二次函数铅垂高演练(标准答案、解析、总结)

二次函数铅垂高

如图12-1,过△AB Ｃ的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条

直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△A ＢC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方

法:ah S ABC 2

1

=

∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题:

如图1２－２,抛物线顶点坐标为点C (1,4)，交x 轴于点A (３,0)，交y 轴于

点B .

（1)求抛物线和直线ＡＢ的解析式；

(2)点Ｐ是抛物线（在第一象限内)上的一个动点，连结ＰA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆； (3)是否存在一点Ｐ，使Ｓ△ＰAB =89

Ｓ△CAB ,若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由．

例1解:（1)设抛物线的解析式为:4)1(2

1+-=x a y ﻩ１分 ﻩﻩ 把Ａ（3,０）代入解析式求得1-=a

所以324)1(2

21++-=+--=x x x y ············································· 3分

ﻩﻩ

设直线A Ｂ的解析式为：b kx y +=2

由322

1++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( ··································· 4分 把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中 解得：3,1=-=b k 所以32+-=x y ﻩ６分 (2)因为C 点坐标为（１,４)

所以当ｘ=１时,ｙ1=4,y 2=2

图12-2

x

C O

y

A

B

D 1 1

所以ＣＤ=4－2=２ﻩ8分

3232

1

=⨯⨯=

∆CAB S （平方单位)10ﻩ分 (3）假设存在符合条件的点P ,设P 点的横坐标为ｘ,△P ＡB 的铅垂高为h ，

则x x x x x y y h 3)3()32(2

2

21+-=+--++-=-=ﻩ１2分 由S △P AB =8

9

S △ＣA Ｂ 得:

38

9)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得:091242

=+-x x 解得,2

3

=x 将2

3=

x 代入322

1++-=x x y 中, 解得P 点坐标为)4

15

,23( ···························································· １４分

总结:求不规则三角形面积时不妨利用铅垂高。铅垂高的表示方法是解决问题的关键,要学会用坐标表示线段。

例2（２010广东省中考拟)如图1０，在平面直角坐标系中，二次函数

)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与ｘ轴交于A 、B 两点, A

点在原点的左侧，Ｂ点的坐标为（3，0），O Ｂ=OC ,ta ｎ∠ACＯ=3

1

. （1）求这个二次函数的表达式.

(2）经过C 、D 两点的直线，与ｘ轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点Ｆ，使以点A 、C 、E 、Ｆ为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点F 的坐标;若不存在,请说明理由.

(3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于Ｍ、N 两点,且以MN 为直径的圆与ｘ轴相切,求该圆半径的长度．

（４）如图11,若点G （２，ｙ)是该抛物线上一点,点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时,△ＡＰG 的面积最大?求出此时P 点的坐标和△ＡPG 的最