三角函数的图象与性质教案

1.3三角函数的图象和性质

1.3.1三角函数的周期性

[教学目标]

一、知识与技能

了解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见的函数的周期性，并会求一些简单三角函数的周期。

二、过程与方法

从自然界中的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景（现实原型）的分析、概括与抽象、建立周期函数的概念，再运用数学方法研究三角函数的性质，最后运用三角函数的性质去解决问题。

三、情感、态度与价值观

培养数学来源与生活的思维方式，体会从感性到理性的思维过程，理解未知转化为已知的数学方法。

[教学重点]

周期函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性。

[教学难点]

周期函数的概念

[设计思路]

创设情境，从自然界中的周期现象出发，通过对P点的圆周运动这一模型的分析，引入周期函数的概念。

在研究P点的圆周运动时，给出了y=f(t)的图象；并在研究了三角函数的周期后，给出了y=sinx的图象，让学生从图象上对函数的周期加深理解，让学生体会数形结合的思想。

在讲解例2时，充分利用解方程的思想，让学生更易理解。

[教学过程]

一、创设情境

每年都有春、夏、秋、冬，每星期都是从星期一到星期日，地球每天都绕着太阳自转，公共汽车沿着固定线路一趟又一趟地往返……，这一些都给我们循环、重复的感觉，可以用“周而复始”来描述，这就叫周期现象。

二、学生活动

（P点的圆周运动）如图，点P自点A起，绕圆周按逆时针方向进行

匀速运动。点P的运动轨迹是：

A-B-C-D-A-B-C-D- A-B-C-D-A-B ……

显然点P的运动是周期运动。

设圆的半径为2，每4分钟运动一周。设P到A的距离为y，运动时间为t，则y是t 的函数，记为 y=f(t).

则f(0)=f(4)=f(8)=f(12)= ……=0，（位置在A点）

f(2)=f(6)=f(10)=f(14)= ……=4，（位置在C点）

一般地，点P运行t分钟到达的位置与运行(t+4)分钟到达的位置相同，由此能得到这样的数学表达式：f(t+4)=f(t)

想一想：f(t+8)、f(t+12)与f(t)有什么关系？说明它们的实际意义。

[f(t+8)=f(t)、f(t+12)=f(t)，运行时间不等，但最终位置相同]

可以用描点法画出这个函数的图象（如图）

它的特征是：在区间(0,4)(4,8)(8,12) …内重

复。

我们将上面的函数y=f(t)称为周期函数。

三、建构数学

一般地，对于函数f（x），对定义域内的每一个x的值，每增加或减少一个不为零的定值T，函数值就重复出现，这个函数就叫做周期函数，即f(x+T)= f(x)。

（一）、周期函数及周期的定义

周期函数定义如下：一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)= f(x)，那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

前面函数y=f(t)的周期可以认为是4、8、12、……

（二）、最小正周期的概念.

对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期.

注意

今后不加特殊说明，涉及的周期都是最小正周期. 显然上面的函数y=f(t)的周期T=4.

(三)、三角函数的周期

思考：正弦函数y=sin x是周期函数吗？即能否找到非零常数T，使sin(T+x)= sin x成立？

[sin(2π+x)=sin x，sin(4π+x)=sin x，根据周期函数定义判断它是周期函数，又根据周期的规定，它的周期T=2π（最小正值）]

用几何画板展示周期函数y=sin x的图象，使学生感知其特征。

讨论：余弦函数y=cos x和正切函数y=tan x也是周期函数，并找出它们的周期。 [周期分别是2π、π]

四、数学运用

例1若钟摆的高度h（mm）与时间t(s)之间的函数关系如图所示。

（1）求该函数的周期；

（2）求t=10s时钟摆的高度。

分析：周期可由两顶点间距离确定，此函数周期T=1.5；

根据函数的周期性，f(10)=f(10－1.5)=f(10－2·1.5)= ……=f(10－1.5k)(其中k 为整数)，直到10－1.5k=1或2.5为止，即f(10)=f(1)=20.

解：(略) 例2 求函数f(x)=cos3x 的周期。

解：设周期为T. f(x)=cos3x=cos(3x+2π)，f(x+T)=cos3(x+T) 由f(x)= f(x+T)得，3x+2π=3(x+T)，解得T=2π/3. ∴函数f(x)=cos3x 的周期2π/3.

注意：①运用了换元方法，u =3x ；②f(u )=cos u 的(最小正)周期是2π；即cos u =cos(u +2π)；③由于cos(3x+2π) =cos3(x+T)对任一x 的值都成立，所以3x+2π=3(x+T)；④f(x)= cos3x 的周期与f(u )=cos u 的周期是两个不同的概念。 例3．求下列函数的最小正周期T. （1）x x f sin 3)(= （2）x x f 2sin )(= （3）)4

2

1sin(2)(π

+

=x x f

解：（1）πππ2)

2()2sin(3sin 3)(=+=+==T x f x x x f

（2）)()(2sin )22sin(2sin )(πππ+=+=+==x f x x x x f

∴ 函数的最小正周期为π.

（3）)4(]4)4(21sin[2)2421sin(2)421sin(2)(ππππππ+=++=++=+=x f x x x x f

∴ 函数的最小正周期为4π.

总结一般规律：)cos(),sin(ϕωϕω+=+=x A y x A y 的最小正周期是

|

|2ωπ.

令 z x ωϕ=+，由sin ,y A z z R =∈的周期是2π， 则 ()222z x x ππωϕπωϕω⎛

⎫

+=++=++ ⎪⎝

⎭

因而自变量x 只要并且至少要增加到2x π

ω

+

，即2T π

ω

=

。

例4．求证：（1）cos 2sin 2y x x =+的周期为π； （2）.2

|cos ||sin |π

的周期为x x y +=

证明：（1）)22sin()22cos()(2sin )(2cos )(x x x x x f +++=+++=+πππππ π

的周期是x x y x f x x 2sin 2cos )

(2sin 2cos +=∴=+=