线性矩阵不等式1ppt课件

F i F iT R n n 实 对 称 矩 阵
Fx 是 负 定 的
——仿射矩阵不等式
• 仿射函数即由1阶多项式构成的函数，一般形式为 f (x) = A x + b，这里， A 是一个 m×k 矩阵，x 是一个 k 向量,b是一个m向量，实际上反映了 一种从 k 维到 m 维的空间映射关系。
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定理3---EE
x&(t) Ax(t)Bw(t) z(t)Cx(t)+Dw(t)
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定理4---PP
x&(t) Ax(t)Bw(t) z(t)Cx(t)+Dw(t)
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H2性能
x&(t) Ax(t)Bw(t) z(t)Cx(t)+Dw(t)
➢T的H2范数的平方等于系统脉冲响应的总的 输出能量。(IE)
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L∞范数
• 对幅值有界的信号 f ，定义
f sup f(t) t0
当 f 是一个标量信号时， f 等于f 的峰值。
将所有幅值有界的信号全体记成 L
即 L{f: f(t) }
f 也称为信号f 的 L 范数。
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四个性能指标
• IE(Impulse-to-Energy)增益： ie sup
ATPPAQ PB
BTP
R0
Schur补：是将非线性矩阵不等式转化为线 性矩阵不等式的有效工具
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标准的线性矩阵不等式问题
Linear Matrix Inequality (LMI)
➢ 可行性问题(LMIP)—求不等式的可行解
检验是否存在x，使得 F(x) 0成立。
➢ 特征值问题(EVP)－－求不等式的优化解
m in
s .t.G ( x ) I
H (x) 0
➢ 广义特征值问题(GEVP)－－仿射矩阵函数的不等式优化问 题
m in
s .t.G ( x ) F ( x )
F (x) 0
H (x) 0
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系统性能分析
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连续时间系统
3.1.1系统增益指标
考虑 x&(t) Ax(t)Bw(t) z(t)Cx(t)+Dw(t)
sup size(z) w0 size(w)
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L2范数
•
对于平方可积的信号 f
，定义
f
(
1
f(t) 2dt)2
2
0
其中 f(t) fT(t)f(t) 是向量的欧式范数。这样
定义的 f 正好是信号 f 的能量。将所有有限能量 2
的全体记成 L 2
即
L2{f:
0
f(t)2dt}
f 2 也称为信号 f 的 L 2 范数
DT
0
I
则有||T(s)||∞< γ,且系统渐进稳定。
x&(t) Ax(t)Bw(t) z(t)Cx(t)+Dw(t)
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证明：
ATP PA PB CT
BT P
I
DT
0
C
D I
对上述不等式分别左乘,右乘矩阵diag{γ1/2I,γ1/2I,γ-1/2I},得
ATPPA PB CT 记X=γP
C 11C 2 C
C11C2称为 C 1 和 C 2 的凸组合。
将矩阵不等式的解约束在 矩阵变量定义的空间中
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关于凸集定义的理解
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Schur补定理
引理 (Schur Complement) 对于分块对称阵
X
X11
X1T2
X12
X
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其中 X 1 1 为方阵，则以下三个条件是等价的：
鲁棒控制
－线性矩阵不等式处理方法
Robust control –LMI Method
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1
主要内容
➢线性矩阵不等式概论 ➢系统性能分析 ➢控制器设计
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2
线性矩阵不等式概论
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线性矩阵不等式的一般表示
线性矩阵不等式：
F x F 0 x 1 F 1 x m F m 0
x ( x 1 , ,x m ) T R m 决 策 向 量
• 设f是一个矢性（值）函数，若它可以表示为
fx 1 x m b x 1 A 1 x m A m 0
其中A i
可以是标量，也可以是矩阵，则称f是仿射函数。
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凸（约束）问题
定义（凸集） 一个集合CRk 称为凸的，如果集合中任意两点 的连线仍在集合内。
即任意给定两点 C 1 和 C2 C及参数[0,1], 有
➢系统的H2范数也可以用系统在白噪声输入信 号激励下的稳态输出方差来解释。(EP)
对于SISO系统 T(s)2ieep
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用线性矩阵不等式刻画系统的H2范数
x&(t) Ax(t)Bw(t) z(t)Cx(t)+Dw(t)
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H∞性能
x&(t) Ax(t)Bw(t) z(t)Cx(t)+Dw(t)
a) X 0
b) X 11 0 ，且 X22X1T 2X1 11X120
c) X 22 0 ，且 X11X12X2 2 1X1T 20
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Schur补应用
若要证明存在对称矩阵P>0,Q>0,R>0,使得如下不等 式成立
A T P P A P B R 1 B T P Q 0
只需证明如下线性矩阵不等式(LMI)成立
•增益 e e有一个频率域的解释：它恰好等于传
递函数 的T ( s ) 范数H ，即
ee T(s)
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用线性矩阵不等式刻画系统的H∞范数
• 定理：针对系统(3.1.1)和给定的一个常数γ >0,若 存在对称矩阵P>0,使得如下线性矩阵不等式成立
ATP PA PB
BT P
I
C
D
CT
z 2
w(t)w0 (t)
w0 1
• EP(Energy-to-Peak)增益：
ep sup
z
w 21
•
EE(Energy-to-Energy)增益：
ee sup
z 2
w 2 1
• PP(Peak-to-Peak)增益：
pp sup百度文库
z
w 1
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定理1---IE
x&(t) Ax(t)Bw(t) z(t)Cx(t)+Dw(t)
min
s.t. PA AT P C T C 0
BT PB I
P>0
•若有一最优值 ， 则
ie
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定理2---EP
x&(t) Ax(t)Bw(t) z(t)Cx(t)+Dw(t)
min
s.t. AQ QAT BBT 0
CQCT I
Q>0
•若有一最优值 ， 则
ep
BTP
2I DT 0
C
D
I
AT X XA
BT X
C
XB
2I
D
CT
DT
0
I
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运用Schur补，可得
A T X X A C T C X B C T D 2 I D T D 1 B T X D T C 0