高中物理实用微积分

高中物理实用微积分

问题：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 分析：自由落体的运动公式是2

2

1gt s =

（其中g 是重力加速度）

，当时间增量t ∆很小时，从3秒到（3＋t ∆）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大，因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度。 从3秒到（3＋t ∆）秒这段时间内位移的增量：

222)(9.44.2939.4)3(9.4)3()3(t t t s t s s ∆+∆=⨯-∆+=-∆+=∆

从而t t

s

v

∆+=∆∆=

9.44.29. 从上式可以看出，t ∆越小，

t

s ∆∆越接近29.4米/秒；当t ∆无限趋近于0时，t s ∆∆无限趋近

于29.4米/秒，此时我们说，当t ∆趋向于0时，t

s

∆∆的极限是29.4.

当t ∆趋向于0时，平均速度t

s

∆∆的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速度.

1、极限

极限的严格定义比较繁琐，此处从略。通俗来说，如果当自变量x 无限趋近某一数值

0x （记作0x x →）时，函数)(x f 的值无限趋近某一确定的数值A ，则A 叫做0

x x →时函数

)(x f 的极限值，记作A x f x

x =→)(lim 0

例如：∞=>-x

x 1lim 0；n

n x ∞→lim ，1≥x 时趋于无穷，10<

函数求极限，可把函数化成几部分的初等运算，先求每一部分的极限，然后再对各部分的极限进行初等运算，得到最后的极限。 练习：x x

x 432lim

0++>- x x sin lim 0>- x x cos lim 0>- x x Sin x )(lim 0>- 2

0cos 1lim x x x ->-

2、导数

2.1.某点的导数：

对于函数y=f (x)，在点x 0附近，当x 发生变化△x 时，函数值有变化量△y=△f (x 0)，定义△y /△x 在△x →0时的值称为f (x)在x 0处的导数，记为：

|lim )()(lim

)('0

000

0x

x x x dx

dy

x y x x f x x f x f =→∆→∆=∆∆=∆-∆+=

例：f (x)=x 2

在x=3处的导数

x=3时，f (x)=9，当x=3+△x 时，f (3+△x)=( 3+△x)2

，则△f (x)= (3+△x)2

-9 故

66lim 6lim 3)3(lim )3('0

2

0220=+∆=∆∆+∆=∆-∆+=→∆→∆→∆x x

x

x x x f x x x ）（

2.2.导函数：

函数f (x)在其定义域内每一点的导数构成一个新的函数，这个函数称为f (x)的导函数，记为：dx

dy

x f y =

=')(' 例如我们研究函数f (x)=x 2

在其定义域内的任意一个点x ： 当x 有变化△x 时，△f(x)=(x+△x)2

-x 2

=2x △x+(△x)

2

由导数的定义：x x x x

x x x x x x x x f x x x 22lim )(2lim )(lim )('02

0220=∆+=∆∆+∆=∆-∆+=→∆→∆→∆

即f (x)=x 2

在任意一个点x 处的导数的值为2x,这个新的函数2x 即称为原函数f (x)=x 2

的导函数，记为

x

x f 2)('=

常见函数的导数：(A 为与x 无关的定值)

)

(')()()('))'()(()(')('))'()((sin )'(cos cos )'(sin )'()

())'((0'1

x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x

x x x nx x x f A x Af A n n +=+=+-==='==-思考：?))]'(([?)')

()

((

==x g f x g x f 练习：求导函数： 322x x + ,

x cos 1, x tan , 2sin x , x 2sin , 22sin x , x

x

x sin cos 2+

2.3.导数的意义：

2.3.1斜率：函数f (x)在x 0处的导数即为f (x)的图像在x 0处的切线的斜率 2.3.2变化率：x

y

dx dy x f y x ∆∆==

=

'→∆0

lim )('即y 对x 的变化率。 位移x 的变化率即为速度：dt

dx

v =

速度v 的变化率即为加速度：dt dv a =

动量p=mv 的变化率即为合力：dt dp dt mv d F

==)( 电流：dt

dQ

I =

动能k E 对合力方向上位移x 的变化率即为合力：dx

dE F

k

=

电势ϕ对电场方向距离x 的变化率即为场强：dx d E ϕ

=

例 ：已知简谐运动的函数t A S ωsin =，试分析其速度、加速度函数，并推导出简谐运动的周期公式

2.3.3利用导数判断函数单调性和极值

判断单调性：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0>'y ，那么函数y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内0<'y ，那么函数y=f(x) 为这个区间内的减函数。

确定极大值与极小值：0)(0='x f 是函数

)(x f 在0x 处取极值的必要不充分条件。那么

在0)(0='x f 的前提下，0x 在什么情况下是函数的极值点呢？

如左图（下页）所示，若0x 是)(x f 的极大值点，因此，0x 的左侧附近)(x f 只能是增函数，即0)(>'x f 。0x 的右侧附近)(x f 只能是减函数，即0)(<'x f ，同理，如右图所示，若

0x 是极小值点，则在0x 的左侧附近)(x f 只能是减函数，即0)(<'x f ，在0x 的右侧附近)(x f 只能是增函数，即0)(>'x f ，从而我们得出结论：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的