高三基础知识天天练 数学5-2人教版

第5模块 第2节

[知能演练]

一、选择题

1．若x ≠y ，两个等差数列x ，a 1，a 2，y 与x ，b 1，b 2，b 3，y 的公差分别为d 1和d 2，则d 2

d 1

等于 ( )

A.23

B.32

C.34

D.43

解析：d 1＝y －x 4－1＝y －x 3，d 2＝y －x 5－1＝y －x

4.

∴d 2d 1＝3

4. 答案：C

2．{a n }为等差数列，a 10＝33，a 2＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 20－2S 10等于

( )

A ．40

B ．200

C ．400

D ．20

解析：本题考查等差数列的运算．S 20－2S 10＝20(a 1＋a 20)2－2×10(a 1＋a 10)

2＝10(a 20－a 10)

＝100d ，

又a 10＝a 2＋8d ，∴33＝1＋8d ， ∴d ＝4，∴S 20－2S 10＝400. 答案：C

3．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于

( )

A ．160

B ．180

C ．200

D ．220

解析：∵a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78， ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 18＋a 19＋a 20＝3(a 1＋a 20)＝54， ∴S 20＝20(a 1＋a 20)2＝20×54

2×3＝180.

答案：B

4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9

S 5

等于

( )

A ．1

B ．－1

C ．2

D.1

2

解析：由a 5a 3＝a 1＋a 92a 1＋a 52＝[1

2(a 1＋a 9)×9]×5[12(a 1＋a 5)×5]×9＝S 9S 5×59⇒5S 99S 5＝59⇒S 9

S 5

＝1.

答案：A 二、填空题

5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________. 解析：由S 9＝－9，得a 1＋a 9

2＝a 5＝－1，

又a 12＝－8，

所以a 5＋a 12＝a 1＋a 16＝－9. 故S 16＝(a 1＋a 16)×16

2＝－72.

答案：－72

6．等差数列的前n 项和为S n ，若S 7－S 3＝8，则S 10＝________；一般地，若S n －S m ＝a (n >m )，则S n ＋m ＝________.

解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则 S 7－S 3S 10＝4a 1＋18d 10a 1＋45d ＝25＝8

S 10⇒S 10＝20； 同理S n －S m

S n ＋m ＝(n －m )·(a 1＋n ＋m －1

2d )

(n ＋m )a 1＋(n ＋m )(n ＋m －1)

2d

＝

n －m n ＋m ＝a

S n ＋m ⇒S n ＋m ＝n ＋m n －m

·a . 答案：20

n ＋m

n －m

·a 三、解答题

7．等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列．求数列{a n }前20项的和S 20. 解：设数列{a n }的公差为d ，则

a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d ， a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d . 由a 3，a 6，a 10成等比数列得

a 3a 10＝a 26，

即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2，

整理得10d 2－10d ＝0，解得d ＝0或d ＝1. 当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200；

当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7， 于是S 20＝20a 1＋20×192

d ＝20×7＋190＝330.

8．已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1

a n －1(n ∈N *)，

(1)求证：数列{b n }是等差数列；

(2)记S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求2S n ＋8

n 的最小值．

(1)证明：b n ＝1

a n －1＝

1

2－1

a n －1

－1

＝a n －1a n －1－1， 而b n －1＝1

a n －1－1

，

∴b n －b n －1＝a n －1a n －1－1－1

a n －1－1＝1(n ∈N *)．

∴数列{b n }是首项为b 1＝

1a 1－1＝－5

2，公差为1的等差数列．

(2)解：∵b n ＝n －7

2，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (n －6)2.

则

2S n ＋8n ＝(n ＋8)(n ＋2)n ＝(n ＋16

n

)＋10. 由基本不等式，知(n ＋16

n

)＋10≥216＋10＝18.

当且仅当n ＝4时取等号，即n ＝4时，2S n ＋8

n

取最小值18.

[高考·模拟·预测]

1．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10>0并且S 11＝0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 构成的集合为

( )

A ．{5}

B ．{6}

C ．{5,6}

D ．{7}

解析：等差数列中由S 10>0，S 11＝0得， S 10＝

10(a 1＋a 10)

2

>0⇒a 1＋a 10>0⇒a 5＋a 6>0，