差分方程迭代解举例
有限差分法-3
一、差分方程
下式为一维非稳定流的差分方程：
T Hi,k1 Hi1,k1 T 1 Hi,k Hi1,k
x
x
T
Hi1,k 1 x
Hi,k 1
T
1
Hi1,k x
Hi,k
S
x
Hi,k1 t
Hi,k
利用水量均衡原理，可得二维流的差分方程：
沿x方向流入量和流出量之差为：
T Hi, j,k 1 Hi1, j,k1 T 1 Hi, j,k Hi1, j,k
h2m,k 1
h m 1 1,k 1
h m 1 2,k 1
2
x
2
x
x
t
h m 1 1,k 1
h1,k
K
hm 1,k 1
hm 2,k 1
h m 1 1,k 1
h m 1 2,k 1
K
hm 2,k 1
h3m,k 1
h m 1 2,k 1
h m 1 3,k 1
x
2
x
2
x
t
h m 1 2,k 1
F3
A H m1 1 0,k 1
A H m1 2 1,k 1
A H m1 3 2,k 1
C1H
m 2,k
1
C2
H
m 3,k
1
C3
H
m 4,k
1
H m1 n1,k 1
Fn1
A H m1 n1 n2,k 1
Cn
1H
m n,k
1
简单迭代法也叫同步迭代法。
高斯-塞德尔迭代法也叫异步迭代法。
3、超松弛迭代法
2
x
x
t
hi,k 1 hi,k
常线性差分方程的解—02
一阶线性常系数差分方程y[k]0.5y[k1]=u[k], y[1]=1，用迭代法求解差分方程。
•若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 •若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 •若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 •这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的 物理概念。
二.离散时间系统的转移算子： 1.定义
a.E算子：又称超前算子，它表示将序列
向前（向左）移一位的运算。
即：Ey ( k ) y( k 1) E 2 y( k ) y( k 2)； .... E y( k ) y( k n )
特征方程为 r 2 3r 2 0 特征根为 r1 1, r2 2 齐次解yh[k] yh [k] C1 (1) C2 (2)
k k
由输入f [k]的形式，设方程的特解为
y p [k ] D2 , k 0
k
D2 3D2 2D2
k k 1
k 2
2 k 0
1 5 k 1 5 k y(k) c1 ( ) c2 ( ) 代入初始条件 2 2 1 5 1 5 1 y(1) c1 ( ) c2 ( ) 1 c1 2 2 5 1 5 2 1 5 2 1 y(2) c1 ( ) c2 ( ) 1 c2 2 2 5
§7.4常系数差分方程的求解
迭代法 时域经典法 离散卷积法：利用齐次解得零 输入解，再利用卷积和求零状 态解。 变换域法（Z变换法） 状态变量分析法
一求解差分方程的迭代法和经典法 •迭代法 当差分方程阶次较低时常用此法 y (n) ay (n 1) x(n) x ( n) ( n) n 0 y (0) ay (1) x(0) 0 (n) 1 n 1 y (1) ay (0) x(1) a 0 a
差分公式和迭代基本原理
差分公式和迭代基本原理
差分公式是一种数学工具，用于计算函数或序列中相邻元素之间的差异。
它基于迭代基本原理，通过对相邻元素之差进行迭代计算，得出一系列差异值。
差分公式主要分为一阶差分和高阶差分两种。
一阶差分公式：
对于一个函数或序列 f(n)，一阶差分公式可以表示为：Δf(n) = f(n+1) - f(n)。
通过该公式，我们可以得到函数或序列相邻元素的差异值，即一阶差分。
高阶差分公式：
对于一个函数或序列 f(n)，高阶差分公式可以表示为：Δ^kf(n) = Δ(Δ^(k-1)f(n))。
其中，k为差分的阶数。
通过该公式，我们可以得到函数或序列相邻元素的差异值的差异值，即高阶差分。
迭代基本原理指的是通过不断地迭代使用差分公式，从已知的初始值开始，逐步计算出更多的差异值。
具体的迭代过程可以通过以下步骤描述：
1. 给定初始值 f(0)，设置迭代起始点。
2. 根据差分公式，计算相邻元素的差异值Δf(n)。
3. 根据计算得到的差异值，更新函数或序列的值：f(n+1) = f(n) + Δf(n)。
4. 重复步骤 2 和步骤 3，不断迭代计算下一个差异值和更新函
数或序列的值。
5. 按需求终止迭代，得到所需的差分结果。
通过迭代基本原理和差分公式，我们可以在数学和计算领域中进行各种差分运算，如差分方程的求解、差分逼近等。
差分公式和迭代基本原理在数字信号处理、数值计算等领域有广泛应用。
数学建模之差分方程
差分方程模型①建立差分方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立差分方程模型。
一阶常系数线性差分方程的一般形式为1(),(0)t t y ay f t a +-=≠（1）②求解一阶常系数齐次线性差分方程10,(0)t t y ay a +-=≠（2）常用的两种解法1）迭代法假设0y 已知，则有2112210(),n n n n n n y ay a ay a y a y a y ----======一般有0(0,1,2,).t t y a y t ==10t t y ay +-=（3）2）特征方程法假设(0)t Y λλ=≠为方程（3）的解，代入（3）得方程的特征方程10(0),t t a λλλ+-= ≠解得特征根：.a λ=则t t y a =是方程（3）的解，所以齐次方程的通解为 (t t y ca c =为任意常数)例题：设某房屋总价为a 元,先付一半可入住,另一半由银行以年利r 贷款, n 年付清，问平均每月付多少元？共付利息多少元？解：设每月应付x 元，月利率为12r ，则第一个月应付利息为 1.12224r a ra y =⨯=第二月应付利息为2111,2121212a r r rx y x y y ⎛⎫⎛⎫=-+⨯=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以此类推得到 11,1212t t r rx y y +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭此方程为一阶常系数非线性差分方程。
其相应的特征方程为(1)012r λ-+= 特征根为112r + 则得到通解为1(12t t r y c c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为任意常数). 解得特解为t y x *=所以原方程通解为 112t t r y c x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当112224r a ra y =⨯=时，解得24112ra x c r -=+。
所以解得满足初始条件的特解为112411211211.2121212t t t t ra x r y x r a r r r x x ---⎛⎫=++ ⎪⎝⎭+⎛⎫⎛⎫=⨯⨯++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 于是得到n 年的利息之和为11212121212121221112nnn I y y a r r a n r =++⎛⎫⨯+⨯ ⎪⎝⎭=⨯-⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 元，平均每月需要付12121212121112nna r rr⎛⎫⨯+⨯⎪⎝⎭⎛⎫+-⎪⎝⎭元。
差分方程及其应用
差分方程及其应用在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的。
例如，银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统计，产品的产量按月统计等等。
这些量是变量，通常称这类变量为离散型变量。
描述离散型变量之间的关系的数学模型成为离散型模型。
对取值是离散化的经济变量，差分方程是研究他们之间变化规律的有效方法。
本章介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法，与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似，可对照微分方程的知识学习本章内容。
§1 基本概念 线性差分方程解的基本定理一、 基本概念1、函数的差分对离散型变量，差分是一个重要概念。
下面给出差分的定义。
设自变量t 取离散的等间隔整数值：，，，， 210±±=t t y 是t 的函数，记作)(t f y t =。
显然，t y 的取值是一个序列。
当自变量由t 改变到1+t 时，相应的函值之差称为函数)(t f y t=在t 的一阶差分，记作t y ∆，即)()1(1t f t f y y y t t t -+=-=+∆。
由于函数)(t f y t =的函数值是一个序列，按一阶差分的定义，差分就是序列的相邻值之差。
当函数)(t f y t=的一阶差分为正值时，表明序列是增加的，而且其值越大，表明序列增加得越快；当一阶差分为负值时，表明序列是减少的。
例如：设某公司经营一种商品，第t 月初的库存量是)(t R ，第t 月调进和销出这种商品的数量分别是)(t P 和)(t Q ，则下月月初，即第1+t 月月初的库存量)1(+t R 应是)()()()1(t Q t P t R t R -+=+，若将上式写作)()()()1(t Q t P t R t R -=-+，则等式两端就是相邻两月库存量的改变量。
若记))()1()(t R t R t R -+=∆，并将理解为库存量)(t R 是时间t 的函数，则称上式为库存量函数)(t R 在t 时刻（此处t 以月为单位）的差分。
差分方程的解法
差分方程的解法1. 引言差分方程是描述离散系统的一种数学工具。
在许多科学领域和工程应用中，差分方程被广泛使用，例如物理学、经济学和计算机科学等。
对于一个给定的差分方程，寻找其解法是非常重要的，因为解法可以帮助我们理解系统的演化和预测其行为。
2. 常用的差分方程解法下面介绍几种常用的差分方程解法：2.1. 递推法递推法是差分方程解法中最常见和最简单的一种方法。
该方法基于差分方程的递推关系，通过迭代计算不同时间步长下的解，并逐步逼近真实解。
递推法适用于一些简单的线性差分方程，例如一阶和二阶差分方程等。
2.2. 特征方程法特征方程法主要用于解线性恒定系数差分方程。
通过将差分方程转化为代数方程，然后求解特征方程的根，可以得到差分方程的通解。
特征方程法适用于一些具有周期性和稳定性的差分方程。
2.3. 变换法变换法是一种将差分方程转化为其他类型方程然后求解的方法。
常见的变换方法有Z变换、拉普拉斯变换和离散傅里叶变换等。
通过变换法，我们可以将差分方程转化为易于求解的形式，从而得到解析解或近似解。
2.4. 迭代法迭代法是一种通过迭代计算逼近差分方程解的方法。
常见的迭代方法有欧拉法、龙格-库塔法和蒙特卡洛方法等。
迭代法适合于解决非线性、复杂或高阶的差分方程，并能够提供数值解。
3. 解法选择的依据在选择差分方程的解法时，我们需要根据差分方程的特性和给定问题的要求来确定一个最合适的解法。
以下是一些选择解法的依据：- 差分方程的类型和形式：不同类型和形式的差分方程可能适用于不同的解法。
- 解的精确性要求：如果需要求得解的精确值，可以选择特征方程法或变换法；如果只需要求得近似解，可以选择递推法或迭代法。
- 计算效率和速度要求：某些解法可能更加高效和快速，适合在大规模计算中使用。
- 可行性和实际性要求：选择对于给定问题实现可行并且实际可行的解法。
4. 结论差分方程的解法多种多样，每种解法都各具特点和适用范围。
在实际应用中，我们需要根据问题的要求和特点选择最合适的解法。
高数-差分方程
5.1.1差分 微分方程是自变量连续取值的问题, 但在很多实际问 题中, 有些变量不是连续取值的. 例如, 经济变量收入、储
蓄等都是时间序列, 自变量 t 取值为0, 1, 2, , 数学上把这
种变量称为离散型变量. 通常用差商来描述因变量对自变 量的变化速度.
一、 差分方程的基本概念 1. 差分的定义 定义5.1.1 设函数
例1 求 (t 2 ), 2 (t 2 ), 3 (t 2 ).
2 y t ,则 解 设 t
yt ( t 2 ) (t 1)2 t 2 2t 1, 2 ( yt ) 2 ( t 2 ) ( yt ) (2t 1)
2( t 1) 1 (2t 1) 2,
S t a bPt (a , b 0) , Dt c dPt (c , d 0)
设 t 时期的价格Pt由 t –1时期的价格 Pt 1与供给量 及需求量之差 S t 1 Dt 1 按如下关系确定.
Pt Pt 1 ( S t 1 Dt 1 )
(2)
的k个特解，则线性组合
y( t ) C1 y1 ( t ) C2 y2 ( t )
C k yk ( t )
也是该差分方程的解，其中 C1 , C2 , , Ck 为任意常数.
定理B n阶常系数齐次线性差分方程一定存在n个
线性无关的特解．若
y1 ( t ), y2 ( t ),
3. 常系数线性差分方程及解的性质
定义A 形如
yt n a1 yt n1 an1 yt 1 an yt f ( x )
(1)
的差分方程称为n 阶常系数线性差分方程，其中
第二讲 简介_差分方程模型与案例
第二讲简介_差分方程模型与案例1.1 差分方程的基本定义差分方程是在离散时段上描述现实世界中变化过程的数学模型。
现实中的问题通常是连续变化的，但我们常常只能在离散的时间点上对其进行观测和描述。
为了表述这一类的数学模型，我们引入了差分方程的方法。
1.2 一阶线性常系数差分方程一阶线性常系数差分方程的一般形式差分方程的平衡点差分方程的解平衡点稳定的条件1.3高阶线性常系数差分方程n 阶线性常系数差分方程的一般形式称方程011...0k n k n n k a x a x a x ++-+++= (*)为对应的齐次方程设方程(*)有形如kk x λ=的解,则有 特征方程特征根(假定有k 个不同的实根,其它情形参见资料《差分方法建模理论与案例》)平衡点差分方程的解平衡点稳定的条件所有特征值的模均小于11.4非线性差分方程建模案例：题目1 濒危物种的自然演变和人工孵化问题：Florida 沙丘鹤属于濒危物种，生态学家估计它在自然环境下，年平均增长率为 -3.24%。
如果在某自然保护区内开始有100只鹤，每年人工孵化5只鹤放入该保护区，建立描述其数量变化规律的模型，并作数值计算。
模型及其求解记第k 年沙丘鹤的数量为x k ，自然环境下的年平均增长率为r ，记a =1+r ，每年孵化的数量为b ，则第k +1年鹤的数量为,2,1,0,1,1=+=+=+k r a b ax x k k模型分析讨论时间充分长以后沙丘鹤数量的变化趋势, 即k →∞时x k 的极限状态。
,2,1,0,11)1(010=--+=++++=-k a ab x a aa b x a x kkk k k当a <1即r <0时x k →x =b /(1-a )。
MATLAB演示计算计算并作图，程序如下：子程序：function x=exf11(x0,n,r,b)% 建立名为exf11的函数M文件，x0,n,r,b可调节a=1+r;x=x0; % 赋初值for k=1:nx(k+1)=a*x(k)+b; % 按照（3）迭代计算end主程序:clc; clf; clear all% x0:初始值；r=-0.0324; b:人工孵化数x0=100;n=20;b=5; r=-0.0324;% 给定x0,n,r，b,调用exf11计算k=(0:n)';y=exf0201(x0,n,r,b);plot(k,y,'r*-'),title('Florida 沙丘鹤数量变化趋势');% 在图上做标记（运行结果显示）题目2 汽车租赁公司的运营问题:一家汽车租赁公司在3个相邻的城市运营，为方便顾客起见公司承诺，在一个城市租赁的汽车可以在任意一个城市归还。
§2.8 差分方程的求解
X
第
例2-8-3
学 院
9 页
求方程yn 6 y n 1 12 yn 2 8 y n 3 0的解。
特征方程
y n C1 2 C 2 n 2 C 3 n工 2 程
n n 2
r 6 r 2 0 电r 12 r 8 0 邮 京 所以r 2 三重根 北
3
学 2 大
电
子
工
程
3
院 学 n
学 C1 , C 2 , C 3 给定初始(边界)条件即可求出常数 大 北 京 邮 电
电
子
X
第
例2-8-4
j r2 Me j 设 r1 Me n n 院 y n C 1 r1 C 2 r2 学
10 页
C 1 Me Me n 大学 cos n j sin n C 2 M n cos n j sin n C1 M 电 邮 n n P C1 C2 京 PM cos n QM sin n 北 Q j (C 院 1 C2 ) P,Q为待定系数 学 程 M 1 y n 为等幅正弦序列 子工 子 C2 电
j n
工
程
j n
M 1 M 1
yn 为增幅正弦序列 大 电 邮 为减幅正弦序列 京 yn 北学 电 NhomakorabeaX
第
2.特解
线性时不变系统输入与输出有相同的形式。
输入 输出
j n
11 页
x n e an
电 邮 x n cos 京 n 北
x n e
电 jn 学 y n A e 大
院
2 学 r 特征方程 电大 5r 6 0 r 2r 3 0 特征根 京邮 r1 2, r2 3 北 n n y n C1 2 C 2 3 齐次解 院 学 n 0 y 0 C1 C 2 2 工程 定 C1 , C 2 子 电 n 1 y 1 2C1 3C学 2 1 大 解出 C1 5, C 2 3 邮电 n 京 n 所以y n 52北 33
非齐次差分方程求解
非齐次差分方程求解一、引言差分方程是数学中重要的研究对象之一，它描述了随时间变化的一系列数值之间的关系。
差分方程分为齐次差分方程和非齐次差分方程两种类型。
本文将重点讨论非齐次差分方程的求解方法，以帮助读者更好地理解和运用差分方程。
二、非齐次差分方程的定义和解析方法非齐次差分方程的一般形式为：y(n+1)-ay(n) = f(n)，其中y(n)表示第n个数值，a表示一个常数，f(n)表示随时间变化的函数。
对于非齐次差分方程的求解，可以采用以下几种方法：1. 特征根法首先，我们将非齐次差分方程转化为对应的齐次差分方程，即y(n+1)-ay(n) = 0。
然后，我们假设该齐次差分方程的解为y(n) = c * λ^n，其中c为任意常数，λ为待定的特征根。
将该假设代入齐次差分方程得到c * λ^(n+1) - a * c * λ^n = 0，整理得到λ = a。
因此，特征根为λ = a。
接下来，我们考虑非齐次差分方程的解为y(n) = c * λ^n + k，其中k为待定的常数。
将该解代入非齐次差分方程得到：c * λ^(n+1) + k - a * c * λ^n - a * k = f(n)。
进一步整理得到c * (λ^n+1 - a * λ^n) + k(1 - a) = f(n)，由于λ = a，可得到c * (a^n+1 - a * a^n) + k(1 - a) = f(n)。
由此可以得到c的值。
最后，将得到的c和k代入y(n) = c * λ^n + k中，即可得到非齐次差分方程的解析解。
2. 利用迭代法求解对于非齐次差分方程，我们可以采用迭代法求解。
具体步骤如下：（1）选取任意一个初始值y(0)，并计算y(1) = ay(0) + f(0)。
（2）利用y(n+1) = ay(n) + f(n)公式可继续计算y(2)，y(3)，...，直到得到满足要求的解。
3. 利用差商和幂级数求解对于一些特殊的非齐次差分方程，我们可以利用差商和幂级数进行求解。
Z变换和差分方程
见教材339页例题8－4－3
解：因为 F s A B 1 1
s sa s sa
而 L1F s 1(t) eat
所以
F(z)
z
z 1
z
z e aT
(z
z(1 eaT ) 1)(z eaT
)
例8-4 求 F (z) Z[sint]
s
s2 2
1
z
z 1
zT ( z 1) 2
z ( z 1)T 2 2( z 1)3
z z eaT
zTe aT ( z eaT )2
z sin T z 2 2z sin T 1
z2 z cosT z2 2z cosT 1
4.3 Z 变换的基本定理（p342）
解：F z eakT zk e0 z0 eaT z 1 e2aT z 2
k 0
1
1 e aT
z
1
z z eaT
2. 部分分式法
当连续函数可以表示为指数函数之和时，可以利用这种方法。
例8-3
求解
a F(s)
s(s a)
的 Z 变换 。
函数线性组合的Z变换，等于各函数Z变换的线性组合。
2、滞后定理
设在t<0时连续函数f(t)的值为零，其Z变换为F（Z）则:
Z[ f (t kT )] zk F (z)
原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上乘以z-k, 算子z-k的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延迟k个周期。
3、初值定理 设函数f(t)的Z变换为F（z），并且lim F (z) 存在，则
第三章_计算机控制系统的数学描述2(差分方程_脉冲传递函数)
对第1种情况：
Y1 ( z ) R( z )G1 ( z ) Y ( z ) Y1 ( z )G2 ( z ) Y ( z) R( z)G1 ( z)G2 ( z)
Y1 (s) G1 (s) R( z ) Y (s) Y1 ( z) G2 ( s) Y1* (s) R( z )G1* (s) * * Y (s) Y1 ( z) G2 ( s)
y (k ) ai y (k i ) b j r (k j )
i 1 n j 0 n m
Y ( z ) ai z iY ( z ) b j z j R( z )
i 1 j 0
m
Y ( z) G( z) R( z )
m
1 ai z i
1 eTs G p (s) 1 G ( z ) Z G ( s ) Z G p (s) (1 z ) Z s s
什么是零阶保持环节？即保持一个采样周期的采样信号， 如图3.6所示。
us (t )
T
o
t
o
t
us (t T )
§3.2 差分方程
连续系统的动态过程，用微分方程来描述； 离散系统的动态过程，用差分方程来描述。
1、差分方程的一般形式 系统的输出Z传递函数与系统输入Z传递函数之比，当初 始条件为零时，称为系统的Z传递函数。一般可表示为
Y ( z ) b0 b1 z 1 b1 z 2 bm z m R( z ) 1 a1 z 1 a2 z 2 an z n
y(k ) y(k 1) r (k ) 2r (k 2)
设初始条件 y(0) 2 ，求
差分方程2
致价格下跌，农民觉得养猪赔钱，于是转而经营其
它农副产品 . 过一段时间猪肉上市量减少，供不应求 导致价格上涨，原来的饲养户觉得有利可图，又重 操旧业，这样下一个时期会重新出现供大于求 , 价格 下跌的局面. 在没有外界干预的条件下，这种现象将
一直循环下，在完全自由竞争的市场体系中，这种
现象是永远不可避免的 . 由于商品的价格主要由需求
yt a t y0 ( t 0,1,2,).
yt 1 ayt 0
(4)
(2) 特征方程法求解：设
Y t ( 0)
是方程 (4) 的解，代入(4)，得
t 1 a t 0 ( 0)，
化简得：
a 0,
即
a.
t 1 a t 0
利率，按年复利计息，则 S t 与 r 有如下关系式：
S t 1 S t rS t (1 r ) S t ,
t 0,1,2,,
这是关于 S t 的一个一阶常系数齐次线性差分方程，
其通解为
S t (1 r ) t S 0 ,
t 0,1,2,,
其中 S 0为初始存款总额.
二、 一阶常系数线性差分方程 一阶常系数线性差分方程的一般形式为
yt 1 ayt f ( t )，
其中 a 0 为常数，f ( t ) 为已知函数. 当 f (t ) 0 时，称方程
yt 1 ayt 0
(3)
(a 0)
(4)
为一阶常系数齐次线性差分方程. 若 f (t ) 0, 则 (3) 称为一阶常系数非齐次线性 差分方程.
2
a r 12n I (1 ) I 2 12 (1 r 12n ) 1 12 x, r 12
Z3.3 差分方程的经典解法
知识点Z3.3
第三章 离散系统的时域分析
差分方程的经典解法
主要内容：
1. 递推迭代 2. 经典法
基本要求：
1. 了解递推迭代法 2. 掌握经典法的齐次解和特解的求解方法
1
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
3.1 差分方程的建立及经典解法
已知y(0)=0，y(1)= –1；f(k)=2k，k≥0。求方程的全解。
解：特征根： λ1=λ2= –2
（how？）
设齐次解：yh(k)=(C1k+C2) (–2)k
设特解为：yp(k)=P (2)k , k≥0，代入得：P =1/4
故全解为：y(k)= yh+yp = (C1k+C2) (–2)k+2k–2, k≥0
3.齐次解的常用函数形式(p.74)
表3-1 不同特征ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ所对应的齐次解
特征根 单实根 2重实根 一对共轭复根
1，2＝a jb e j
齐次解yh (k) Ck
(C1k C0 ) k k[C cos( k) D sin( k)]或A k cos( k )
其中Ae j C jD
4.特解的常用函数形式(p.74)
表3-2 不同激励所对应的特解
激励f (k) km
ak cos( k)或sin( k)
特解yp (k)
Pmk m Pm1k m1 P1k P0 k(P1k P0 )
所有的特征根均不等于1； 有一个特征根等于1；
Pak (P1k P0 )ak
a不等于特征根； a等于特征单根；
P cos( k)+Q sin( k)
差分方程详解
差分方程百科内容来自于:差分方程是含有未知函数及其导数的方程，满足该方程的函数称为差分方程的解。
基本概念一、差分的概念设函数yt=f(t)在t=…，-2，-1，0，1，2，…处有定义,对应的函数值为…，y-2，y-1，y0，y1，y2，…，则函数yt=f(t)在时间t的一阶差分定义为Dyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t)。
依此定义类推，有Dyt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1)，Dyt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2)，………………一阶差分的性质(1) 若yt=C(C为常数)，则Dyt=0；(2) 对于任意常数k，D(kyt)=kDyt；(3) D(yt+zt)=Dyt+Dzt。
函数yt=f(t)在时刻t的二阶差分定义为一阶差分的差分，即D2yt= D (D yt)= D yt+1- D yt=(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt．依此定义类推，有D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1，D2yt+2= Dyt+3-Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2，………………类推，计算两个相继的二阶差分之差，便得到三阶差分D3yt= D2yt+1- D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt，D3yt+1= D2yt+2- D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1，………………一般地,k阶差分(k为正整数)定义为这里二、差分方程含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分Dyt，D2yt，…的函数方程，称为常差分方程(简称差分方程)；出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶。
n阶差分方程的一般形式为F(t，yt，Dyt，…，Dnyt)=0，其中F是t，yt, Dyt，…，Dnyt的已知函数，且Dnyt一定要在方程中出现。
含有两个或两个以上函数值yt，yt+1，…的函数方程，称为(常)差分方程，出现在差分方程中未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。
差分方程的概念性质举例
y 的 t
n 1 阶差分的差分称为
n
n yt ，即
n
i n yt n 1 yt 1 n 1 yt (1)i Cn yt n i i 0
二阶及二阶以上的差分yt ，2 yt ，3 y t
解
yt (t ) (t 1) t 2t 1
y y(t 1) y(t )
可以近似表示变量
y
的变化率.由此我们给出差分的定义.
定义1 设函数 的差分，也称为函数
yt y(t，称改变量 )
为函数 yt 1 y t ，即
yt
y的一阶差分，记为 yt t
y(t ) y(t 1) y(t )
2 yt 称为二阶差分，即
yt yt 1 yt
或
一阶差分的差分
2 yt (yt ) yt 1 yt ( yt 2 yt 1 ) ( yt 1 yt ) yt 2 2 yt 1 yt .
类似地可定义三节差分，四阶差分，等等.
一般地，函数 阶差分，记为
第六节 差分方程
一、差分的概念与性质 二 差分方程的概念 三 一阶常系数线性差分方程
一、差分的概念与性质
一般地，在连续变化的时间的范围内，变量 y 关于时间 t
dy 来刻画的；对离散型的变量 y, 我们常用在 的变化率是用 dt
规定时间区间上的差商
t 1 ，则
y 来刻画变量 t
y
的变化率.如果取
y0 5
解 这里
1 3 P , C 3, b 2 2
利用公式，所求通解为
1 t 3 t yt A( ) 3( ) 2 2
将初始条件 y0 5 代入上式，得 故所求题设方程的特解为
差分方程的解法分析及MATLAB实现(程序)
差分方程的解法分析及MATLAB 实现（程序）摘自：张登奇,彭仕玉.差分方程的解法分析及其MATLAB 实现[J]. 湖南理工学院学报.2014(03) 引言线性常系数差分方程是描述线性时不变离散时间系统的数学模型,求解差分方程是分析离散时间系统的重要内容.在《信号与系统》课程中介绍的求解方法主要有迭代法、时域经典法、双零法和变换域法[1].1 迭代法例1 已知离散系统的差分方程为)1(31)()2(81)1(43)(-+=-+--n x n x n y n y n y ,激励信号为)()43()(n u n x n =,初始状态为21)2(4)1(=-=-y y ，.求系统响应. 根据激励信号和初始状态,手工依次迭代可算出2459)1(,25)0(==y y . 利用MATLAB 中的filter 函数实现迭代过程的m 程序如下:clc;clear;format compact;a=[1,-3/4,1/8],b=[1,1/3,0], %输入差分方程系数向量,不足补0对齐n=0:10;xn=(3/4).^n, %输入激励信号zx=[0,0],zy=[4,12], %输入初始状态zi=filtic(b,a,zy,zx),%计算等效初始条件[yn,zf]=filter(b,a,xn,zi),%迭代计算输出和后段等效初始条件2 时域经典法用时域经典法求解差分方程:先求齐次解；再将激励信号代入方程右端化简得自由项,根据自由项形式求特解；然后根据边界条件求完全解[3].用时域经典法求解例1的基本步骤如下.（1）求齐次解.特征方程为081432=+-αα,可算出41 , 2121==αα.高阶特征根可用MATLAB 的roots 函数计算.齐次解为. 0 , )41()21()(21≥+=n C C n y n n h （2）求方程的特解.将)()43()(n u n x n =代入差分方程右端得自由项为 ⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅==-⋅+-1,)43(9130 ,1)1()43(31)()43(1n n n u n u n n n 当1≥n 时,特解可设为n p D n y )43()(=,代入差分方程求得213=D . （3）利用边界条件求完全解.当n =0时迭代求出25)0(=y ,当n ≥1时,完全解的形式为 ,)43(213 )41()21()(21n n n C C n y ⋅++=选择求完全解系数的边界条件可参考文[4]选)1(),0(-y y .根据边界条件求得35,31721=-=C C .注意完全解的表达式只适于特解成立的n 取值范围,其他点要用)(n δ及其延迟表示,如果其值符合表达式则可合并处理.差分方程的完全解为)(])43(213 )41(35)21(317[)1(])43(213 )41(35)21(317[)(25)(n u n u n n y n n n n n n ⋅+⋅+⋅-=-⋅+⋅+⋅-+=δ MATLAB 没有专用的差分方程求解函数,但可调用maple 符号运算工具箱中的rsolve 函数实现[5],格式为y=maple('rsolve({equs, inis},y(n))'),其中:equs 为差分方程表达式, inis 为边界条件,y(n)为差分方程中的输出函数式.rsolve 的其他格式可通过mhelp rsolve 命令了解.在MATLAB 中用时域经典法求解例1中的全响应和单位样值响应的程序如下.clc;clear;format compact;yn=maple('rsolve({y(n)-3/4*y(n-1)+1/8*y(n-2)=(3/4)^n+1/3*(3/4)^(n-1),y(0)=5/2,y(-1)=4},y(n))'),hn=maple('rsolve({y(n)-3/4*y(n-1)+1/8*y(n-2)=0,y(0)=1,y(1)=13/12},y(n))'),3 双零法根据双零响应的定义,按时域经典法的求解步骤可分别求出零输入响应和零状态响应.理解了双零法的求解原理和步骤,实际计算可调用rsolve 函数实现.yzi=maple('rsolve({y(n)-3/4*y(n-1)+1/8*y(n-2)=0,y(-1)=4, y(-2)=12},y(n))'),yzs=maple('rsolve({y(n)-3/4*y(n-1)+1/8*y(n-2)=(3/4)^n+1/3*(3/4)^(n-1),y(0)=1,y(-1)=0},y(n))'),4 变换域法设差分方程的一般形式为)()(00r n x b k n y a r Mr k N k -=-∑∑==.对差分方程两边取单边z 变换,并利用z 变换的位移公式得])()([])()([1010m r m r r M r l k l k k N k z m x z X z b z l y z Y z a ---=-=---=-=∑∑∑∑+=+整理成)()()()()()(00z X z X z B z Y z Y z A +=+形式有. )(, )(110110M M N N z b z b b z B z a z a a z A ----+++=+++=. )()(, )()(110110∑∑∑∑=--=--=--=--==M r r m m r r N k k l l k k z m x b s X zl y a s Y可以看出,由差分方程可直接写出 )(z A 和 )(z B ,系统函数)(/)()(z A z B z H =,将系统函数进行逆z 变换可得单位样值响应.由差分方程的初始状态可算出 )(0z Y ,由激励信号的初始状态可算出 )(0z X ,将激励信号进行z 变换可得 )(z X ,求解z 域代数方程可得输出信号的象函数 , )()()()()()(00z A z Y z X z X z B z Y -+= 对输出象函数进行逆z 变换可得输出信号的原函数)(n y .利用z 变换求解差分方程各响应的步骤可归纳如下:（1）根据差分方程直接写出 )(z A 、 )(z B 和)(z H ,)(z H 的逆变换即为单位样值响应；（2）根据激励信号算出 )(z X ,如激励不是因果序列则还要算出前M 个初始状态值；（3）根据差分方程的初始状态 )(, ),2( ),1(N y y y -⋅⋅⋅--和激励信号的初始状态 )(, ),2( ),1(M x x x -⋅⋅⋅--算出 )(0z Y 和 )(0z X ；（4）在z 域求解代数方程)()()()()()(00z X z X z B z Y z Y z A +=+得输出象函数 )(z Y , )(z Y 的逆变换即为全响应；（5）分析响应象函数的极点来源及在z 平面中的位置,确定自由响应与强迫响应,或瞬态响应与稳态响应；（6）根据零输入响应和零状态响应的定义,在z 域求解双零响应的象函数,对双零响应的象函数进行逆z 变换,得零输入响应和零状态响应.用变换域法求解例1的基本过程如下. 根据差分方程直接写出2181431 )(--+-=z z z A ,1311 )(-+=z z B .系统函数的极点为41,21. 对激励信号进行z 变换得)43/( )(-=z z z X .激励象函数的极点为3/4. 根据差分方程的初始状态算出102123 )(-+-=z z Y .根据激励信号的初始状态算出 0)(0=z X . 对z 域代数方程求解,得全响应的象函数)323161123/()83243125( )(2323-+-+-=z z z z z z z Y . 进行逆z 变换得全响应为)(])43(213 )41(35)21(317[)(n u n y n n n ⋅+⋅+⋅-= 其中,与系统函数的极点对应的是自由响应;与激励象函数的极点对应的是强迫响应. )(z Y 的极点都在z 平面的单位圆内故都是瞬态响应.零输入响应和零状态响应可按定义参照求解.上述求解过程可借助MATLAB 的符号运算编程实现.实现变换域法求解差分方程的m 程序如下: clc;clear;format compact;syms z n %定义符号对象% 输入差分方程、初始状态和激励信号%a=[1,-3/4,1/8],b=[1,1/3], %输入差分方程系数向量y0=[4,12],x0=[0], %输入初始状态,长度分别比a 、b 短1,长度为0时用[]xn=(3/4)^n, %输入激励信号,自动单边处理,u(n)可用1^n 表示% 下面是变换域法求解差分方程的通用程序，极点为有理数时有解析式输出 %N=length(a)-1;M=length(b)-1;%计算长度Az=poly2sym(a,'z')/z^N;Bz=poly2sym(b,'z')/z^M;%计算A(z)和B(z)Hz=Bz/Az;disp('系统函数H(z):'),sys=filt(b,a),%计算并显示系统函数hn=iztrans(Hz);disp('单位样值响应h(n)='),pretty(hn),%计算并显示单位样值响应Hzp=roots(a);disp('系统极点:');Hzp,%计算并显示系统极点Xz=ztrans(xn);disp('激励象函数X(z)='),pretty(Xz),%激励信号的单边z 变换Y0z=0;%初始化Y0(z),求Y0(z)注意系数标号与变量下标的关系for k=1:N;for l=-k:-1;Y0z = Y0z+a(k+1)*y0(-l)*z^(-k-l);endenddisp('初始Y0(z)'),Y0z,%系统初始状态的z 变换X0z=0;%初始化X0(z),求X0(z)注意系数标号与变量下标的关系for r=1:M;for m=-r:-1;X0z = X0z+b(r+1)*x0(-m)*z^(-r-m);endenddisp('初始X0(z)'),X0z,%激励信号起始状态的z 变换Yz=(Bz*Xz+X0z-Y0z)/Az;disp('全响应的z 变换Y(z)'),pretty(simple(Yz)),yn=iztrans(Yz);disp('全响应y(n)='),pretty(yn),% 计算并显示全响应Yziz=-Y0z/Az;disp('零输入象函数Yzi(z)='),pretty(Yziz),%零激励响应的z 变换yzin=iztrans(Yziz);disp('零输入响应yzi(n)='),pretty(yzin),% 计算并显示零输入响应 Yzsz=(Bz*Xz+X0z)/Az;disp('零状态象函数Yzs(z)='),pretty(Yzsz),%零状态响应的z 变换yzsn=iztrans(Yzsz);disp('零状态响应yzs(n)='),pretty(yzsn),% 计算并显示零状态响应该程序的运行过程与手算过程对应,显示在命令窗的运行结果与手算结果相同.。
差分方程的求解
例设
1 a G1 ( s) , G2 ( s) s sa
两个环节串联，分别求出中间有采样开关和无采样开关时系 统的开环脉冲传递函数。 解： 两个环节中间有采样开关时
z az G( z ) G1 ( z )G2 ( z ) z 1 z e aT
计算机控制技术课程讲义
17
4.6 方框图及其分析
脉冲传递函数也可用方块图表示，增加一个部件 —— 采样开关
4.6.1 采样开关位置与脉冲传递函数的关系
1、连续输入，连续输出 2、连续输入，离散输出 3、离散输入，离散输出 4、离散输入，连续输出
例：方框图分析
例1、例2、
计算机控制技术课程讲义 18
计算机控制技术课程讲义 1
用Z变换法求解差分方程的步骤为：
例：用Z变换求解差分方程：
y (k 2) 3 y (k 1) 2 y (k ) 0 初始条件为：y (0) 0, y (1) 1
解：
方程两边做Z变换得： Z [ y (k 2) 3 y (k 1) 2 y (k )] 0 由线性定理有 Z [ y (k 2)] Z [3 y (k 1)] Z [2 y (k )] 0 由超前定理可得 [ z 2Y ( z ) z 2 y (0) zy (1)] 3[ zY ( z ) zy (0)] 2Y ( z ) 0 代入初始条件得 (z 2 3z 2) Y (z) z z 所以Y ( z ) 2 z 3z 2
14
4.5.4 采样系统的闭环脉冲传递函数
Y * ( z)
R( z ) E( z)
考研数学——差分方程及其应用
附录：差分方程及其应用一、 差分的概念定义1 设函数).(t y y t = 称改变量t t y y -+1为函数t y 的差分, 也称为函数t y 的一阶差分, 记为t y ∆, 即 t t t y y y -=∆+1 或 )()1()(t y t y t y -+=∆.一阶差分的差分称为二阶差分t y 2∆, 即t t t t y y y y ∆-∆=∆∆=∆+12)(.2)()(12112t t t t t t t y y y y y y y +-=---=+++++类似可定义三阶差分, 四阶差分,……),(),(3423t t t t y y y y ∆∆=∆∆∆=∆例1 设322-+=t t y t ，求t y ∆，t y 2∆。
解 32)32(]3)1(2)1[(221+=-+--+++=-=+t t t t t y y y t t t ∆。
tt t t t y y y y y +-==++1222)(∆∆∆232]312)1[(2]3)2(2)2[(222=-++-+++--+++=t t t t t t ）（。
二、差分方程的概念定义2 含有未知函数t y 的差分的方程称为差分方程.差分方程的一般形式：0),,,,,(2=∆∆∆t n t t t y y y y t F或 .0),,,,,(21=+++n t t t t y y y y t G 差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶. 差分方程的不同形式可以互相转化.定义3 满足差分方程的函数称为该差分方程的解.如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数, 则称这个解为该差分方程的通解.我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称为初始条件, 满足初始条件的解称为特解.定义4 若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均为一次的, 则称该差分方程为线性差分方程.线性差分方程的一般形式是)()()()(1111t f y t a y t a y t a y t n t n n t n t =+++++--++其特点是t n t n t y y y ,,,1 +++都是一次的.三、一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式为：)(1t f Py y t t =-+ （1）其中, P 为非零常数, )(t f 为已知函数. 如果,0)(=t f 则方程变为：01=-+t t Py y称为一阶常系数线性齐次差分方程, 相应地，方程（1)称为一阶常系数线性非齐次差分方程.四、一阶常系数线性差分方程的迭代解法一阶常系数线性差分方程的一般形式为：)(1t f ay y t t =++， （2） 其中常数0≠a ，)(t f 为t 的已知函数，当)(t f 不恒为零时，（2）式称为一阶非齐次差分方程；当0)(≡t f 时，差分方程：01=++t t ay y （3） 称为与一阶非次线性差分方程对应的一阶齐次差分方程。