平面简谐波

u


x
形变最大
形变为零 x
O 密部中心 疏部中心
注意
波形曲线与振动曲线比较 (见下页表)
振动曲线 图形
A o
y P
波形曲线
t
T
t0
v
A o t P 0
y
v
u x
研究 某质点位移随时间 对象 变化规律
由振动曲线可知
某时刻，波线上各质点 位移随位置变化规律
由波形曲线可知 该时刻各质点位移
波的空间、时间周期性
沿波传播方向各质元振动状态(相位)相继落后 （滞后效应） 讨论一维情况，平面简谐行波 建立Ψ Ψ （x、t）的数学形式
已知：波线上任一点O的振动方程Ψ o A cos( t 0 )
波速u, 向右传播
求：该平面简谐波波函数 Ψ Ψ ( x, t )
解： 以参考点O为坐标原点，波速u的方向为+x,建立一 维坐标。 设P为波线上任意一点，坐标 x u
o
A
x

原点处
y0 0
v0 0 得
y0 A cos(2 u
0

t

2
得原点振动方程 波函数：

2
)
x y A cos[2 ( t ) ] u 2 u
x y A cos[2 ( t 2 ) ] u 2 u
将 t t 2代入
波面： 某时刻介质中同相点的集合。（球面波, 柱面波,平面波 ...）
波前： 传在最前面的波面
在各向同性均匀介质中，波线为直线，波线
与波面垂直
波前 波面


*
球面波
波线
平面波
平面简谐行波
波面为平面 传播中的波(相对于“驻波”而言)
横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波. （仅在固体中传播 ）
机械波的传播需 有传播振动的介质; 电磁波的传播可 不需介质.
§14.1
一、平面简谐行波 振动在空间传播 波源 介质 真空 简谐振动 振动
平面简谐行波
波动 相位（状态） 能量
简谐波
波源及介质中各质点均作谐振动 注意 波是运动状态的传播，介质 的质点并不随波传播.
几个概念:
波线： 由波源出发，沿波传播方向的线， 其上 任一点切线方向为该点波传播方向。
原点不同时，波函数形式变化，但波线上确定点振 动方程不变。
练习 3
由波形曲线和振动曲线建立波函数
已知：平面简谐波 t =0 时波形和 波线上 x =1m 处P点振动曲线 求：波函数 (1) 以 O 为参考点 (2) 以 P 为参考点
(m)
0.2 O
t=0
P(m)
x (m)
2 0.2 O 0.1 0.2
物理 意义
周期T. 振幅A 初相 0
某时刻 v 方向参看下一时刻
波长 , 振幅A 只有t=0时刻波形才能提供初相
某质点 v 方向参看前一质点
特征 对确定质点曲线形状一定 曲线形状随t 向前平移
四、波函数（波动方程的积分形式） 振动量 随时间、空间的变化规律 Ψ Ψ ( x, y, z, t） 建立波函数的依据
8 5
5
u
C A
O
B
O
x ( m)
(2) 以O为坐标原点
P离参考点距离
x x 5
x x5 Ψ A cos[ (t ) ] A cos[ (t ) ] u u 将xB 13代入
13 5 8 ΨB A cos[ (t ) ] A cos[ (t ) ] u u
已知平面简谐波在 t =2s 时波形，求波函数 y(m) u
A λ x(m)
已知： A, u,
波向 x传、 t 2s波形
求：
y( x、t )
解： 时间变换： 令t t 2
该波形为t 0时刻波形
思考：写原点振动方程
y(m) A
u
λ x(m)
x 0, t 0
时间频率
波长
同一波线上，相邻的相位差为 2 的两点间的距离
描述波的空间周期性
k
1

空间频率
3. 波速 u
时间周期性 空间周期性 在一个周期内，某一个确定的振动状态 （相位）在空间正好传播一个波长。
振动相位传播的速度：
注意区分：
u T
方向平行：纵波 方向垂直：横波
u : 相位传播速度：在各向同性介质中为常数 质点振动速度 dy v A sin( t ) v: dt
(m)
0.2 O
t=0 P
1 2
P(m)
x (m)
0.2 O 0.1 0.2
t (s)
（1）以O为参考点，先写O的振动方程
3 O在 t = 0 时刻过平衡位置向正向运动 0 2
3 Ψ0 0.2 cos( t ) 10 2 波向-x方向传播
x 3 Ψ 0.2 cos[ (t ) ] 10 10 2
特征：具有交替出现的波峰和波谷.
纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波. （可在固体、液体和气体中传播）
特征：具有交替出现的密部和疏部.
二、波的特征量 波的特征： 空间时间上的周期性 1) 周期T、频率 即介质中各质元振动的周期和频率 由波源振动情况决定
描述波动的时间周期性
2.
1 T
Ψ 0 04 cos [4 x 10( t 0 05)] x 0 04 cos[10 ( t ) ] 2 5 2 x Ψ 0 04 cos 10 ( t ) 与原函数比较： 2 5 时间变换，移动计时起点——改变初相
练习 5
同学们好！
第十四章
结构框图：
波的产生和传播
*电磁波
特征量 *非线性波 简介 平面简谐 行波 波函数 能 量 多普勒效应
*声
波
波动是振动的传播过程. 振动是激发波动的波源. 机械波 机械振动在弹性介质中的传播. 波动 电磁波 交变电磁场在空间的传播. 两 类 波 的 不 同 之 处 两 类 波 的 共 同 特 征 能量传播 反射 折射 干涉 衍射
线性微分方程
0
注意
周期或频率只决定于波源的振动! 波速只决定于媒质的性质！
波速
u与介质的性质有关
Y
固体： 纵波 u


; 横波 u
G

; 弦上波 u
T

流体： 纵波 u B
弹性模量 杨氏模量Y 切变模量G 体变模量B
应力 Y 应变 F S FL L L S L
G
应力 应变
B
练习 2
移动坐标原点后如何建立波函数 （即参考点不作为坐标原点）
已知：
ΨC A cos( t ) 波速u沿 x
OC OC 5m, BC 8m
求: 分别以O、O为坐标原点建立波函数，并写出B 点的振动方程。
8 5
5
u
C A
O
B
O
x ( m)
解:
8 5
5
u
C A
P
1
t (s)
(m)
0.2 O
t=0
P
1 2
P(m)
x (m)
0.2 O
t (s)
0.1 0.2
解： 由图可知：
A 0 2m
2m
u
T 0 2s
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 则 10 (s1 ) T

T
10 ( m s )
P在 t=0 时刻过平衡位置向负向运动 ——波向左传
更换计时起点后如何建立波函数 练习 4 已知: Ψ 0 04cos (4 x 10t ) SI
求： 将计时起点延后 0.05 s 情况下的波函 数 解： 设新的时间坐标为t , t 与t的关系:
t t 0 05 即
代入原 波函数:
t t 0 05
(m)
0.2 O
t=0 P
1 2
P(m)
x (m)
0.2 O 0.1 0.2
t (s)
以 （2） P 为参考点，先写 P 的振动方程 Ψp 0 2 cos( t ) 10 P的初相 p 2 2
波向-x方向传播
x x 1 10 Ψ 0 2 cos[ (t 10 ) ] 0 2 cos[ (t ) ] 10 2 10 2
O
P(x)
x
已知坐标原点振动方程 Ψ0 A cos( t 0 )
方法1 O点的振动状态传到P所需时间 t x
u t时刻P点相位与 点（t t )时刻相位相同 O
Ψp (t ) Ψ0 (t t )
x A cos[ (t ) 0 ] u
即
x Ψ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u
应力 应变

F S FD d D Sd

P V V
三、波形曲线 描述某时刻，波线上各点位移的分布 (广义) 对横波：直观给出波峰、波谷位置，该时刻波形

O
x

2

思考： 对纵波，波形曲线是不是实际波形？ 波形曲线如何反映纵波传播过程中介质质点
的疏密情况？疏部中心、密部中心各在何处？
对纵波:
O
B
O
x ( m)
C为参考点： C A cos( t ) ，设P为波线上任意一点 Ψ
（1）以O为坐标原点 P离参考点C距离
x x 5
x x 5 Ψ A cos[ (t ) ] A cos[ (t ) ] u u
将xB 3代入
35 8 ΨB A cos[ (t ) ] A cos[ (t ) ] u u
即x0 处质点的振动方程
x0 Ψ( x0 , t ) Ψ(t ) A cos[ (t ) 0 ] u
2) 当 t 给定 (t = t0) 时
x Ψ( x, t0 ) Ψ( x ) A cos[ (t0 ) 0 ] u 即t0 时刻的波形曲线方程
3) 当x、 t 均变化时
（SI）
五. 波动方程的微分形式(了解)
1. 一维情况 由 得
x Ψ A cos[ (t ) ] u Ψ A x sin[ (t ) ] x u u
2Ψ 2A x 2 cos[ (t ) ] 2 x u u
Ψ x A sin[ (t ) ] t u 2Ψ x 2 A cos[ (t ) ] 2 t u
x Ψ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u x A cos(t 0 2 ) t x A cos[ 2 ( ) 0 ] T 2 A cos[ (ut x ) 0 ]

1) 当 x 给定 (x = x0) 时
(1)
u
O P(x)
x
方法2
波线上每间隔 ，相位落后 2
P点相位比O落后
x

2
x
Ψp A cos(t 0

2 )
即 Ψ( x, t ) A cos( t 0 由于 uT u
x

2 )
(2)
2

(1)、(2)是一致的
• 平面简谐波波函数的数学形式和物理意义
Ψ 1 Ψ 2 2 2 x u t
2 2
2. 三维情况
2Ψ 2Ψ 2Ψ 1 2Ψ 2 2 2 2 2 x y z u t
拉普拉斯算符
2 2 2 2 2 2 2 x y z
1 2Ψ 波动微分方程 2Ψ u 2 t 2
(x, t)即是振动量随时间、空间的变化规律
对应跑动的波形
练习 1
建立向-x方向传播的简谐行波波函数
u
x
o
以参考点为原点
p
Ψ0 A cos( t 0 )
P相位比O超前 ΨP t Ψ0 t t
x x Ψ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] A cos(t 0 2 ) u