相似专题四证比例式或等积式的技巧

专题训练
过某一点作平行线，构造出“A”型或“X”型的 基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决 问题．
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技巧 2 三点定型法
3．如图，在 ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE 交BC于F. 求证：DC = CF .
AE AD
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证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AE∥DC. ∴∠CDF＝∠E. ∴△FCD∽△DAE. ∴ DC = CF . AE AD
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∴∠B＝∠BAM.
∴∠BAM＝∠D，即∠EAM＝∠D.
又∵∠AME＝∠DMA.
∴△AME∽△DMA.
∴ AM = MD
ME AM
，即AM2＝MD·ME.
专题训练
技巧 3 构造相似三角形法
5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点， AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N. 求证：BP·CP＝BM·CN.
∴∠CAB＋∠CBE＝90°.
∴∠ACE＝∠CBE.∴△AEC∽△CEB.
∴
AE CE
=
CE BE
，即CE2＝AE•BE.
∴CE2＝DE•PE.
专题训练
技巧 5 两次相似法
8．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC 的平分线BE交AC于E，交AD于F. 求证：BF = AB .
BE BC
证明：∵BG⊥AP，PE⊥AB， ∴∠AEP＝∠DEB＝∠AGB＝90°. ∴∠P＋∠PAB＝90°，
∠PAB＋∠ABG＝90°. ∴∠P＝∠ABG. ∴△AEP∽△DEB.
专题训练
AE ∴
DE
=
PE BE
.
即AE•BE＝PE•DE.
又∵∠CEA＝∠BEC＝90°，
∴∠CAB＋∠ACE＝90°.
又∵∠ACB＝90°，
专题训练
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M为BC的中点， DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E. 求证：AM2＝MD·ME.
证明：∵DM⊥BC，∠BAC＝90°， ∴∠B＋∠BEM＝90°，
∠D＋∠DEA＝90°. ∵∠BEM＝∠DEA， ∴∠B＝∠D. 又∵M为BC的中点，∠BAC＝90°， ∴BM＝AM.
AB AC
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(1) △AMB∽△AND；
证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B＝∠D. ∵AM⊥BC，AN⊥CD， ∴∠AMB＝∠AND＝90°. ∴△AMB∽△AND.
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(2) AM = MN .
AB AC
证明：由△AMB∽△AND得 AM = AB ，∠BAM＝∠DAN.
AN AD
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(2)DG·DF＝DB·EF.
证明：由△DEF∽△BDE得
DE = BD
EF DE
，即DE2＝DB·EF.
又由△DEF∽△BDE，得∠GED＝∠EFD.
∵∠GDE＝∠EDF，
∴△GDE∽△EDF.
∴
DG DE
=
DE DF
，即DE2＝DG·DF.
∴DG·DF＝DB·EF.
专题训练
7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上 任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D. 求证：CE2＝DE·PE.
专题训练
证明：如图，连接PM，PN. ∵MN是AP的垂直平分线， ∴MA＝MP，NA＝NP. ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. 又∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°. ∴∠2＋∠4＝60°.∴∠5＋∠6＝120°. 又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°， ∴∠5＝∠7.∴△BPM∽△CNP. ∴ BP = BM ，即BP·CP＝BM·CN.
又∵AD＝BC， ∴ AM = AB .
AN BC
∵AM⊥BC，AD∥BC，∴∠MAD＝∠AMB＝90°. ∴∠B＋∠BAM＝∠MAN＋∠NAD＝90°. ∴∠B＝∠MAN. ∴△AMN∽△BAC. ∴ AM = MN .
AB AC
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技巧 6 等积代换法
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E， DF⊥AC于F. 求证：AE = AC .
专题训练
证明：由题意得∠BDF＝∠BAE＝90°.
∵BE平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠ABE.
∴△BDF∽△BAE.
∴ BD = BF .
AB BE
∵∠BAC＝∠BDA＝90°，∠ABC＝∠DBA.
∴△ABC∽△DBA.∴ AB = BD .
∴ BF = AB .
BC AB
BE BC
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9．如图，在 ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别 为M，N.求证： (1)△AMB∽△AND； (2) AM = MN .
第二十七章 相似
四、证比例式或等积式的技巧
专题训练
证比例式或等积式思路：
通常通过平行线分线段成比例或相似三角形，得到 成比例线段，从而得到比例式。等积式可由比例式 转化而来。
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技巧 1 构造平行线法
1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点 E，交BC的延长线于点F. 求证：AE·CF＝BF·EC.
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2．如图，已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长 线上有一点E，且AD＝CE，DE交AC于点F. 求证：AB·DF＝BC·EF.
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证明：如图，过点D作DG∥BC，交AC于点G， 易知△DGF∽△ECF，△ADG∽△ABC. ∴ EF = CE ，AB = AD . DF DG BC DG ∵AD＝CE， ∴ CE = AD . DG DG ∴ AB = EF ， BC DF 即AB•DF＝BC•EF.
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证明：如图，过点C作CM∥AB交DF于点M.
∵CM∥AB，∴△CMF∽△BDF.
Baidu Nhomakorabea
∴
BF CF
=
BD CM
.
又∵CM∥AD，∴△ADE∽△CME.
∴
AE EC
=
AD CM
.
∵D为AB的中点，∴BD＝AD.
∴ BD = AD . ∴ BF = AE ， CM CM CF EC
即AE•CF＝BF•EC.
CN CP
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技巧 4 等比过渡法
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边 AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE. 求证：(1)△DEF∽△BDE； (2)DG·DF＝DB·EF.
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(1)△DEF∽△BDE； 证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. ∵DE∥BC， ∴∠ACB＋∠FED＝180°，∠ABC＋∠EDB＝180°. ∴∠FED＝∠EDB. 又∵∠EDF＝∠DBE， ∴△DEF∽△BDE.