_利用三线合一解题
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怎样应用 “三线合一基本图形”解决问题
2009.10.30
某地地震后，河沿村中学的同学用下面的方法检 测教室的房梁是否水平：
在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳，线绳的另一端 挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经 过三角尺的直角顶点，同学们确信房梁是水平的，他们的判 断对吗？为什么？
2.等腰三角形底边上的中线也是的顶角平分线、 底边
上的高线.
∵ △ABC中,AB=AC,-----B--D---=---C--D-------
BD
C
∴
∠BAD=∠CA
AD⊥BC
D------------- ----------------
3.等腰三角形的底边上的高线也是顶角平分线、底边上的中线.
∵ △ABC中,AB=AC,-----A---D--⊥----B--C------
D
B
C
在△ABC中,对于以下四个条件
①AB=AC或（∠B=∠ C）
② ∠BAD=∠CAD
A
③ AD⊥BC
④ BD=CD
我们已经知道了 ① ②
①③
①④
③
④
②B
D
C
思考： ② ③
①
②④
①
③④
①
在△ABC中 ①AB=AC或（∠B=∠ C）
A
② ∠BAD=∠CAD
③ AD⊥BC
④ BD=CD
已知:
B
D
C
∴ ∠BFE=∠CFE. ( 三线合一 )
（4）已知，等边三角形ABC，D是AC的中 点，点E在BC的延长线上，且CE =CD。若 DM⊥BC，垂足为M，那么M是BE的中点， 请说明理由。
只要证DB=DE即可
练习：如图3，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC
交AC于D.
1
A
求证：∠DBC＝ 2 ∠BAC.
例：如图，在等腰△ABC中，∠C=90°，
如果点B到∠A的平分线AD的距离为5cm, 求AD的长。
B
E 10cm D
A
F C
练习：已知：如图，在△ABC中，AD平分 ∠BAC，CD⊥AD,D为垂足，AB>AC。
求证：∠2=∠1+∠B
A
E3 B
2
D
1
C
思考：已知：线段m，∠α及∠β，求作△ABC， 使∠ABC=∠α,∠ACB=∠β，且AB+BC+CA=m
求证:
在△ABC中 ①AB=AC或（∠B=∠ C）
A
② ∠BAD=∠CAD
③ AD⊥BC
④ BD=CD
已知:
B
DC
求证: E
证明:延长△ABC的中线AD至E点,使DE=AD,连接CE.
在△ABC中 ①AB=AC或（∠B=∠ C）
A
② ∠BAD=∠CAD
③ AD⊥BC
④ BD=CD
已知:
B
D
C
求证:
O
A
B
C
还记得吗 等腰三角形三线合一性质是怎么叙述的?
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合.
1.等腰三角形的顶角平分线也是底边上的中线、底边上的高线.
Hale Waihona Puke Baidu
∵ △ABC中,AB=AC,-∠---B--A---D--=---∠--C---A--D-
A
∴
AD⊥BC
BD=CD
------------- ----------------
(3)如图，∠A=∠D=90°,AB=CD，AC与 BD相交于点F，E是BC的中点. 求证：∠BFE=∠CFE.
证明：∵∠1=∠2 （对顶角相等） ∠A=∠D=90° AB=CD
∴△ABF≌△DCF （AAS） ∴BF=CF ∴ △BCF是等腰三角形. 又 E是BC的中点， ∴EF是∠BFC的角平分线.
m
α
β
1、当题目中出现等腰三角形和“三线” 之一时，直接得到其余两线的性质， 但表达要规范； 2、当题目中没有出现等腰三角形时， 要善于发现“补形”的条件：是否能 产生“两线合一”的情境？
3、应用“三线合一基本图形”是一个重 要 的解题策略，为我们解决问题又提 供了一种手段。
三线合一基本图形
∴
∠BAD=∠CAD BD=CD
------------- ----------------
三线合一的简单应用 （1）如图，已知AB=BC，D是AC的中点，
∠A=34°，则∠DBC= 56 度.
（2）△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高 DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.指出 图中各对相等的线段，且说明理由.
2009.10.30
某地地震后，河沿村中学的同学用下面的方法检 测教室的房梁是否水平：
在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳，线绳的另一端 挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经 过三角尺的直角顶点，同学们确信房梁是水平的，他们的判 断对吗？为什么？
2.等腰三角形底边上的中线也是的顶角平分线、 底边
上的高线.
∵ △ABC中,AB=AC,-----B--D---=---C--D-------
BD
C
∴
∠BAD=∠CA
AD⊥BC
D------------- ----------------
3.等腰三角形的底边上的高线也是顶角平分线、底边上的中线.
∵ △ABC中,AB=AC,-----A---D--⊥----B--C------
D
B
C
在△ABC中,对于以下四个条件
①AB=AC或（∠B=∠ C）
② ∠BAD=∠CAD
A
③ AD⊥BC
④ BD=CD
我们已经知道了 ① ②
①③
①④
③
④
②B
D
C
思考： ② ③
①
②④
①
③④
①
在△ABC中 ①AB=AC或（∠B=∠ C）
A
② ∠BAD=∠CAD
③ AD⊥BC
④ BD=CD
已知:
B
D
C
∴ ∠BFE=∠CFE. ( 三线合一 )
（4）已知，等边三角形ABC，D是AC的中 点，点E在BC的延长线上，且CE =CD。若 DM⊥BC，垂足为M，那么M是BE的中点， 请说明理由。
只要证DB=DE即可
练习：如图3，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC
交AC于D.
1
A
求证：∠DBC＝ 2 ∠BAC.
例：如图，在等腰△ABC中，∠C=90°，
如果点B到∠A的平分线AD的距离为5cm, 求AD的长。
B
E 10cm D
A
F C
练习：已知：如图，在△ABC中，AD平分 ∠BAC，CD⊥AD,D为垂足，AB>AC。
求证：∠2=∠1+∠B
A
E3 B
2
D
1
C
思考：已知：线段m，∠α及∠β，求作△ABC， 使∠ABC=∠α,∠ACB=∠β，且AB+BC+CA=m
求证:
在△ABC中 ①AB=AC或（∠B=∠ C）
A
② ∠BAD=∠CAD
③ AD⊥BC
④ BD=CD
已知:
B
DC
求证: E
证明:延长△ABC的中线AD至E点,使DE=AD,连接CE.
在△ABC中 ①AB=AC或（∠B=∠ C）
A
② ∠BAD=∠CAD
③ AD⊥BC
④ BD=CD
已知:
B
D
C
求证:
O
A
B
C
还记得吗 等腰三角形三线合一性质是怎么叙述的?
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合.
1.等腰三角形的顶角平分线也是底边上的中线、底边上的高线.
Hale Waihona Puke Baidu
∵ △ABC中,AB=AC,-∠---B--A---D--=---∠--C---A--D-
A
∴
AD⊥BC
BD=CD
------------- ----------------
(3)如图，∠A=∠D=90°,AB=CD，AC与 BD相交于点F，E是BC的中点. 求证：∠BFE=∠CFE.
证明：∵∠1=∠2 （对顶角相等） ∠A=∠D=90° AB=CD
∴△ABF≌△DCF （AAS） ∴BF=CF ∴ △BCF是等腰三角形. 又 E是BC的中点， ∴EF是∠BFC的角平分线.
m
α
β
1、当题目中出现等腰三角形和“三线” 之一时，直接得到其余两线的性质， 但表达要规范； 2、当题目中没有出现等腰三角形时， 要善于发现“补形”的条件：是否能 产生“两线合一”的情境？
3、应用“三线合一基本图形”是一个重 要 的解题策略，为我们解决问题又提 供了一种手段。
三线合一基本图形
∴
∠BAD=∠CAD BD=CD
------------- ----------------
三线合一的简单应用 （1）如图，已知AB=BC，D是AC的中点，
∠A=34°，则∠DBC= 56 度.
（2）△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高 DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.指出 图中各对相等的线段，且说明理由.