物理-L28-万有引力计算天体质量和密度问题
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12
解析： 利用公式M＝ ，计算出天体质量，再利用ρ＝ 计算天体的密度． 其中r为天体运动的轨道半径，R为中心天体的半径， 只有贴近中心天体表面运行时才有r＝R.设卫星的质量为m， 天体的质量为M，卫星在天体表面运行时，G ＝m R ， 得M＝ 根据数学知识星球的体积V＝4/3 πR3. 所以天体的密度ρ＝M/V ＝ 若卫星距天体表面高为h处运行，则有
G
Mm R2
和M
4 R3，
3
得 3g . 4 GR
19
巩固练习1：宇航员在某星球表面，将一小球从离地面为h高处以初速度v0水平抛出，测出小球落地点 与抛出点间的水平位移为s，若该星球的半径为R，万有引力恒量为G，求该星球的质量多大？
20
巩固练习2：地球绕太阳公转的轨道半径为1.49 ×1011m，公转的周期是3.16×107s，太阳的质量是多 少？
13
本课小结
动力学分析
计算方法
典型例题
14
下节课 再见
15
一、计算天体的质量
1．地球质量的计算
利用地球表面的物体，若不考虑地球自转，质量为m的物体的重力等于地球对物体的万有引
力，即mg＝GRM2m
，则M＝
gR2，由于g、R已经测出，因此可计算出地球的质量． G
16
2．太阳质量的计算 利用某一行星：由于行星绕太阳的运动，可看做匀速圆周运动，行星与太阳间的万有引力 充当向心力，即G ＝mω2r，而ω＝ ，则可以通过测出行星绕太阳运转的周期和轨道 半径，得到太阳质量M＝ . 3．其他行星质量的计算 利用绕行星运转的卫星，测出该卫星绕行星运转的周期和轨道半径同样可得出行星的质量．
17
一、天体质量的估算（以地球质量的计算为例） 1.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，
18
二、天体密度的估算
1.密度公式
4
M
R
3
，只要先得出天体的质量和半径就可代入此式计算天体的密度.
3
2.计算天体密度的两种常用方法
（1）由天体表面的重力加速度g和半径R求此天体的密度.
由mg
10
解析：
设行星的质量为M，半径为R，表面的重力加速度为g，由万有引力定律得
F＝mg＝
①
飞船沿星球表面做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得
＝m R ②
联立以上两式得
11
例题3 假设在半径为R的某天体上发射了一颗该天体的卫星，若它贴近该天体的表 面做匀速圆周运动的周期为T0.已知万有引力常量为G，则该天体的平均密度是多少？ 若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T，则该天体 的密度又是多少？
2
(1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，根据万有引力等于向心力，
即
＝m月 r2，可求得地球质量M地＝ .
(2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运动的线速度v，由于地球对月球的引力
等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得
G
＝m月 .
解得地球的质量为M地＝rv2/G.
21
解析：设该星球表面重力加速度为g，物体水平抛出后经时间t落地，则h＝gt2 ①
s＝v0t ②
该星球质量M：g＝
③
由①②③式得M＝.
1 2
GM R2 2hv20R2 Gs2
22
（2）若天体的某个卫星的轨道半径为r，周期为T，则由
G Mm mr 4 2 和M 4 R3,
r2
T2
3
(3)若已知月球运行的线速度v和运行周期T，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运 动的向心力，根据牛顿第二定律，得
G
＝m月·v·
以上两式消去r，解得
G
＝m月.
M地＝v3T/(2πG)． (4)若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的 引力，得
mg＝G ，
百度文库得ρ＝ ＝
＝
.
当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，
则天体密度为：ρ＝G3Tπ2 .
7
例题1 已知海王星的直径为地球直径的4倍，海王星表面的重力加速度与地球表面 重力加速度大致相等，试估算海王星的质量．(已知地球质量M地＝6.0×1024 kg)
8
解析：
设海王星质量M海，半径为R海，地球质量M地，半径R地，对海王星而言，处于海王星表面的 物体受到海王星作用的重力就是海王星与物体之间的万有引力．
解得地球质量为M地＝ .
4
由以上论述可知，在万有引力定律这一章中，求天体质量的方法主要有两种：一种方法是根 据天体表面的重力加速度来求天体质量，即g＝G ，则M＝ ，另一种方法是根据天体的 圆周运动，即根据天体做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，列出方程： G ＝m r＝m ＝mω2r来求得质量M＝ ＝ ＝ 用第二种方法只能求出圆心处天体质量(即中心天体)．
5
二、天体密度的计算 (1)利用天体表面的重力加速度来求天体的自身密度． 由mg＝ 和M＝ρ· πR3， 得ρ＝ . 其中g为天体表面重力加速度，R为天体半径．
6
(2)利用天体的卫星来求天体的密度．
设卫星绕天体运动的轨道半径为r，周期为T，天体半径为R，则可列出方程：
G ＝m r，M＝ρ· πR3，
即mg海＝G
可得 g海＝
同理地球表面的重力加速度g地＝
因g海≈g地，所以G ＝G
M海＝16M地＝9.6×1025 kg.
9
例题2 在某行星上宇航员用弹簧秤测质量为m的物体的重力为F，乘宇宙飞船在靠 近该行星的空间飞行，测得其环绕周期为T，根据这些数据求该星球的质量．
解题思路：在行星表面的物体的重力等于行星对它的万有引力， 在行星附近飞行的飞船，由万有引力提供其做圆周运动的向心力．
物理专题
万有引力计算天体质量和密度
1
一、天体质量计算的几种方法 万有引力定律从动力学角度解决了天体运动问题．天体运动遵循与地面上物体相同的动
力学规律．行星(或卫星)的运动可视为匀速圆周运动，由恒星对其行星(或行星对其卫星)的 万有引力提供向心力．
应用万有引力定律，不仅可以计算太阳的质量，还可以计算其他天体的质量．下面以地 球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方法：
3
得
3 r3
GT 2R3
.
特别提醒 要注意R、r的区分.R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径.若绕近地轨道运行，则有R=r.
23
24
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M＝ 根据数学知识星球的体积V＝πR3. 所以天体的密度ρ＝＝＝. 若卫星距天体表面高为h处运行，则有 G＝m(R＋h)
解析： 利用公式M＝ ，计算出天体质量，再利用ρ＝ 计算天体的密度． 其中r为天体运动的轨道半径，R为中心天体的半径， 只有贴近中心天体表面运行时才有r＝R.设卫星的质量为m， 天体的质量为M，卫星在天体表面运行时，G ＝m R ， 得M＝ 根据数学知识星球的体积V＝4/3 πR3. 所以天体的密度ρ＝M/V ＝ 若卫星距天体表面高为h处运行，则有
G
Mm R2
和M
4 R3，
3
得 3g . 4 GR
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巩固练习1：宇航员在某星球表面，将一小球从离地面为h高处以初速度v0水平抛出，测出小球落地点 与抛出点间的水平位移为s，若该星球的半径为R，万有引力恒量为G，求该星球的质量多大？
20
巩固练习2：地球绕太阳公转的轨道半径为1.49 ×1011m，公转的周期是3.16×107s，太阳的质量是多 少？
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本课小结
动力学分析
计算方法
典型例题
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下节课 再见
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一、计算天体的质量
1．地球质量的计算
利用地球表面的物体，若不考虑地球自转，质量为m的物体的重力等于地球对物体的万有引
力，即mg＝GRM2m
，则M＝
gR2，由于g、R已经测出，因此可计算出地球的质量． G
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2．太阳质量的计算 利用某一行星：由于行星绕太阳的运动，可看做匀速圆周运动，行星与太阳间的万有引力 充当向心力，即G ＝mω2r，而ω＝ ，则可以通过测出行星绕太阳运转的周期和轨道 半径，得到太阳质量M＝ . 3．其他行星质量的计算 利用绕行星运转的卫星，测出该卫星绕行星运转的周期和轨道半径同样可得出行星的质量．
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一、天体质量的估算（以地球质量的计算为例） 1.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，
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二、天体密度的估算
1.密度公式
4
M
R
3
，只要先得出天体的质量和半径就可代入此式计算天体的密度.
3
2.计算天体密度的两种常用方法
（1）由天体表面的重力加速度g和半径R求此天体的密度.
由mg
10
解析：
设行星的质量为M，半径为R，表面的重力加速度为g，由万有引力定律得
F＝mg＝
①
飞船沿星球表面做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得
＝m R ②
联立以上两式得
11
例题3 假设在半径为R的某天体上发射了一颗该天体的卫星，若它贴近该天体的表 面做匀速圆周运动的周期为T0.已知万有引力常量为G，则该天体的平均密度是多少？ 若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T，则该天体 的密度又是多少？
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(1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，根据万有引力等于向心力，
即
＝m月 r2，可求得地球质量M地＝ .
(2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运动的线速度v，由于地球对月球的引力
等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得
G
＝m月 .
解得地球的质量为M地＝rv2/G.
21
解析：设该星球表面重力加速度为g，物体水平抛出后经时间t落地，则h＝gt2 ①
s＝v0t ②
该星球质量M：g＝
③
由①②③式得M＝.
1 2
GM R2 2hv20R2 Gs2
22
（2）若天体的某个卫星的轨道半径为r，周期为T，则由
G Mm mr 4 2 和M 4 R3,
r2
T2
3
(3)若已知月球运行的线速度v和运行周期T，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运 动的向心力，根据牛顿第二定律，得
G
＝m月·v·
以上两式消去r，解得
G
＝m月.
M地＝v3T/(2πG)． (4)若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的 引力，得
mg＝G ，
百度文库得ρ＝ ＝
＝
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当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，
则天体密度为：ρ＝G3Tπ2 .
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例题1 已知海王星的直径为地球直径的4倍，海王星表面的重力加速度与地球表面 重力加速度大致相等，试估算海王星的质量．(已知地球质量M地＝6.0×1024 kg)
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解析：
设海王星质量M海，半径为R海，地球质量M地，半径R地，对海王星而言，处于海王星表面的 物体受到海王星作用的重力就是海王星与物体之间的万有引力．
解得地球质量为M地＝ .
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由以上论述可知，在万有引力定律这一章中，求天体质量的方法主要有两种：一种方法是根 据天体表面的重力加速度来求天体质量，即g＝G ，则M＝ ，另一种方法是根据天体的 圆周运动，即根据天体做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，列出方程： G ＝m r＝m ＝mω2r来求得质量M＝ ＝ ＝ 用第二种方法只能求出圆心处天体质量(即中心天体)．
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二、天体密度的计算 (1)利用天体表面的重力加速度来求天体的自身密度． 由mg＝ 和M＝ρ· πR3， 得ρ＝ . 其中g为天体表面重力加速度，R为天体半径．
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(2)利用天体的卫星来求天体的密度．
设卫星绕天体运动的轨道半径为r，周期为T，天体半径为R，则可列出方程：
G ＝m r，M＝ρ· πR3，
即mg海＝G
可得 g海＝
同理地球表面的重力加速度g地＝
因g海≈g地，所以G ＝G
M海＝16M地＝9.6×1025 kg.
9
例题2 在某行星上宇航员用弹簧秤测质量为m的物体的重力为F，乘宇宙飞船在靠 近该行星的空间飞行，测得其环绕周期为T，根据这些数据求该星球的质量．
解题思路：在行星表面的物体的重力等于行星对它的万有引力， 在行星附近飞行的飞船，由万有引力提供其做圆周运动的向心力．
物理专题
万有引力计算天体质量和密度
1
一、天体质量计算的几种方法 万有引力定律从动力学角度解决了天体运动问题．天体运动遵循与地面上物体相同的动
力学规律．行星(或卫星)的运动可视为匀速圆周运动，由恒星对其行星(或行星对其卫星)的 万有引力提供向心力．
应用万有引力定律，不仅可以计算太阳的质量，还可以计算其他天体的质量．下面以地 球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方法：
3
得
3 r3
GT 2R3
.
特别提醒 要注意R、r的区分.R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径.若绕近地轨道运行，则有R=r.
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24
25
M＝ 根据数学知识星球的体积V＝πR3. 所以天体的密度ρ＝＝＝. 若卫星距天体表面高为h处运行，则有 G＝m(R＋h)