24.4 相似多边形的性质 课件 (沪科版九年级上册)3

∠ASR= ∠B ∠ARS= ∠C
△ASR∽△ABC. (2).由(1)可知, AE SR (相似三角形对应高的 △ASR ∽△ ABC. .
AD BC
比等于相似比)
40 x x . 40 60
解得,x=24. 所以正方形PQRS的 边长为24cm.
亲历知识的发生和发 展 问题: C
形相似. 斜边直角边对应成比例的两个三角形相 似. 平行于三角形一边的直线截其它两边 ( 或 A A E D 其延长线),所截得的三角形与原三角形相 A B C D E 似.
B C D E B C
知识源于悟
益智的“模型”
若△ADE∽ △ABC,则 两个极具代表性的相似 ∠DAE=∠BAC, 三角形基本模型： “A” ∠ADE=∠ A BC, ∠AED=∠ACB, 型和“X” 型 A
D B E C
AD AE DE . AB AC BC
若△ABC∽ △ADE,则 ∠BAC=∠DAE, ∠B=∠D, ∠C=∠E,
E
A B
D
AB AC BC . AD AE DE
C
如图, 直角三角形斜边 上的高分直角三角形所 成的两个直角三角形与 原三角形相似.
C
根据上面的结论可得到 相等的角或对应成比例 的线段.
义井桥
某市城市广场,是一个因周边环境设计 建造的一个不规则多边形,具有和谐的 自然美.设计图的比例尺是1∶10 000. 图上多边形与实际多边形相似吗?如果 相似,它们的相似比是多少?图上多边 形与实际多边形的周长比是多少?面积 呢?
归纳提炼
相似多边形的性质: 相似三角形对应高的比,对应角平分线的比, 对应中线的比,对应周长的比都等于相似比. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似多边形对应对角线的比等于相似比. 相似多边形对应三角形相似,且相似比等于 相似多边形的相似比. 相似多边形对应三角形面积的比等于相似 多边形的相似比的平方. 相似多边形面积的比等于相似比的平方.
你还记得相似三角形对应高的比与相似比的关 系及其理由吗? 相似三角形对应高的比等于相似比.理由是: A
如图∵△ABC∽△DEF.∴∠B =∠E. 又∵∠AMB =∠DNE =900. ∴△AMB∽△DNE. (两角对应相等的两个三角形相似).
B C
M D
AM AB . DN DE (相似三角形对应边成比例). E 即,相似三角形对应高的比等于相似比.
常用的成比例的线段有: 2 AC AD AB; 2 BC BD AB;
A 例题、如图所示,在等腰△ABC中, 底边BC=60cm,高 AD=40cm,四 E R S 边形PQRS是正方形. (1). △ASR与△ABC相似吗?为什 B C 么? P D Q (2).求正方形PQRSR的边长. 设正方形PQRS的边长 为x cm, 则AE=(40-x)cm, 四边形 PQRS 是正方形 ∥BC 解:(1) △ASR ∽△ABC.RS 理由是 :
C1
D1 D2
C2
B2
A1 B1 A2 相似多边形周长的比等于 相似比 , 对应对角线的比等于 相似比 , 对应三角形相似,且相似比等于 相似多边形的相似比 对应三角形面积的比等于 相似比的平方 ; 相似多边形面积的比等于 相似比的平方 .
,
下图是某市城区外环路示意图,比例尺为1∶100 000 (1)设法求出图上外环路的长度,并由此求出外环路的 实际长度; (2)估计外环路所围成的区域的面积.你是怎么做的? 平坦立交桥 与同伴交流 . 点拨 (1)用一根线绳沿图中的外环路 重叠放置,此时线绳的长度就 大阳泉 是外环路的图上距离; (2)把图上的外环路近似地看作 一个矩形.
N
F
你还记得相似三角形周长的比与相似比的关系 及其理由吗?
相似三角形周长的比等于相似比.理由是: 如图,在△ ABC与△ A′B′C′中, ∵△ABC∽△A′B′C′,且相 B′ 似比为k.
A′ A
AB AC BC k. (相似三角形对应边成比例, AB AC BC 对应边的比叫做相似比). AB AC BC k 等比 . AB AC BC
C′ B
C
即,相似三角形周长的比等于相似比.
你还记得相似多边形周长的比与相似比的关系及其 理由吗? 相似多边形周长的比等于相似比.理由是: A B 如图∵六边形ABCDEF∽六边形 A1B1C1D1E1F1,且相似比是k. C F
相似多边形对应边成比例, 对应边的比叫做相似比 A1 AB BC CD DE EF FA k 等比.
又∵AM,DN分别是△ABC和△DEF的中线.
BM BC AB BM . . 且∠B =∠E. EN EF DE EN
M D
C
∴△AMB∽△DNE.(两边对应成比 例且夹角相等的两个三角形相似).
即,相似三角形对应中线的比等于相似比.
AM AB E . DN DE (相似三角形对应边成比例).
ABC ABC 2
S
S
ABC
ABC
1 AB CD; 2 1 AB C D. 2
如果两个相似三角形的相 似比是k ,通过上面的活动, 你得出了什么结论?
(1).四边形A1B1C1D1与四 D 1 D2 边形A2B2C2D2周长的比 B2 是多少? A1 B1 A2 (2).连接相应的对角线 (3).设△A1B1C1, △A1C1D1, A1C1, A2C2所得的 △ A2B2C2, △ A2C2D2.的面积 △A1B1C1与△ A2B2C2相 分别是S△A1B1C1, S△A1C1D1, 似吗? S△A2B2C2, S△A2C2D2,那么, △A1C1D1与△ A2C2D2呢? S S 如果相似,它们的相似比各 , 各是多少 ? S S 是多少?
如,常用的相等的角有：
∠A =∠DCB;∠B =∠ACD;
·
A · ·
让数学模型“双 垂直”三角形, 成为你的好友!
· ·
D
·B
即,有三对相似三角形. 2 CD AD DB ; △ACD∽ △ABC AC BC AB CD. △CBD∽ △ABC △ACD∽ △CBD. 老师的建议:上面红色字表示出的关 系式,是几个重要的结论,若能理解记 忆并运用,将会促进能力的提高.
A1 B 1 C 1 A1 C 1 D 1 A 2 B 2 C 2 A 2 C 2 D 2
如图,四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2, 且相似比为k. C1
C2
(4).四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2.面积的比是多少?
如果把四边形换成五边形,那么结论又如何? ……? 换成n边形呢? 通过上面的活动,你得 出了什么结论?
N
F
你还记得相似三角形对应角平分线的比与相似 比的关系及其理由吗? 相似三角形对应角平分线的比等于相似比. A 理由是: 如图∵△ABC∽△DEF.∴∠B =∠E, ∠BAC=∠EDF.又∵AM,DN分别是 B C M D ∠BAC和∠EDF的角平分线. ∴∠BAM=∠EDN. ∴△AMB∽△DNE. (两角对应相等的两个三角形相似).
习题24.4 1,2题。 祝你成功！
结束寄语
• 培养回顾联想已学知识,探索 学习后续知识的能力,可使每 个有自信心的人到达希望的顶 峰.
AM AB E . N ( 相似三角形对应边成比例 ). DN DE
F
即,相似三角形对应角平分线的比等于相似比..
你还记得相似三角形对应中线的比与相似 比的关系及其理由吗? 相似三角形对应中线的比等于相似比.理由是: A 如图∵△ABC∽△DEF. AB BC ∴∠B =∠E, DE EF . B
A1 B1 B1C1 C1 D1 D1 E1 E1 F1 F1 A1 六边形ABCDEF的周长 k. 六边形A1 B1C1 D1 E1 F1的周长
F1
AB BC CD DE EF FA 解 : k. E A1 B1 B1C1 C1 D1 D1E1 E1 F1 F1 A1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上. 反之,写在对应位置上的字母就是对应角的顶点！ 由于相似三角形与其位置无关,因此,能否弄清对应是正
确解答的前提和关键.
判定两个三角形相似的方法:
两角对应相等的两个三角形相似. 三边对应成比例的两个三角形相似. 两边对应成比例,且夹角相等的两个三角
C′
如果△ABC∽△A′B′C′它 们面积的比与相似比有什 B′ A B A′ 么关系? D′ D 如图, △ABC∽△A′B′C′, 1 相似比是k(如3∶4). AB CD S AB CD 2 (1)△ABC与△A′B′C′的面 1 S AB C D A B C D 积如何表示? 2 (2)△ABC与△A′B′C′的面 AB CD 3 积的比是多少? . AB C D 4 解:分别作高CD,C′D′,则
D
B1
C1 E1 D1
即,相似多边形周长的比等于相似比.
三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三 角形, 叫做相似三角形(similar trianglec) 相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成 比例. 相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对 应中线的比，对应周长的比等于相似比. 相似比等于1的两个三角形全等. 注意：