北师大版数学高二必修5第一章2.1第二课时等差数列的性质作业

[学业水平训练]

1．在等差数列{a n }中，a n ＞0，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，则a 5＋a 6＝( )

A ．3

B ．6

C ．9

D ．36

解析：选B.∵数列{a n }是等差数列，且a n ＞0，

∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝5(a 5＋a 6)＝30，

∴a 5＋a 6＝6.

2．(2014·临清高二检测)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝6，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( )

A ．30

B ．15

C ．5 6

D ．10 6

解析：选B.∵数列{a n }为等差数列．

∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝52(a 2＋a 4)＝52

×6＝15. 3．(2014·东北育才学校质检)在等差数列{a n }中，若a 1，a 2 015为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 2＋a 1 008＋a 2 014＝( )

A ．10

B ．15

C ．20

D ．40

解析：选B.∵a 1，a 2 015为方程x 2－10x ＋16＝0的两个根．

∴a 1＋a 2 015＝2a 1 008＝10.

∴a 1 008＝5，

∴a 2＋a 1 008＋a 2 014＝3a 1 008

＝3×5＝15.

4．设{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37＝( )

A ．0

B ．37

C ．100

D ．－37

解析：选C.设c n ＝a n ＋b n ，由于{a n }，{b n }都是等差数列，则{c n }也是等差数列，且c 1＝a 1＋b 1＝25＋75＝100.

c 2＝a 2＋b 2＝100.

∴{c n }的公差d ＝c 2－c 1＝0.

∴c 37＝100.

5．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 等于

( )

A ．8

B ．4

C ．6

D ．12

解析：选A.因为a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝4a 8＝32，所以a 8＝8，即m ＝8.

6．(2014·泰安高二检测)在等差数列{a n }中，a 3，a 10是方程x 2－3x －5＝0的根，则a 5＋a 8＝________．

解析：由已知得a 3＋a 10＝3，

又数列{a n }为等差数列，

∴a 5＋a 8＝a 3＋a 10＝3.

答案：3

7．(2014·河北省石家庄市月考)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100，则3a 9－a 13的值为________．

解析：由等差数列的性质可知，a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝(a 3＋a 11)＋(a 5＋a 9)＋a 7＝5a 7＝100，∴a 7＝20.又3a 9－a 13＝2a 9＋a 9－a 13＝(a 5＋a 13)＋a 9－a 13＝a 5＋a 9＝2a 7＝40.

答案：40

8．已知数列{a n }满足a 1＝1，若点(a n n ，a n ＋1n ＋1

)在直线x －y ＋1＝0上，则a n ＝________． 解析：由题设可得a n n －a n ＋1n ＋1

＋1＝0， 即

a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，所以数列{a n n }是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式a n n ＝n ，所以a n ＝n 2.

答案：n 2

9．在等差数列{a n }中：

(1)若a 3＋a 9＝12

，求a 6； (2)若a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝48，求a 6＋a 7.

解：在等差数列{a n }中：

(1)∵a 3＋a 9＝2a 6＝12，∴a 6＝14

. (2)∵a 6＋a 7＝a 3＋a 10＝a 2＋a 11，且a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝48，∴2(a 6＋a 7)＝48，∴a 6＋a 7＝24.

10．如果有穷数列a 1，a 2，…，a m (m 为正整数)满足条件：a 1＝a m ，a 2＝a m －1，…，a m ＝a 1，那么称其为“对称”数列．例如数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，4，8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{c n }中，c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，求c 2的值．

解：∵c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，∴c 20＝c 11＋9d ＝1＋9×2＝19，又{c n }为21项的对称数列，∴c 2＝c 20＝19.

[高考水平训练]

1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( )

A ．8

B ．7

C ．6

D ．5

解析：选 D.∵S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝a 1＋kd ＋a 1＋(k ＋1)d ＝2a 1＋(2k ＋1)d ＝2×1＋(2k ＋1)×2＝4k ＋4＝24，∴k ＝5.

2．(2014·铜陵调研)在等差数列{a n }中，若a 7＝m ，a 14＝n ，则a 21＝________． 解析：∵a 7、a 14、a 21成等差数列，∴a 7＋a 21＝2a 14，∴a 21＝2a 14－a 7＝2n －m .

答案：2n －m

3．(2014·北京东城区综合练习)已知f (x )是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R ，都有f (x ·y )＝xf (y )＋yf (x )成立．数列{a n }满足a n ＝f (2n )(n ∈N ＋)且a 1＝2，求数列{a n }的通项公式．

解：令x ＝2，y ＝2n －1，则f (x ·y )＝f (2n )＝2f (2n －1)＋2n －1f (2)，即f (2n )＝2f (2n －1)＋2n －1a 1，

即a n ＝2a n －1＋2n

，a n 2n ＝a n －12n －1＋1， 所以数列{a n 2n }为以a 12＝1为首项，1为公差的等差数列，所以a n 2n ＝n .由此可得a n ＝n ·2n . 4．在数列{a n }中，a 1＝1，3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N ＋)．

(1)求证：数列{1a n

}是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式；

(3)若λa n ＋1a n ＋1

≥λ对任意n ≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围． 解：(1)证明：由3a n a n －1＋a n －a n －1＝0，得1a n －1a n －1

＝3(n ≥2)．又∵a 1＝1， ∴数列{1a n

}是以1为首项，3为公差的等差数列． (2)由(1)可得1a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，∴a n ＝13n －2

.