N 之 v12 间夹角为 90° ，F 21故是运动的总反力。引入摩擦角的概 念对分析构件的运动十分方便。如图8.4(b)所示，当与滑移副导轨 的垂直方向夹角为 的驱动力 F 的作用线作用在摩擦角以内时 (即 时)，无论驱动力 F 加到多大，其水平分力永远小于 摩擦力 f 21 ，滑块原来不动将永远不会运动；如果滑块原来在运 动，则将作减速运动，直至运动停止。当 时，滑块将加速运 动；当 时滑块原来不动仍然不动，原来在运动，则将继续 保持原方向匀速运动。
● 8.4
● 8.4.1
运动副中摩擦力的确定
低副中摩擦力的确定 1. 移动副中的摩擦力和总反力 图8.4(a)所示移动副，滑块1为示力体，当载荷为 Q 的滑块1在 驱动力 F 水平作用下相对构件2以匀速 v12 水平移动时，根据库 仑定理，构件2作用在滑块1上的法向反力 N 21 与摩擦力 f 21 有以下 关系： f 21 N 21 Q (8.8)
两种。
① 有效阻力，即工作阻力。它是机械在生产过程中为了改变 工作物的外形、位置或状态等所受到的阻力，克服了这些阻力就 完成了有效的工作。如机床中工件作用于刀具上的切削阻力，起 重机所起吊重物的重力等均为有效阻力。克服有效阻力所完成的 功称为有效功或输出功。 ② 有害阻力，即机械在运转过程中所受到的非生产阻力。机 械为了克服这类阻力所做的功是一种纯粹的浪费。如摩擦力、介 质阻力等，一般常为有害阻力。克服有害阻力所做的功称为损失 功。 当然，摩擦力和介质阻力在某些情况下也可能是有效阻力，甚 至是驱动力。例如磨床砂轮受到工件给予的摩擦力，搅拌机叶轮 所受到的被搅拌物质的阻力等均为有效阻力。而在带传动中，从 动轮所受到的带的摩擦力则是一种驱动力。 此外，作用于构件重心上的重力，是一种大小和方向均不变化 的力。当重心上升时为阻抗力，而当重心下降时则为驱动力。
《理论力学》第8章作业
第八章 作业解答参考8-1 椭圆规尺AB 由曲柄OC 带动，曲柄以角速度ω0绕O 轴匀速转动，如图所示。
如OC = BC = AC = r ，并取C为基点，求椭圆规尺AB 的平面运动方程。
解：依题意取C 为基点，将规尺AB 的平面运动分解为随基点C 的平移和绕基点C 的定轴转动。
∵ OC = BC = AC = r∴ ∠CBO = ∠COB设 ∠CBO = φ，则：φ= ω0 t因此，规尺AB 的平面运动方程为：000cos sin C C x r t y r t t ωωϕω===，，8-5 如图所示，在筛动机构中，筛子的摆动是由曲柄连杆机构所带动。
已知曲柄OA 的转速 n OA = 40 r /min ，OA= 0.3 m 。
当筛子BC 运动到与点O 在同一水平线上时，∠BAO = 90°，求此瞬时筛子BC 的速度。
解：由题意可知，此机构中的OA 杆作定轴转动、AB 杆作平面运动、筛子BC 作平移运动；以B 点的速度v B 代替筛子BC 的运动速度，当筛子BC 运动到与点O 在同一水平线上时，A 、B 两点的速度分析如右下图所示，其中v B 与CB 间的夹角为30°、与AB 延长线间的夹角为60°，且：()π4πrad/s 303n ω== （逆转） ()()0.4π m/s A OA v OA ω=⋅= 由速度投影定理可得：cos60A B v v =︒∴ ()()0.8π 2.51 m/s cos60A B v v ==≈︒即：当筛子BC 运动到与点O 在同一水平线上时，筛子BC 的运动速度为2.51 m/s ，方向与水平方向成30°夹角指向左上方。
8-11 使砂轮高速转动的装置如图所示，杆O 1O 2 绕O 1 轴转动，转速为n 4，O 2 处用铰链接一半径为r 2 的活动齿轮Ⅱ，杆O 1O 2 转动时轮Ⅱ在半径为r 3 的固定内齿轮上滚动，并使半径为r 1 的轮Ⅰ绕O 1 轴转动。
《理论力学》第八章-刚体平面运动试题及答案
理论力学8章作业题解8-2 半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。
如曲柄OA 以匀角加速度a 绕O 轴转动，且当运动开始时，角速度00=w ，转角0=j 。
求动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程。
解：图示，A 轮平面运动的转角为=A j ∠C 3AC 2=j +∠CAC 2由于弧长CC 1=CC 2，故有 ∠CAC 2=r R /j ，所以22/t rr R r r R r R A a j j j j +=+=+=A 轮平面运动方程为ïïîïïíì+=+=+=+=+=22212212)sin()()sin()()cos()(cos )(tr r R t r R r R y t r R r R x A A A a j a j a j8-6两刚体M ，N 用铰C 连结，作平面平行运动。
已知AC=BC=600mm ，在题附图所示位置s mm v s mm v B A /100,/200==，方向如图所示。
试求C 点的速度。
解：由速度投影定理得()()0==BC C BC B v v 。
则v C 必垂直于BC 连线，v C 与AC 连线的夹角为30°。
由()()AC A AC C v v = 即得：s mm v v A C /200== ，方向如题4-6附图示。
解毕。
8-9 图所示为一曲柄机构，曲柄OA 可绕O 轴转动，带动杆AC 在套管B 内滑动，套管B 及与其刚连的BD 杆又可绕通过B 铰而与图示平面垂直的水平轴运动。
已知：OA ＝BD ＝300mm ，OB ＝400mm ，当OA 转至铅直位置时，其角速度ωo ＝2rad/s ，试求D 点的速度。
C 12Aj C解 (1)平面运动方法： 由题可知：BD AC w w =确定AC 杆平面运动的速度瞬心。
套筒中AC 杆上一点速度沿套筒(为什么？)s rad IAOA IA v A AC /72.00=´==w w , s mm BD BD v AC BD D /216=´=´=w w D 点加速度如何分析？关键求AC 杆角加速度(=BD 杆角速度) 基点法，分析AC 杆上在套筒内的点(B’)：(1) tA B n A B A B a a a a ¢¢¢++=r r r r大小：× ∠ ∠ × 方位：× ∠ ∠ ∠ 再利用合成运动方法：动点：套筒内AC 杆上的点B’，动系：套筒。
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1. 瞬心的求法 设某瞬时，平面图形的角速度为ω，点A
的速度为vA。过A点作AC与速度vA方向 垂直。C点的速度为：
vC v A vCA
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理论力学第8章
10
vC v A vCA
dt dt
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8.3 求平面图形各点速度的基点法
点B在静坐标的位置为(x,y)，矢径为rB。点B 在动坐标的位置为(x’,y’)，矢径为r’。
显然：rB=rA+r’。
drB drA dr' dt dt dt vB vA vBA
刚体内任一点的速度等于基点速度以及该点绕 基点转动速度的矢量和。
第8章 刚体的平面运动
8.1 点的运动的相对性 坐标系：
1.静坐标系（定参考系）：固结于地面上的 坐标系。
2.动坐标系（动参考系）：固结于运动刚体 上的坐标系。
运动分类 绝对运动：动点相对于静坐标系的运动。 相对运动：动点相对于动坐标系的运动。
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运动分类 绝对运动：动点相对于静坐标系的运动。 相对运动：动点相对于动坐标系的运动。
l
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理论力学第8章
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用基点法建立A和B的 速度关系。
vB v A vBA
0vBvvA
A sin vBA sin cos vBA cos
vBA
r
cos cos
,
AB
r cos l cos
vB
r sin
r
cos cos
sin
r
理论力学第8章
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基点O’的速度称为刚体的平移速度，线段O’M 的角速度称为刚体转动的角速度。
定理：平面图形作平面运动时，平面内任何线 段的转动角速度、角加速度都相同。
证明：选O’1为基点，角速度为 选O’2为基点，角速度为
d1
dt
d2
dt
由于 2 1 （为常数）
因此 d1 d2
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加速度分析：对于AB上的两点A和B，有：
aB a A aBt A aBnA aB aBt A sin 30 aBnA cos30 0 aA aBt A cos30 aBnA sin 30
如果vCA=CA. ω =vA，或:
CA vA
则vC =0，C称为速度中心，简称瞬 心。平面图形内任一点的速度，等
于该点绕瞬心转动的速度。
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理论力学第8章
11
习题8.1 三角板ABC与摇杆O1A和O2A铰 接， O1A以匀角速度ω1转动，求A和C的 速度。
解：瞬心法：三角板的点A 和B的速度方向已知，作三 角板的瞬心D。三角板绕D 转动的角速度为ω。
理论力学第8章
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8.5 平面图形内各点的加速度
用基点速度表示任意一点的速度：
vB vA vBA
由此求加速度：
dvB dvA dvBA ， dt dt dt
aB aA aBA
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B点对于A点的相对加速度包括法向 加速度和切向加速度：
aB
aA
a
n BA
sin( ) cos
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瞬心法。设P为瞬心。
vA AB AP, vB AB BP
vA r
l
AP
BP
sin( / 2 ) sin( / 2 ) sin( )
vB
r
BP AP
r
sin( cos
)
AB
vA AP
r cos l cos
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vA O1A1 DA
vC
DC
O1 A DA
DC1
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例8.4 曲柄OA,长度为r，以匀角速度ω转
动，转角为φ= ω t。连杆AB长度为l，求
滑块B的速度以及连杆AB的角速度。
解：基点法。
角度∠ABO可由几何 关系求得：
OAsin ABsin sin r sin
例如，观察圆轮在地面上的滚动。 轮心O’对于静坐标作水平直线运动。 轮心O’对于动坐标来说是静止的。
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8.2 刚体的平面运动
1.刚体的平面运动: 刚体 运动时，如果刚体内任 意一点与某固定平面的 距离始终相等，则这种 刚体运动称为平面运动。
vB vA vBA
vB cos30 vA cos30
vB sin 30 vA sin 30 vBA
vB vA r
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BA
0 BA 理论力学第8章
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对于轮B： C为瞬心。
vC vB vCB 0 vB vCB
vCB vB r
B
vCB r
aBt A
法向加速度和切向加速度的表达式
为：
aBnA
A
B
2 AB
•
aBt A AB AB
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例8.5曲柄OA长r，以匀角速度ω绕O转动，连 杆AB长l=2r，轮B半径为r，在水平地面上作纯 滚动。求图示位置时，连杆AB以及轮B的角加 速度。
解：速度分析
对于AB上的两点A和B，有：
综上所叙，刚体的平面运动可以用刚体 内某一条线段的平面位置及其方位角来 确定。
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3.刚体平面运动方程：平面图形的平面运 动由基点O’的平动和绕该基点的转动两 部分合成。其一般方程为:
xO' f1(t) yO' f2 (t)
f3(t)
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理论力学第8章
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定理：平面运动任意两点的速度在其 连线的投影值相等。
证明：点A、B的速度关系为：
vB vA vBA
等式两边在AB连线投影。
由于vBA与连线AB垂直， 因此vA 与 vB 。在AB的
投影相等。
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8.4 求平面图形各点速度的瞬心法
刚体作平面运动时，每 一点都在一个平面内运 动，而且这些平面都彼 此平行。
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2.刚体的平面运动的描述方法:
刚体的平面运动可Hale Waihona Puke 刚体内的一个平面 图形的运动来描述。
平面图形运动的表示方法: 平面图形在其 平面内运动时，图形的位置可以由平面 内任意一条直线的位置来确定。