平面几何习题大全
五年级下册数学《平面几何》练习题大全
五年级下册数学《平面几何》练习题大全
一、选择题
1. 以下哪个选项是平行四边形的一个性质？
A. 两组对边分别相等
B. 四条边都相等
C. 对角线互相平分
D. 有一个角是直角
2. 如果一个四边形的对边平行且相等，那么它一定是？
A. 矩形
B. 菱形
C. 平行四边形
D. 梯形
3. 在三角形中，若一个角的度数是90度，那么这个三角形是？
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等边三角形
二、填空题
1. 矩形是一种特殊的平行四边形，它的特点是_____。
2. 在三角形中，如果一个角的度数大于90度，那么这个角被
称为_____角。
3. 若一个四边形的对边相等且平行，则这个四边形是_____。
三、解答题
1. 画出一个任意三角形，并标出它的三个内角。
2. 已知一个平行四边形的对边相等，证明它是矩形。
3. 若已知三角形ABC中，AB=AC，求证∠BAC=60度。
四、应用题
1. 小明的书桌是一个矩形，已知矩形的长是80cm，宽是40cm，求书桌的面积。
2. 小红有一个平行四边形的框架，已知对边相等，其中一个角是直角，求这个平行四边形的面积。
3. 如图，三角形ABC中，AB=AC，D是BC的中点，求证AD是∠BAC的角平分线。
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史上最全之初中平面几何经典题集锦
初中平面几何经典（史上最全）如图 ，在凸四边形 ABCD 中∠ABC =120° , ∠BCD =90°. 则 AD =______已知如图：正方形 ABCD ，BE ＝BD ，CE 平行于 BD ，BE 交 CD 于 F ，求证：DE ＝DF0ABC AB=AC,A=20,AB D AD BC BDC∠∠在等腰三角形中，在上取一点，使＝，求ABCD00 ABC ABC=46D BC DC=AB DAB=21CAD ∆∠∠∠在中，，是边上一点，，，求ABC ,AB=AC,D BC ,E AD ,BDE CED BAC BD CD ∆∠∠∠在中为边上一点为上一点且满足=2=,求证:=200ABC ,BAC 60,ATB BTC CTA 120M BC TA+TB+TC=2AM∆∠=∠=∠=∠=在中点为的中点,求证:002,ABC ,D AC ,CBD ABD 60BDC 30,AB BC BD ,:DB DC ∆∠-∠=∠===如图中是边上的一个点求证ABC,O ,O AB AC X Y OX OY ≤三角形为重心过作任一条直线、于、，求证:2在直角梯形ABCD 中, ∠ABC =∠BAD =90°, AB =16.对角线AC 与BD 交于点E ,过E 作EF ⊥AB 于点F , O 为边AB 的中点, 且FE+EO =8.求AD +BC的值.已知四边形ABCD 中，AB=DC，E、F 分别为AD 与BC 的中点，连接EF 与BA 的延长线相交于N，与CD 的延长线相交于M，求证：∠BNF=∠CMF0ABC ,CB>CA,BAC 80,D AB CB-CA=BD,I ABC ,IDA _____∆∠=∆∠=在中为上一点,满足为的内心则1,G ABC ,D CB ,BD=BC 2AE DG AC E,?AC ∆=如图为的重心点在延长线上且过的直线交于点则,H O ABC BAC ABC 2,AH ?∆∠∆=如图、分别为的垂心、外心,=45若的外接圆半径为则ABC =90AD BAC BD DC=21∆∠∠∠０已知在中，Ｃ，是 的平分线交ＢＣ于Ｄ，：：，则Ｂ＝？,AB ,C AB D ACDE DB CA BE如图是半圆的直径点平分弧,点平分弧、交于点Ｅ，则＝？0ABC ,CB>CA,ABC 35CB=CA+AI,I ABC ,BAC _____∆∠=∆∠=在中,满足为的内心则AB PC OP BP=2AP=6CP=⊥在圆内的点Ｐ在弦上，点Ｃ在圆上，若，，则？0RT ABC ABC=90D BC E CE AD AE=EF,AC=7,FC=3,cos ACB=?∆∠∠在中，，为线段的中点，在线段ＡＢ上与交于点Ｆ，则ABC BC=12AC=5AI BE D E F DE IF AB G AG=∆如图，直角中，，，角Ａ和角Ｂ的平分线交于点Ｉ，、与边交于点、，为线段的中点，交于点，ABC A BC BC CA AB AB CC =AC BB ∆＇＇＇＇＇’’中，Ｇ为重心，分别为、、的中点，如果Ａ、Ｃ、Ｇ、Ｂ共圆，求证：00ABCDE AB=BC CD=DE BD=2ABC=150CDE=30ABCDE ∠∠如图，五边形满足，，，，，则五边形的面积为＿00493ABC AB=AC BC=cos 25E BEC+ACB=180AED=120DE=ABC D ∆∠=∠∠∠如图，在中，，，为ＢＣ中点，点为三角形内部一点，，＿ABCD O ABC AMN ABCD ∆∆如图，在平行四边形中，为对角线的交点，ＭＮ分别是ＢＯ、ＣＤ的中点，若，求证：为正方形OPQR ABC AOR BOP CRQ OPQR ∆∆∆∆如图，正方形内接于，已知、、的面积分别为１，３，１那么正方形的边长是＿＿E F AB AD BFDE AE+EC=AF+FC AB+BC=AD+DC如图，、分别为线段、上的点，与交于点Ｃ，若，求证：已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．已知：△ABC 中，H 为垂心，O 为外心，且OM ⊥BC 于M ．（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．AFGCEBO D ·ADHEMCBO如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．PCGFBQADEE DA CBFFEP C BA设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：３ ≤L ＜2．PADCBFPDECBAAPC BABC AB=AC AC D BC=BD+AD A ∆∠∠如图：是一个等腰三角形，其中，若Ｂ的角平分线交于，求的度数00AB=CD=1ABC=90CBD=30AC∠∠如图：已知，，，求PA=PB APB 2ACB AC PB D P =4PD=3AD DC ∠∠如图：若，＝，与交于点，且Ｂ，，则＝？ABC DEC AD BE 18S =2cosC=?∆∆如图，，是锐角三角形的两条高，若Ｓ＝，，则。
新平面几何100题1-60
1、设I是△ABC的内心，D是边BC上的一点，E是BC延长线上一点，且满足BDDC =BEEC.设H是D到直线IE的垂足，证明：∠AHE=∠IDE.B2、设O、H分别是△ABC的外心和垂心，点A关于直线OH的对称点是P，点P和点A不在直线BC的同侧，E、F分别在AB和AC上，满足BE=PC，CF=PB，直线AP、OH相交于点K，证明：EK⊥FK.B CP3、设正△ABC的外接圆和内切圆分别是Γ、ω，P为ω上一动点，P1、P2、P3分别为P在BC、CA、AB上的射影，圆ω1、ω2、ω3分别与BC、CA、AB切于P1、P2、P3且与Γ内切（它们的圆心与A、B、C分别在BC、CA、AB的异侧）.证明：圆ω1、ω2、ω3两两外公切线的长度之和是一个定值.A4、设正△ABC内接于⊙O，E、F分别是AC，BC上一点，使得AE=2CE，BF=2CF. P为⊙O上的一点，PD⊥EF于D，交AB于K，作PS⊥BC于S，连接SK并交AO于T.证明：DS=DT.T5、设E、F分别位于△ABC的AC，AB边上，BE、CF交于D，△AEF的外接圆交△ABC的外接圆于点A、P，△AEF的外接圆在A处的切线交△ABC于A、Q两点，设N、M分别为AQ、BC的中点.证明：∠APD=∠MNQ.Q6、已知△ABC的外心为O，A′、B′、C′分别是边BC、CA、AB上的点，且满足A、B′、C′、O共圆，C、A′、B′、O共圆.以B′为圆心，B′C为半径的圆和以C′为圆心，BC′为半径的圆的根轴为l a.类似定义l b、l c.证明：直线l a、l b、l c交出的三角形垂心与△ABC的垂心重合.7、设凸四边形ABCD顶点不共圆，记点A在直线BC、BD、CD上的射影分别为P、Q、R，其中P、Q分别在BC、BD内，R在CD的延长线上.记点D在直线AC、BC、AB上的射影分别为X、Y、Z，其中X、Y分别在线段AC、BC内，Z在BA的延长线上，设△ABD的垂心为H，证明：BH的中点在△PQR外接圆和△XYZ外接圆的根轴上.8、在圆内接四边形ABCD中，AB>BC，AD>DC，I、J分别为△ABC、△ADC的内心.以AC为直径的圆与线段IB交于点X、与JD的延长线交于点Y.证明：若B、I、J、D四点共圆，则点X、Y关于直线AC对称.9、设△ABC的外接圆和内切圆的圆心分别为O、I，点M和点Q分别在边AB和AC上，点N和点P分别在边BC上（N在线段BP上），且满足五边形AMNPQ的五条边长相等.记点S为直线MN和QP的交点，l为∠MSQ的角平分线.证明：l和OI平行.S11、凸四边形ABCD中，P、Q、R、S分别是线段AB、BC、CD、DA上的点.若相交的线段PR、QS把四边形ABCD分为4个四个对角线互相垂直的凸四边形.证明：P、Q、R、S四点共圆.B12、不等腰三角形ABC的外接圆为Ω，内心为I，射线AI与BC交于D，与Ω交于除A以外的另一点M，以DM为直径的圆与Ω交于除M以外的另一点K，直线MK与BC交于点S，设N为IS的中点，L1、L2为△KID的外接圆与△MAN的外接圆的交点.证明：IL1或IL2的中点在Ω上.S113、在非等腰△ABC中，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点.过D作△ABC的内切圆的切线（不同于直线BC），交直线EF于点X.类似定义Y和Z.证明：X、Y、Z三点共线.ZBD14、圆外切四边形ABCD的内切圆⊙I分别切DC、DA于E、F，K为BD上一点，KA、KC分别交⊙I于M、N，MF与NE交于L.证明：L在直线BD上.L15、四边形ABCD内接于⊙O，∠A、∠C的角平分线相交于点I，∠B、∠D的角平分线相交于点J，直线IJ不经过点O，且与边AB、CD的延长线分别交于点P、R，与边BC、DA分别交于点Q、S.线段PR、QS的中点分别为M、N.证明：OM⊥ON.R16、在圆内接四边形ABCD中，M、N分别是线段BC、AD的中点，对角线AC、BD交于点E. P是边BC上的点，满足PBPC =(BDAC)2.设E在PN上的投影是H，证明：△BEC的外接圆与△MPH的外接圆相切.17、圆内接四边形ABCD的对角线相交于P，存在一个圆Γ与AB、BC、AD、DC的延长线切于点X、Y、Z、T.过A、B的圆Ω与圆Γ外切于S.证明：SP⊥ST.18、对于平面上的凸四边形ABCD，设直线l交直线AB于X，交直线CD于X′，交直线BC于Y，交直线DA于Y′，交直线AC于Z，交直线BD于Z′.已知以上六点在l上按照X、Y、Z、X′、Y′、Z′的顺序排列.证明：以XX′、YY′、ZZ′为直径的三个圆共点.19、设O是三角形ABC的外心，D是AB上一点，作与⊙O内切，与线段CD、BD相切的⊙I；作与⊙O内切，与线段CD、AD相切的⊙J.证明：若A、B、I、J四点共圆，则D是三角形ABC中的∠ACB内旁切圆在AB上的切点.20、设⊙O 1与⊙O 2交于P 、Q 两点，过P 作两条割线AB 、CD ，过Q 作两条平行割线A′B′、C′D′，取△PAC 、△PBD 、△QB′D′、△QA′C′的九点圆圆心F 1、F 2、F 3、F 4.证明：四边形F 1F 2F 3F 4是矩形.D'A'C21、设⊙O是四边形ABCD的内切圆. AC、BD交于P，I、J分别是△ABC、△ADC的内心，OP，IJ交于K，T是K在BD上的射影.证明：I、J、P、T四点共圆.B22、设O、I B、I C分别是锐角三角形ABC的外接圆圆心，∠B内的旁切圆圆心和∠C内的旁切圆圆心.在AC边上取点E和Y，使得∠ABY=∠CBY，BE⊥AC，在AB边上取点F和Z，使得∠ACZ=∠BCZ，CF⊥AB，直线I B F和I C E交于点P.证明：PO⊥YZ.I B I C23、四边形ABCD内接于⊙O，AC、BD交于点P，直线AB、CD交于点Q. K是P在QO上的射影，KP、BC交于X，M是BC的中点，P′是P关于BC的对称点，K′是K关于M的对称点. P′K′分别交BC于Y，交KP于Z.证明：△XYZ的外接圆与△QBC的外接圆相切.D24、对边不平行的凸四边形ABCD中，BA延长线与CD延长线交于点E，AD延长线与BC延长线交于点F，K是△CDF的外接圆与△ADE的外接圆的交点(K≠D).设∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠ADC的外角平分线分别为l A、l B、l C、l D，l A和l B、l B和l C、l C和l D、l D和l A分别交于点G、H、I、J.△CDF的外接圆中，弧DF（不含C）的中点为Q，直线EH与△AED的外接圆交于另一点M.设GJ中垂线与IH中垂线（不重合）交于点P.证明：P、M、Q、K四点共圆.25、设D是△ABC外接圆⊙O上任意一点，过D作⊙O的切线l.证明：l关于△ABC三边对称的直线围成的三角形的外接圆与⊙O相切.26、设O为△ABC内一点，O在BC、CA、AB上的射影分别为U、V、W.X、Y、Z分别在BC、CA、AB上，X′、Y′、Z′分别是X关于U、Y关于V，Z关于W的对称点，点X、Y、Z关于△ABC的密克点为S，点X′、Y′、Z′关于△ABC的密克点为T.证明：OS=OT.B CX'U27、点D、E、F分别在△ABC的边AB、BC、CA上，满足AD+AF=BC、BD+BE=AC、CE+CF=AB. △ADF、△BDE、△CEF的外接圆与△ABC外接圆的另一个交点分别为A1、B1、C1，P是D、E、F关于△ABC的密克点，证明：P为△A1B1C1的垂心.128、设AA′、BB′、CC′是锐角△ABC的外接圆的三条直径，P为△ABC内任意一点，点P在BC、CA、AB上的射影分别是D、E、F，X、Y、Z分别是A′关于D、B′关于E，C′关于F的对称点.证明：△XYZ∽△ABC.29、设H是锐角△ABC的外接圆的垂心，P是外接圆弧BC上一点，连接PH交弧AC于M，弧AB上一点K满足直线KM平行于点P关于△ABC的西姆松线，设Q为外接圆上一点满足30、设△ABC的内切圆⊙I分别切BC、CA、AB于点D、E、F，延长EI交DF于G，BE、CF交⊙I于另外的点X、Y.设J为△AEF外接圆的另一个交点，△XJI外接圆与⊙I的另一个交点为S，T在⊙I上满足TS⊥AI，连接YT、XS交于P，直线DP与⊙I的另一个交点为Q.证明：KQ是⊙I的直径.C31、在△ABC中，内切圆⊙I分别切BC、CA、AB于点D、E、F，M、N分别是AB、AC的中点，EF、MN交于S，DS与⊙I的另一个交点为J.证明：J在△ABC的九点圆上.B C32、过△ABC内心I任作一直线l，内切圆分别切BC、CA、AB于点X、Y、Z，边BC、CA、AB的中点分别为D、E、F，直线l分别交△BIC外接圆、△CIA外接圆、△AIB外接圆于另一点D′、E′、F′，过点X、Y、Z分别作平行于DD′、EE′、FF′的直线l1、l2、l3.证明：直线l1、l2、l3交于一点.33、已知△ABC的外接圆为⊙O，A′为点A在⊙O上的对径点.作等边△BCD，使得A、D位的于BC的异侧，过点A′作A′D的垂线，分别与AC、AB交于E、F两点.以EF为底，作底角为π6等腰△ETF，并使得A、T位于BC的异侧.证明：AT经过△ABC的九点圆圆心.ED34、设△ABC的内切圆⊙I与边BC、CA、AB分别切于点D、E、F，记⊙I B、⊙I C分别为△ABC的顶点B、C所对的旁切圆，P、Q分别为I B E，I C F的中点，若DE、DF与I B I C交于点K、J，EJ 与FK交于点M，PE与△PAC的外接圆交于另一点X，QF与△QAB的外接圆交于另一点Y.证明：BY、CX、AM三线共点.35、已知凸四边形ABCD内两动点P、Q满足∠APB=∠AQB=∠CPD=∠CQD.证明：动直线PQ要么均经过一个定点，要么相互平行.36、在凸四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC<π，∠ABC、∠ADC的平分线交于点P，并分2别与AC交于点E、F，M为AC的中点，BM、DM与△BDP的外接圆分别交于另一点X、Y，EX与PY交于点Q.证明：AC⊥PQ.B37、凸六边形A1A2A3A4A5A6满足A1A2=A3A4=A5A6，A2A3=A4A5=A6A1，点X、Y在38、已知凸四边形ABCD内接于⊙O，⊙I切AC、BD及⊙O，E为弧BC的中点，AE与BD相交于点M，DE与AC相交于点N.证明：△EMN外接圆与⊙I相切.39、锐角△ABC 中BC >AC >AB ，I 、O 、H 分别为其内心、外心、垂心，D 、E 分别在BC 、AC 上使AE =BD ，CD +CE =AB .记K 为BE 与AD 交点，证明：KH =2IO .ABC40、在锐角△ABC中，AB>AC，设Γ为其外接圆，H为垂心，F为由顶点A处所引高的垂足，M为边BC的中点.Q、K为圆Γ上的点，使得∠HQA=∠HKQ=π.若点A、B、C、K、Q互2不相同，且按此顺序排列在Γ上，证明：△KQH的外接圆与△FKM的外接圆相切.41、设△ABC内接于⊙O，过A作⊙O的切线交BC于T，G为△ABC的重心，直线TG分别交AB、AC于E、F，AG交⊙O于K，证明：AK平分∠EKF.K42、在凸四边形ABCD中，AB≠BC，ω1和ω2分别是△ABC和△ADC的内切圆.已知存在一个圆ω与射线BA相切（切点不在线段BA上），与射线BC相切（切点不在线段BC上），且与直线AD和直线CD都相切.证明：圆ω1和ω2的两条外公切线的交点在圆ω上.43、P为△ABC内一点，L、M、N分别为边BC、CA、AB的中点，且PL∶PM∶PN=BC∶CA∶AB.延长AP、BP、CP分别交△ABC的外接圆于点D、E、F.证明：△APF、△APE、△BPF、△BPD、△CPD、△CPE的外接圆圆心六点共圆.B44、给定△ABC，求线段BC上满足下列条件的所有点P：如果X、Y是直线PA与△PAB、△PAC外接圆的两条外公切线的交点，则(PAXY )2+PB∙PCAB∙AC=1.45、在凸四边形ABCD中，∠ABC=∠CDA=π2，H是A在BD上的射影，边AB上的S和边AD上的T使H在△SCT内部，∠CHS−∠CSB=π2，∠THC−∠DTC=π2，证明：直线BD和△TSH的外接圆相切.CD46、在△ABC中，⊙O、⊙I分别为其外接圆与内切圆，⊙I与BC切于点D，M为ID中点，A0与A 关于点O对称，直线A0M交⊙O于异于点A0的一点X，证明：△ADX的外接圆与直线BC相切.47、已知P 是凸四边形ABCD 的边AB 上的一点，ω是△CPD 的内切圆，I 为其圆心，若ω分别与△APD 以及△CPB 的内切圆切于点K 和L ，AC 与BD 交于点E ，AK 、BL 交于点F .证明：E 、I 、F 共线.BAD48、在锐角△ABC中，ω、Ω、R分别表示其内切圆、外接圆及外接圆的半径.圆ωA与Ω内切于点A且与ω外切；圆ΩA与Ω内切于点A且与ω内切.设P A和Q A分别是ωA和ΩA的圆心.同样定义P B和Q B、P C和Q C.证明：8P A Q A∙P B Q B∙P C Q C≤R349、已知△ABC的垂心为H，外心为O，设A、B、C关于BC、CA、AB的对称点分别为D、E、F.证明：D、E、F共线当且仅当OH=2R，其中R为△ABC外接圆半径.FCO50、设∠XAY是一个固定的角，B、C分别是射线AX、AY上的动点，∠XAY内有一动点P满足PA、PB、PC的长度都保持不变.求△ABC面积的最小值.。
高三数学平面几何练习题及答案
高三数学平面几何练习题及答案一、选择题1. 已知直线l与x轴的交点为A(2, 0)，与y轴的交点为B(0, -3)。
则直线l的斜率是：A. 3B. -3C. 1/3D. -1/3答案: B. -32. 已知平面上两点P(2, 4)、Q(5, 7)，则向量PQ的坐标表示为：A. (3, 3)B. (2, 3)C. (5, 7)D. (7, 11)答案: A. (3, 3)3. 已知点A(-3, 4)、B(1, -2)，则直线AB的斜率为：A. 2B. -2C. 3/2D. -3/2答案: D. -3/24. 在直角坐标系中，点P(3, 4)关于y轴的对称点为：A. (3, -4)B. (-3, 4)C. (4, 3)D. (-4, 3)答案: B. (-3, 4)5. 直线y = 2x + 3与直线y = -x + 1的交点坐标为：A. (1, 2)B. (2, 1)C. (-1, 2)D. (2, -1)答案: C. (-1, 2)二、填空题1. 已知向量AB = (-3, 2)，向量BC = (-1, 4)，则向量AC = ______。
答案: (-4, 6)2. 已知点A(2, 3)、B(5, 7)，则直线AB的斜率为______。
答案: 4/33. 已知线段的中点坐标为M(3, -2)，其中一端点为N(5, 1)，则另一端点坐标为______。
答案: (1, -5)4. 平面上一点P(x, y)，与坐标轴的距离之和为7，且x > 0，y > 0。
则点P可能的坐标是______。
答案: (4, 3)5. 直线y = 3x + 2与y轴交点的坐标为(0, b)，则b = ______。
答案: 2三、解答题1. 已知四边形ABCD，其中AB为水平线段，CD为垂直线段。
已知AB的中点坐标为M(2, 3)，CD的中点坐标为N(5, 4)。
求四边形ABCD的中心点坐标。
解答:四边形的中心点坐标为两个中点的坐标的平均值。
平面几何100题及答案(前80题)
第一题、如图，F为。
0外一点，PA、PB分别切6于A、B, PCD为ST割线，CO 交CX）于另一点E, AC、EB交于点F,证明：CD平分匕ADF。
"证明方法一：如图，延长ED交CA于K,根据条件知四边形CADB为调和四边形，故ED、EC、EA、EB构成一组调和线束，进而知K、C、A、F构成一组调和点列。
而KD±CD, 故CD平分ZADFo 3证明方法二：如鼠连結OA、OE、AB、BC,因为ZAFB = ZACE-ZBEC =ZAOE-ZBOC ISCT-NAOC-NBOC 半，且PA = PB,故点P为TkABF的外心。
于是知ZPFA= ZPAC = ZPDA,所以P、A、D、F 四点共圆。
又PA= PF,故CD 平分Z A DF。
3第二题、如图，AB为©0直径，C、D为O。
上两点，且在AB同侧，。
在C、D两处的切城交于点E, BC、AD交于点F, EF交AB于证明：E、C、页、D四点共圆。
“证明：如图，延长白C、BD交于点K,则BC1AK, AD丄BK,从而知F^)AKAB的垂心。
又在圆内接六边形CCADDB中使用帕斯卡定理，知K、E、F三点共线，从而KM丄卽于価。
于是知匕CMF = ZCAF= ZCDE,所以E、C、页、D四点共圆。
K第三题、如图，AB为。
直径，C、D为伽上两点'且在AB同侧，O0在C. D两处的切线交于点E, BC、AD交于点F, EB交0。
于点G,证明；ZCEF = 2/AGF。
“证明：如图，根据条件知匕CF D =典牌=(脸-®；(i对-命)=Z CAB + / DBA = ZECF + ZEDF；且EC = ED；故点E 为△CED 外心。
于是知/EFC = ZECF = ZCAB = ZCGE,敌E、C、F、G四点共圆。
所以“ZCGF = ZCEF = 2(90° - ZECF)= 2(90° - ZCAB)= 2ZABC 二2ZAGC " 0lWZAGF = —=—,即得ZCEF = 2ZAGFo，2 2第四題、如图，AB为直径，P为AB延长线上一点，PC切于C,点C关于朋的对称点为点D, CE1AD于E, F为CE中点，AF交于K,求证：AP为ZXPCK外扬圆的切线。
平面几何练习题
平面几何练习题题一：求三角形边长和周长已知一个三角形的两边长分别为a和b，夹角为C°，求第三边c的长度和三角形的周长P。
解：根据余弦定理可知，余弦公式为：c² = a² + b² - 2ab·cos(C)。
根据上述公式，可以计算得到c的长度。
根据三角形的定义可知，三角形的周长P等于三边之和，即P = a + b + c。
题二：求三角形的面积已知一个三角形的底边长为b，高为h，求三角形的面积S。
解：根据三角形的面积公式可知，S = 0.5 * b * h。
题三：判断点是否在三角形内部已知一个三角形的三个顶点坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），以及一个待判断的点D（x，y），判断点D是否在三角形ABC的内部。
解：利用行列式的性质可以判断点D是否在三角形ABC内部。
设点D的坐标为(x,y)，则点D在三角形ABC内部的条件为：|(x₁ - x) (y₁ - y) 1||(x₂ - x) (y₂ - y) 1| > 0|(x₃ - x) (y₃ - y) 1|如果等式左侧的行列式结果大于0，则点D在三角形ABC内部；如果等式左侧的行列式结果小于0，则点D在三角形ABC的外部；如果等式左侧的行列式结果等于0，则点D在三角形ABC所在的边界上。
题四：求矩形的面积和周长已知一个矩形的长为L，宽为W，求矩形的面积S和周长P。
解：矩形的面积公式为S = L * W，周长公式为P = 2 * (L + W)。
题五：求圆的面积和周长已知一个圆的半径为r，求圆的面积S和周长C（circumference）。
解：圆的面积公式为S = π * r²，其中π取近似值3.14159；圆的周长公式为C = 2 * π * r。
题六：判断点是否在圆内部已知一个圆的圆心坐标为O（x₀，y₀），半径为r，以及一个待判断的点P（x,y），判断点P是否在圆O内部或者在圆的边界上。
平面几何习题及答案
平面几何习题及答案
平面几何是数学中的重要部分，通过题的练可以加深对基本概念和定理的理解。
本文提供一些常见的平面几何题及其答案，供研究和练使用。
1. 题1
已知三角形ABC的三边长度分别为a、b和c，求三角形的面积S。
解答：
首先，可以使用海伦公式计算半周长p：
p = (a + b + c) / 2
然后，使用海伦公式计算三角形的面积S：
S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))
其中，sqrt表示平方根。
2. 题2
已知三角形ABC的底边AB是一条固定的线段，顶角C的位置可以变化，求三角形的最大面积。
解答：
根据三角形面积公式S = 1/2 * base * height，当底边AB固定时，三角形的最大面积出现在高度最大的位置。
在这种情况下，高度等于底边长度的一半。
因此，三角形的最大面积为：S = 1/2 * AB * (AB/2) = AB^2 / 4
3. 题3
已知平行四边形ABCD的两条对角线交于点O，求平行四边形的面积S。
解答：
由于对角线互相平分，所以可以将平行四边形分为两个相等的三角形。
假设对角线AB和CD的交点为O，那么平行四边形的面积等于两个三角形的面积之和。
设对角线AB和CD的长度分别为d1和d2，那么平行四边形的面积为：
S = 2 * (1/2 * d1 * d2) = d1 * d2
通过以上题的练，可以提高对平面几何的理解和应用能力。
希望本文对研究者有所帮助。
参考资料
- 平面几何概念和定理的教材或课堂讲义。
初中数学-平面几何练习题
初中数学-平面几何练习题
以下是一些初中数学平面几何的练题，供同学们进行练和巩固知识。
1.### 题目：计算三角形面积
已知三角形ABC的底边AC的长度为12cm，高BD的长度为8cm。
请计算三角形ABC的面积。
2.### 题目：判断平行线
已知直线AB // 直线CD，直线EF // 直线CD。
请判断直线AB 是否和直线EF平行。
3.### 题目：求直角三角形斜边长度
已知直角三角形ABC中，直角边AB的长度为8cm，直角边AC的长度为6cm。
请计算斜边BC的长度。
4.### 题目：计算矩形周长和面积
已知矩形ABCD的长为10cm，宽为6cm。
请计算矩形ABCD
的周长和面积。
5.### 题目：判断正方形
已知四边形ABCD是一个正方形，且边长为3cm。
请判断四边形EFGH是否为正方形。
6.### 题目：计算梯形面积
已知梯形ABCD的底边AB长度为8cm，顶边CD长度为6cm，高EF长度为4cm。
请计算梯形ABCD的面积。
以上是初中数学平面几何的一些练习题，希望能帮助同学们巩
固知识，提高解题能力。
平面几何练习题及解答
平面几何练习题及解答一、直线与角度1. 给定一条直线L1和两条直线L2和L3，若L1与L2垂直，L2与L3平行，则L1与L3之间的夹角为多少度？解答：由于L1与L2垂直，可得出L2的斜率为无穷大，即L2为竖直线。
而L2与L3平行，说明它们具有相同的斜率。
因此，L3的斜率也为无穷大，即L3也是竖直线。
由此可知，L1与L3之间的夹角为90度。
2. 给定一条直线L和两点A、B，若L与AB的垂线相交于点M，且角AMB为40度，则角LMA的度数是多少？解答：由垂线的性质可得出，角LMA与角AMB互补，它们的度数和为90度。
已知角AMB为40度，因此角LMA的度数为90度减去40度，即50度。
二、三角形3. 已知三角形ABC，其中∠B = 90度，AB = 3 cm，BC = 4 cm，求AC的长度。
解答：根据勾股定理可得：AC² = AB² + BC²AC² = 3² + 4²AC² = 9 + 16AC² = 25AC = √25AC = 5 cm4. 已知三角形ABC，其中AB = 6 cm，BC = 8 cm，AC = 10 cm，求∠B的度数。
解答：根据余弦定理可得：BC² = AB² + AC² - 2 * AB * AC * cosB8² = 6² + 10² - 2 * 6 * 10 * cosB64 = 36 + 100 - 120 * cosB64 = 136 - 120 * cosB120 * cosB = 136 - 64120 * cosB = 72cosB = 72 / 120cosB = 0.6根据反余弦函数可得：∠B = arccos(0.6)∠B ≈ 53.13度三、圆的性质5. 在平面直角坐标系中，给定圆心为O(2, 3)，半径为5的圆C，点P(6, 7)是否在圆C上？解答：利用距离公式可计算OP的距离：OP = √((6-2)² + (7-3)²)OP = √((4)² + (4)²)OP = √(16 + 16)OP = √32OP ≈ 5.66由于OP的长度不等于圆C的半径，即5.66不等于5，因此点P不在圆C上。
2024年数学九年级上册平面几何基础练习题(含答案)
2024年数学九年级上册平面几何基础练习题（含答案）试题部分一、选择题：1. 在平面几何中，下列哪个图形既是轴对称图形又是中心对称图形？（）A. 矩形B. 等腰三角形C. 梯形D. 正五边形2. 下列各角中，哪个角是补角？（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°3. 在直角坐标系中，点A(2, 3)关于原点对称的点是（）A. (2, 3)B. (2, 3)C. (2, 3)D. (2, 3)4. 下列哪个条件能判定两个三角形全等？（）A. 两边和其中一边的对角相等B. 两角和其中一边相等C. 两边和它们的夹角相等D. 两边和其中一边的对角相等5. 若平行线l1和l2之间的距离为5cm，直线l3与l1、l2均相交，且l3与l1、l2的夹角均为45°，则l3与l1、l2之间的距离为（）A. 5cmB. 5√2 cmC. 2.5cmD. 2.5√2 cm6. 下列哪个图形是正多边形？（）A. 边长为1，内角为108°的多边形B. 边长为1，内角为120°的多边形C. 边长为1，内角为135°的多边形D. 边长为1，内角为140°的多边形7. 在直角三角形中，若一个锐角的度数为30°，则另一个锐角的度数为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°8. 下列哪个比例式成立？（）A. a² : b² = (a+b)² : (ab)²B. a² : b² = (a+b) : (ab)C. a : b = (a+b)² : (ab)²D. a : b = (a+b) : (ab)9. 若等腰三角形的底边长为8cm，腰长为5cm，则该三角形的面积为（）A. 20cm²B. 40cm²C. 30cm²D. 24cm²10. 在平面几何中，下列哪个说法是正确的？（）A. 对角线互相垂直的四边形一定是矩形B. 对角线互相平分的四边形一定是平行四边形C. 对角线相等的四边形一定是矩形D. 对角线互相垂直平分的四边形一定是菱形二、判断题：1. 平行线的性质是：同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
小学数学平面几何练习题
小学数学平面几何练习题一、选择题1. 根据图形，判断下面哪个说法不正确？A. 正方形的边长小于矩形的边长B. 三角形的内角和是180度C. 长方形的对角线相等D. 平行四边形的对角线相互垂直2. 如果一个角是锐角，那么这个角的度数一定是：A. 90度B. 180度C. 小于90度D. 大于90度3. 矩形ABCD中，角B的度数是70度，求角A的度数是：A. 20度B. 70度C. 90度D. 110度二、填空题1. 平行四边形的对角线相互________。
2. 四边形的内角和是________。
3. 一般情况下，两个直线相交于一点，这个点叫做________。
4. 一个角的度数是70度，它的补角度数是________。
5. 垂直线段的夹角是________度。
三、解答题1. 现有一个平行四边形ABCD，已知AB的长度为6cm，BC的长度为8cm，求此平行四边形的周长。
2. 过点E分别作直线AB、BC的平行线，且使其交于点F，在此平行四边形中，连结点F与点D，并求出线段FD的长度。
3. 在△ABC中，已知∠ABC=60度，边AC的长度为5cm，边BC的长度为8cm，求边AB的长度。
4. 甲、乙两位同学分别画了两个四边形，甲的四边形ABCD是矩形，乙的四边形EFGH是平行四边形，并且E与D重合，FG和BC平行。
他们想比较一下这两个四边形的特点，请你帮忙判断并简要说明。
四、应用题某森林公园的大门前有一块长方形的草地，长方形的两条边分别是15米和10米。
公园管理人员希望在草地的四周围上一圈铁栅栏，栅栏需围成一个完整的正方形。
请你帮忙计算：1. 需要多长的铁栅栏？2. 完整的正方形的面积是多少平方米？以上是一份小学数学的练习题或试卷，内容充实且符合试卷的格式要求。
希望对学生们的学习有所帮助！。
平面几何 小学数学 练习题
一、选择题1. 将长方形 ABCD 对角线平均分成 12 段，连接成右图，长方形 ABCD 内部空白部分面积总和是 10 平方厘米，那么阴影部分面积总和是（）平方厘米．A．14 B．16 C．18 D．202. 由七巧板拼成的图形是（）。
A．B．C．3. 下边图形中阴影部分占整个图形的( )。
A．B．C．4. 下面三幅图中，正方形一样大，则三个阴影部分的面积（）A．一样大B．第一幅图最大C．第二幅图最大D．第三幅图最大5. 用一副七巧板拼成下图，图中有（）个四边形。
A．2 B．3 C．4二、填空题6. 如图，有一张长方形纸片ABCD，AB＝10cm，AD＝6cm，将纸片折叠，使AD 边落在AB边上，折痕为AE，再将三角形AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC 交于点F，则三角形CEF的面积为( )。
7. 已知图12中长方形的长为21厘米，那么阴影部分的面积是______．8. 有四个同样的直角三角形，每个直角三角形的两条直角边的长都是大于1的整厘米数，面积为10平方厘米，用这四个直角三角形不重叠放置围成含有两个正方形图案的图形．在可以围成的所有正方形图案中，最小的正方形的面积是平方厘米，最大的正方形的面积是平方厘米．9. 如图，三角形的面积是，是的中点，点在上，且，与交于点．则四边形的面积等于______．10. 如图，边长为12cm的正方形与直径为16cm的圆部分重叠（圆心是正方形的一个顶点），用S1，S2分别表示两块空白部分的面积，则S1—S2=________cm2（圆周率取3）．三、解答题11. 两张长15厘米，宽5厘米的长方形纸，摆放成如下形状，将它们放在桌面上，请问：覆盖桌子的面积是多少平方厘米？12. 如图，平行四边形，，，，，平行四边形的面积是，求平行四边形与四边形的面积比．13. 右图中有一个边长为 6 厘米的正方形 ABCD 与一个斜边长为 8 厘米的等腰直角三角形 AEF, E 在 AB 的延长线上, 则图中阴影部分的面积为多少平方厘米?14. 如图，，，，，．求．。
初中数学-平面几何练习题
平面几何练习一一、填空:1.在同一平面内不相交的两条直线叫().2.12个正方形可以摆成()种不同形式的长方形.3.在等腰三角形中,如果顶角为124°,底角各是(),这个三角形是()角三角形.4.把两个边长都是2厘米的正方形拼成一个长方形,这个长方形的周长是(),面积是().5.一个平行四边形,底是24厘米,高2分米,面积是().6.一个等边三角形,周长是12.6厘米,它的边长是()厘米.7.周长是28厘米的长方形,长是10厘米,面积是().8.一个梯形的面积是10平方分米,高是4分米,上底是2.2分米,下底是()分米.9.一个圆,周长是6.28分米,它的面积是().二、判断:1.小明画了一条25厘米长的直线.2.等边三角形和等腰三角形都是锐角三角形.3.两个面积相等的三角形一定可以拼成一个平行四边形.4.平行四边形和长方形的周长相等,它们的面积也相等.5.半径是2厘米的圆,它的周长和面积相等.6.半圆的周长是和它等半径的圆周长的一半.7.平行四边形不是对称图形,没有对称轴.8.一个四边形,四个角相等,四条边也相等,这个四边形是正方形.9.钝角三角形只有一组底和高.10.一个三角形中,不可能有两个钝角.三、选择:1.从一点引出两条()就组成一个角.A直线B线段C射线2.一个四边形只有一组对边平行,这个四边形是().A平行四边形B任意四边形C梯形3.把长方形拉成一个四条边长度保持不变的平行四边形后,它的面积().A比原来大B比原来小C与原来相等4.下列图形中,()的对称轴有无数条.A正方形B等边三角形C圆5.用两根同样长的铁丝,分别围成一个正方形和一个圆.正方形的面积和圆的面积相比较,().A正方形的面积大B同样大C圆的面积大四、操作题:1.过一条直线外一点,画出这条直线的垂线和平行线.2.分别画出下列三角形的三条高.3、计算下面图形的周长和面积:(单位:厘米)五、应用题:1.一个运动场(如图),两头是半圆形,中间是长方形,这个运动场的周长是多少米?面积是多少平方米?2.一个长方形养鸡场,一条长边利用原有墙,其余三面是竹篱笆,已知篱笆共长24米,宽是长的21,鸡场的面积是多少平方米?3.抗日战争时期王庄民兵自制一种土雷,爆炸时,有效杀伤距离是15米,它的有效杀伤面积是多少平方米?4.张村有一块边长是56米的正方形苹果园,苹果树的株距是4米,行距7米,这块地共有苹果树多少棵?如果每棵平均可以收苹果165千克,这个果园一年共收苹果多少千克?5.一块长1米20厘米,宽90厘米的铝皮,剪成直径是30厘米的铝锅底,最多可以剪几块?。
平面几何100题 70页
61.设ω是△ABC的外接圆，ΓA是与线段AB、AC相切且与ω内切的圆，ΓB是与线段BA、BC相切且与ω内切的圆，ΓC是与线段CA、CB相切且与ω内切的圆．设过B、C且与ΓA 相切的圆（不同于ω）切ΓA于X，过C、A且与ΓB相切的圆（不同于ω）切ΓB于Y，过A、B且与ΓC相切的圆（不同于ω）切ΓC于Z．证明：AX、BY、CZ三线共点．62.设⊙I是△ABC的内切圆，⊙u、⊙v、⊙w分别是过点B和点C且与⊙I相切的圆、过点A和点C且与⊙I相切的圆、过点B和点A且与⊙I相切的圆．设P、Q、R、S、T、U分别是⊙w与BC、⊙v与BC、⊙v与AB、⊙u与AB、⊙u与CA、⊙w与AC的交点（均不同于A、B、C）．I1、I2分别是△ARQ、△BST的内心，类似定义I3、I4、I5、I6．I A是△AST∠SAT内的旁心，类似定义I B、I C．求证∶△I A I2I3、△I B I6I1、△I C I4I5的欧拉线共点．63.以凸四边形ABCD为边长向外作正方形AE1E2B、BF1F2C、CG1G2D、DH1H2A．连接AF1、BG1、CH1、DE1交出四边形A'B'C'D'，连接DF2、AG2、BH2、CE2交出四边形A''B''C''D''．证明∶A'A''、B'B''、C'C''、D'D''交出的四边形是正方形．64.圆内接四边形ABCD中，直线AC、BD交于E，直线AB、CD交于F，直线BC、DA交于G．设△ABE的外接圆与直线CB交于B、P两点，△ADE的外接圆与直线CD交于D、Q两点．设直线FP、GQ交于点M，证明∶AM⊥AC．65.设⊙X、⊙Y、⊙Z分别为△ABC∠BAC、∠ABC、∠BCA内的旁切圆，D、E、F、G、H、I分别是⊙Z与AC、⊙Z与BC、⊙X与AB、⊙X与AC、⊙Y与BC、⊙Y与AB的切点．FD、GI交于J，IE、HF交于K，EG、DH交于L，设M、N、O、P、Q、R分别是KL、LJ、JK、BC、CA、AB的中点．证明∶直线MP、NQ、OR三线共点．66.已知凸六边形ABCDEF既有外接圆又有内切圆，记△ABC、△BCD、△CDE、△DEF、△EFA、△FAB的内切圆分别为ωb、ωc、ωd、ωe、ωf、ωa.l AB表示ωb、ωa的另一条外公切线（不为AB），类似定义l BC、l CD、l DE、l EF、l FA.设l FA与l AB的交点为A1，类似定义B1、C1、D1、E1、F1．若六边形A1B1C1D1E1F1为凸六边形，证明：该六边形的对角线共点．67.已知圆弧Γ1、Γ2、Γ3均过点A、C，且在直线AC同侧，Γ2在Γ1与Γ3之间，B是线段AC上一点，由B引三条射线h1、h2、h3，与Γ1、Γ2、Γ3在直线AC的同侧，且h2在h1与 h3之间．设h i与Γj（i,j=1,2,3）的交点为V ij.由线段V ij V il、V kj V kl及弧V ij V kj、弧V il V kl构成的曲边四边形记为V ij V kj V kl V il,若存在一个圆与其两条线段和两条弧均相切，则称这个圆为这个曲边四边形的内切圆．证明：若曲边四边形VV21V22V12、V12V22V23V13、V21V31V32V2211均有内切圆，则曲边四边形VV32V33V23也有内切圆．2268.设△ABC的内心为I，⊙I分别切边BC，CA，AB于点D、E、F，设AI与DE、DF交于点M、N，以MN为直径的圆交BC于P、Q．已知△APQ的外接圆与⊙I切于R，△ABC 的外接圆与九点圆切于Fe,设RFe与DE、DF分别交于点M'、N'．以M'N'为直径的圆交BC 于点P'、Q'．证明：△AP'Q'的外接圆与⊙I的根轴平分线段BC．69.设I是△ABC的内心，∠BAC、∠ABC、∠BCA的内角平分线分别交对边于点D、E、F．记H是△DEF垂心．证明：IH与△ABC的欧拉线平行．70.设⊙O、⊙P、⊙Q分别是△ABC∠BAC、∠CBA、∠ACB内的旁切圆，G、H、I、J、K、L分别是⊙P与AB、⊙Q与AC、⊙Q与BC、⊙O与AB、⊙O与AC、⊙P与BC的切点．证明∶△JKD、△LGE、△HIF、△ABC的欧拉线共点．71.△ABC中，O为外心，K为△ABC九点圆圆心关于△ABC的等角共轭点.K在BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F，H是△DEF垂心.证明：O、K、H共线.72.已知H、I分别为△ABC垂心、内心，D、E、F分别在射线AH、BH、CH上，且AD=BE=CF=2r, 这里r是△ABC的内切圆半径.证明：I也为△DEF内心.73.已知B、I1、I2、C是⊙M上顺次四点，BI1与CI2交于A，△I1I2M的外接圆与AB、AC再次交于M1、M2，点O'满足M1O'∥CI1，M2O'∥BI2．X、Y为△ABC的一组等角共轭点，D、E分别在AB、AC上使得XD∥CI1、XE∥BI2，N为△BMC外接圆弧BC（不含M）的中点，XN与△BMC外接圆的另一个交点为F．证明：X、Y、O'共线当且仅当△DEF外接圆与△I1I2M的外接圆相切．74.设△ABC∠BAC内的旁切圆切AB、AC于G、F，∠ABC内的旁切圆⊙P切AB、AC于E、N，∠ACB内的旁切圆⊙Q切AB、AC于M、D．直线DE、MN分别交⊙Q于H、J，交⊙P 于I、K．HC、BI交于X，JF、KG交于Y，证明∶∠BAX＝∠CAY．75.△ABC的内切圆⊙I切BC于D，连接AD交⊙I于J，K在JD上且DK=AJ，若BJ⊥CJ，证明：I、K关于△JBC等角共轭.76.O为△ABC外心，BC、CA上的旁切圆切点分别是X、Y，AX、BY交于点N.圆Γ1切BA、 CA延长线于E、D使得AD=AE=BC，类似地定义Γ2、Γ3.⊙U为与Γ1、Γ2、Γ3均外切的圆，证明:N、O、U共线.77.△ABC内切圆⊙I切BC于D，∠ACB内的旁切圆⊙P分别切BC、AB、CA于E、F、G，∠ABC内的旁切圆⊙Q分别切BC、CA、AB于H、J、K，CF与⊙P交于F、M两点，BJ与⊙Q交于J、N两点.证明:MJ、NF、AD共点.78.P为圆外切四边形ABCD内任意一点，AP、DP分别交BC于N、M.证明:△APD、△MPN、△ABN、△CDM四个三角形的内心共圆.79.设⊙I是△ABC的内切圆，△BCD外接圆⊙O1、△CAE外接圆⊙O2、△ABF外接圆⊙O3分别与⊙I内切于点D、E、F．GH与ST、JK与NP、LM与QR分别是⊙O2与⊙O3、⊙O1与⊙O2、⊙O3与⊙O1的外公切线（L、N、R、K在⊙O1上，P、H、J、S在⊙O2上，G、Q、T、M在⊙O3上，GH、TS与A分别在BC的同侧、异侧，LM、RQ与B分别在AC的同侧、异侧，JK、YM与C分别在AB的同侧、异侧）．设△GHF、△JKE、△LMD外接圆分别为ω1、ω2、ω3，X、Y、Z分别是ω2与ω3、ω1与ω3、ω1与ω2的交点且X、A在BC异侧，Y、 C 在BA异侧，Z、B在AC异侧．证明∶S△KSX•S△MNY•S△HQZ＝S△LTX•S△GPY•S．△RJZ80.圆外切四边形ABCD中两点P、Q满足∠DPA+∠BPC=∠DQA+∠BQC,I1、I2、I3、I4、I11、I22、I33、I44分别是△PAB、△PBC、△PCD、△PDA、△QAB、△QBC、△QCD、△QDA 的内心.证明:I1、I2、I3、I4共圆当且仅当I11、I22、I33、I44共圆.81.△ABC的内切圆分别切AC、AB于E、F.P、Q分别为边AC、AB上的旁切圆切点.点M 为BC中点，PQ、EF交于R.设△ABC九点圆与内切圆切于K，证明:M、R、K共线.82.凸四边形ABCD中，△ABC、△BCD、△CDA、△DAB的内心分别为I D、I A、I B、I C，∠BAC与∠BDC的角平分线交于点E，∠ABD与∠ACD的角平分线交于点F，线段I D I A、I B I C、EF的中点分别为X、Y、Z.证明:X、Y、Z三点共线.83.设ω1、ω2分别是过A、C且与△ABC内切圆内切于J的圆与过B、A且与△ABC内切圆内切于K的圆.设Q、R分别是ω1、ω2与BC的交点，ω1与AB交于P，ω2与AC交于S,X 是△CSR∠C内的旁心，Y是△BPQ∠B内的旁心，M是△BSR的内心，N是△CPQ的内心. 证明:四边形XYMN是矩形.84.设圆Γ过B，C且与△ABC的内切圆⊙I内切于点J，延长AJ交BC于K，交Γ于L.证明:（KB/KC）2=(LB/LC)3.85.⊙I、⊙J、⊙K与⊙O外切于X、Y、Z，EH、FL、MG分别是⊙I与⊙K、⊙I与⊙J、⊙J 与⊙K的外公切线且均与⊙O相交，并且E、F、G、H、L、M均为切点.HG与ML、EF与HG、EF与ML分别交于点U、V、W.证明:YW·XV·ZU=WX·VZ·UY.86.设I、O分别是△ABC的内心、外心，U、V分别为⊙O与⊙I的外位似中心与内位似中心，设E、F、Y、Z分别是BI与AC、CI与AB、BO与AC、CO与AB的交点.证明：U、E、F共线的充要条件是V、Y、Z共线.87.设P、Q是△ABC的一对等角共轭点且△ABC的重心G与P、Q共线.D、E、F分别是AP 与BC、BP与AC、CP与AB的交点，AQ、BQ、CQ分别与△ABC外接圆再次交于点X、Y、Z，证明：△ADX、△BEY、△CFZ外接圆有公共的根轴.88.给定△ABC，证明：在△ABC所在平面内存在唯一的一点P，使得△ABC、△PAB、△PBC、△PCA的欧拉线互相平行.89.设N为△ABC的九点圆圆心，N在BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F，R为N 关于△DEF的等角共轭点，X是△AEF的九点圆圆心.证明：RX垂直于BC.90.设O、I a、I b、I c分别是△ABC的外心、∠BAC内的旁心、∠ABC内的旁心、∠BCA内的旁心.设与⊙Ib、⊙I c外切且与⊙O内切的圆与⊙O切于X，类似定义Y、Z.证明：AX、BY、CZ三线共点.91.O为△ABC外心，P、Q为△ABC的一对等角共轭点.设D、E、F分别为AP与BC、BP与CA、CP与AB的交点.设一条与OQ垂直的直线分别与BC、CA、AB交于点X、Y、Z.证明：△ADX外接圆、△BEY外接圆、△CFZ外接圆有一条公共的根轴.92.设I、O分别为△ABC的内心、外心，D、E、F分别为AI与BC、BI与AC、CI与 AB的交点.设ω为与AB、AC相切且与⊙O内切的圆，过E，F作ωaa的切线(不同于直线AB、AC)交于D1，X为ωa与⊙O切点，类似定义E1、F1、Y、Z.证明：XD1、YE1、ZF1、OI四线共点.93.设P为△ABC内一点，D、E、F分别是AP与BC、BP与AC、CP与AB的交点.设△DEF外接圆与直线BC另一个交点为X，O为△ABC外心，T为△DEF垂心，X'为X 关于直线EF的对称点.证明：AX'、BC、OT三线共点.。
平面几何的练习题及解题思路
平面几何的练习题及解题思路一、三角形的性质与计算1. 已知三角形ABC，已知边长a = 5cm，b = 8cm，c = 10cm，求角A的度数。
解题思路：根据余弦定理，可以得到cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，代入已知数据，计算得cosA=0.6，再利用反余弦函数求得角A的度数。
答案：角A≈53.13°。
2. 已知三角形ABC，已知边长a = 7cm，b = 9cm，C角的度数为60°，求边c的长度。
解题思路：根据正弦定理，可以得到a/sinA=b/sinB=c/sinC，代入已知数据，可得c=9×sin60°/sinC，再利用正弦函数计算得c≈7.8cm。
3. 已知三角形ABC，已知边长a = 6cm，b = 8cm，C角的度数为120°，求角A的度数。
解题思路：根据余弦定理，可以得到cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)，代入已知数据，可以得到cosB=1/2，再利用反余弦函数计算得角B的度数为60°。
由于A + B + C = 180°，所以A + 60° + 120° = 180°，解得A=0°。
答案：角A≈0°。
二、四边形的性质与计算1. 已知平行四边形ABCD，已知边长AB = 6cm，AD = 8cm，以及对角线AC的长度，求边BC的长度。
解题思路：根据平行四边形的性质，可以知道对角线互相等长，即AC = BD。
代入已知数据，可得AC = BD = √(6^2+8^2) = 10cm。
再利用平行四边形的性质，可以得到BC = AD = 8cm。
2. 已知平行四边形ABCD，已知边长AB = 5cm，BC = 8cm，以及对角线AC的长度，求边AD的长度。
解题思路：根据平行四边形的性质，可以知道对角线互相等长，即AC = BD。
代入已知数据，可得AC = BD = √(5^2+8^2) = √89cm。
平面几何练习题及答案
平面几何练习题及答案一、选择题1. 已知三角形ABC中，∠A=90°，AB=3cm，BC=4cm，求AC的长度。
A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. √7cm2. 在矩形PQRS中，若PS=6cm，QR=8cm，求对角线PR的长度。
A. 10cmB. 12cmC. 14cmD. √(6²+8²)cm3. 圆O的半径为5cm，点A在圆上，点B在圆外，且OA=5cm，OB=10cm，求AB的长度。
A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. √(10²-5²)cm二、填空题4. 已知等腰三角形的底边长为6cm，两腰长为5cm，求其面积。
答案：____cm²5. 已知直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求其外接圆的半径。
答案：____cm6. 已知正六边形的边长为a，求其内切圆的半径。
答案：____三、计算题7. 在三角形DEF中，DE=7cm，DF=8cm，EF=9cm，求三角形DEF的面积。
8. 已知圆的半径为r，圆心为O，点A在圆上，点B在圆外，OA=r，OB=2r，求AB的长度。
9. 已知矩形LMNP的长为10cm，宽为6cm，求其内切圆的半径。
四、证明题10. 证明：在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。
11. 证明：如果一个三角形的两边和其中一边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形。
12. 证明：在等边三角形中，每个内角都是60°。
五、解答题13. 已知圆的半径为r，求圆的周长和面积。
14. 已知矩形ABCD的长为a，宽为b，求对角线AC的长度。
15. 已知三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，求三角形ABC的面积。
答案：1. D2. D3. D4. 12cm²5. 2.5cm6. a/√37. 27cm²8. 5r9. 2cm10. 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质证明。
八年级数学平面几何图形性质练习题及答案
八年级数学平面几何图形性质练习题及答案一、正方形的性质练习题及答案1. 如图所示，ABCD是一个正方形。
已知DE⊥AD，DF⊥BC。
证明：DE=DF。
解析：根据正方形的性质，对角线相互垂直且相等。
因此，△ADE ≌△BDF（AC共边，∠EDA=∠BFD=90°，AD=BD）。
∴ DE=DF。
2. 已知正方形ABCD的边长为a，E是BC的中点，F是CD的中点，连接AF交BD于点G，求证：AG=3a/4。
解析：连接AC。
由于E是BC的中点，所以BE=EC=a/2。
∴△BEG是等腰直角三角形，∠BGE=∠BEG=45°，所以BE=BG=a/2。
又因为AF是CD的中点，所以DF=FC=a/2。
所以△DFA是等腰直角三角形，∠DFA=∠FDA=45°。
∴∠CAG=∠DFA+∠BGE=45°+45°=90°。
所以△CAG是直角三角形，AG=√(AC²-CG²)=√(a²-(3a/4)²)=√(a²-9a²/16)=√(7a²/16)=√(49a²/64)=7a/8=3a/4。
二、矩形的性质练习题及答案1. 若一个矩形的周长为40 cm，且它的宽比长度的1/4，求它的长和宽。
解析：设矩形的宽为x cm，则长度为4x cm。
周长为40 cm，即2(x+4x)=40。
解得5x=20，所以x=4。
∴矩形的长为4x=4*4=16 cm，宽为x=4 cm。
2. 如图所示，矩形ABCD中，AE=3 cm，BE=4 cm，连接EC。
（1）求证：△AED ≌△BEC；（2）求证：CD=AD+BC。
解析：（1）根据已知条件，AE=EC，所以△AED ≌△BEC（边边边三个对应边相等）。
（2）由于△AED ≌△BEC，所以∠A=∠B，∠C=∠D。
∴∠C+∠A=∠D+∠B，即∠CAD=∠CBD。
平面几何习题大全
平面几何习题大全(总39页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--平面几何习题大全下面的平面几何习题均是我两年来收集的，属竞赛范围。
共分为五种类型，1，几何计算；2，几何证明；3，共点线与共线点；4，几何不等式；5，经典几何。
几何计算-1命题设点D是Rt△ABC斜边AB上的一点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F。
若AF=15，BE=10，则四边形DECF的面积是多少解：设DF=CE=x,DE=CF=y. ∵Rt△BED∽Rt△DFA, ∴BE/DE=DF/AF<==> 10/y=x/15 <==> xy=150.所以，矩形DECF的面积150.几何证明-1命题在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，己知∠AOB+∠COD=180.求证:由O向四边形ABCD所作的垂线段之和等于四边形ABCD的周长的一半。
证明(一) 连OA,OB,OC,OD，过圆心O点分别作AB,BC,CD,DA的垂线，垂足依次为P,Q,R,S。
易证ΔAPO≌ΔORD，所以 DR=OP,AP=OR，故 OP+OR=DR+AP=(CD+AB)/2。
同理可得:OQ+OS=(DA+BC)/2。
因此有 OP+OQ+OR+OS=(AB+BC+CD+DA)/2。
证明(二) 连OA,OB,OC,OD，因为∠AOB+∠COD=180°,OA=OD，所以易证RtΔAPO≌RtΔORD，故得 DR=OP,AP=OR，即 OP+OR=DR+AP=(CD+AB)/2。
同理可得:OQ+OS=(DA+BC)/2。
因此有 OP+OQ+OR+OS=(AB+BC+CD+DA)/2。
几何不等式-1命题设P是正△ABC内任意一点，△DEF是P点关于正△ABC的内接三角形[AP,BP,CP延长分别交BC,CA,AB于D,E,F]，记面积为S1;△KNM是P点关于正△ABC的垂足三角形[过P点分别作BC,CA,AB垂线交于K,N,M]，记面积为S2。
平面解析几何练习题
平面解析几何练习题一、直线与圆的相交1. 已知圆的方程为：x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，求与直线y = 2x + 1相交的点坐标。
解析：首先将直线方程代入圆的方程，得到：x^2 + (2x + 1)^2 - 4x - 6(2x + 1) + 9 = 0。
将方程化简得到二次方程 5x^2 - 22x - 14 = 0。
解此二次方程，得两个不同实根：x1 ≈ 0.953 和x2 ≈ 2.337。
将x的值带入直线方程求得对应的y值，即可得到两个交点的坐标。
2. 已知直线过点A(2, 4)且与圆x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0相切，求此直线的方程。
解析：首先求圆的切线方程，在圆的方程中，将x和y的系数前的项移至另一侧得到新方程 x^2 + y^2 = 6x - 8y - 9。
然后利用点到直线的距离公式，得到圆心O(a, b)到直线的距离公式：d = |a + 2b - 8| / √(1 + 4) = |a + 2b - 8| / 2。
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径。
将距离公式代入原方程，得到二次方程 (2a + 4b - 16)^2 = 4(a^2 + b^2 - 6a + 8b + 9)。
通过求解此二次方程，得到a和b的值，即可得到直线的方程。
二、圆的切线与切点1. 已知圆C的方程为：(x-2)^2 + (y+1)^2 = 16，求过点P(3,2)的圆C 的切线方程及切点。
解析：首先求得点P到圆心C(2,-1)的距离，即两点之间的线段CP 的长度r = √((3-2)^2 + (2+1)^2) = √(2^2 + 3^2) = √13。
因为点P在圆C 上，所以点P到圆C的距离等于圆C的半径 r = 4。
接下来求得点P到圆C的切线斜率k，即斜率为 -1/k 的直线与圆C的切线。
切线斜率 k = (2 - (-1)) / (3 - 2) = 3。
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共分为五种类型，1，几何计算；2，几何证明；3，共点线与共线点；4，几何不等式；5，经典几何。
几何计算-1命题设点D是Rt△ABC斜边AB上的一点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F。
若AF=15，BE=10，则四边形DECF的面积是多少？解：设DF=CE=x,DE=CF=y. ∵Rt△BED∽Rt△DFA, ∴BE/DE=DF/AF<==> 10/y=x/15 <==> xy=150.所以，矩形DECF的面积150.几何证明-1命题在圆接四边形ABCD中，O为圆心，己知∠AOB+∠COD=180.求证:由O向四边形ABCD 所作的垂线段之和等于四边形ABCD的周长的一半。
证明(一) 连OA,OB,OC,OD，过圆心O点分别作AB,BC,CD,DA的垂线，垂足依次为P,Q,R,S。
易证ΔAPO≌ΔORD，所以 DR=OP,AP=OR，故 OP+OR=DR+AP=(CD+AB)/2。
同理可得:OQ+OS=(DA+BC)/2。
因此有 OP+OQ+OR+OS=(AB+BC+CD+DA)/2。
证明(二) 连OA,OB,OC,OD，因为∠AOB+∠COD=180°,OA=OD，所以易证RtΔAPO≌RtΔORD，故得 DR=OP,AP=OR，即 OP+OR=DR+AP=(CD+AB)/2。
同理可得:OQ+OS=(DA+BC)/2。
因此有 OP+OQ+OR+OS=(AB+BC+CD+DA)/2。
几何不等式-1命题设P是正△ABC任意一点，△DEF是P点关于正△ABC的接三角形[AP,BP,CP延长分别交BC,CA,AB于D,E,F]，记面积为S1;△KNM是P点关于正△ABC的垂足三角形[过P点分别作BC,CA,AB垂线交于K,N,M]，记面积为S2。
求证:S2≥S1 。
证明设P点关于正△ABC的重心坐标为P(x,y,z)，a为正△ABC的边长，则正△ABC的面积为S=(a^2√3)/4。
由三角形重心坐标定义易求得:AD=za/(y+z),CD=ya/(y+z),CE=xa/(z+x),AE=za/(z+x),AF=ya/(x+y),BF=xa/(x+y).故得:△AEF的面积X=AE*AF*sin60°/2=Syz/(z+x)(x+y);△BFD的面积Y=BF*BD*sin60°/2=Szx/(x+y)(y+z);△CDE的面积Z=CD*CE*sin60°/2=Sxy/(y+z)(z+x).从而有 S1=S-X-Y-Z=2xyzS/(y+z)(z+x)(x+y)。
因为P点是△KNM的费马点，从而易求得:PK=(xa√3)/[2(x+y+z)],PN=(ya√3)/[2(x+y+z)],PM=(za√3)/[2(x+y+z)].故得：S2=(PN*PM+PM*PK+PK*PN)*sin120/2=3S(yz+zx+xy)/[4(x+y+z)^2]。
所以待证不等式S2≥S1等价于:(3/4)*(yz+zx+xy)/(x+y+z)^2≥2xyz/(y+z)(z+x)(x+y);<====> 3(y+z)(z+x)(x+y)(yz+zx+xy)≥8xyz(x+y+z)^2;上式展开等价于3x^3(y^2+z^2)+3y^3(z^2+x^2)+3z^3(x^2+y^2)-2xyz(x^2+y^2+z^2)-4xyz(yz+zx+xy)≥0; 上式化简等价于x^2(x+2y+2z)(y-z)^2+y^2(y+2z+2x)(z-x)^2+z^2(z+2x+2y)(x-y)^2≥0.因为P点在正△ABC，故x>0,y>0,z>0，所以上式显然成立。
命题得证。
几何不等式-2命题设P是三角形ABC一点，直线AP，BP，CP与三边的交点分别为D,E,F。
则三角形DEF叫做点P的塞瓦三角形。
试证点P的塞瓦三角形DEF的面积不超过三角形ABC面积的四分之一。
证明设三角形ABC的面积为S, 塞瓦三角形DEF的面积为S1, 三角形AEF的面积为Sa, 三角形BFD的面积为Sb, 三角形CDE的面积为Sc。
令BD=xBC,CE=yCA,AF=zAB，则CD=(1-x)BC,AE=(1-y)CA,BF=(1-z)AB。
那么Sa=(AE*AF*sinA)/2=z*(1-y)*S，Sb=(BD*BF*sinB)/2=x*(1-z)*S，Sc=(CD*CE*sinC)/2=y*(1-x)*S。
所以有S1=S-Sa-Sb-Sc=S*[1-z*(1-y)-x*(1-z)-y*(1-x)]=S*[1-(x+y+z)+yz+zx+xy] ，据此命题[S≥4S1]转化为证明4*[1-(x+y+z)+yz+zx+xy]≤1根据塞瓦定理得:xyz=(1-x)*(1-y)*(1-z)上述恒等式展开等价于1+yz+zx+xy=2xyz+x+y+z将其代入得:8xyz≤1.由算术--几何平均不等式得:2√[x(1-x)]≤1,2√[y(1-y)]≤1,2√[z(1-z)]≤1,上述三式相乘得:8√[xyz(1-x)*(1-y)*(1-z)]≤1 , <==> 8xyz≤1 .几何不等式-3命题设P是三角形ABC一点，点P在三边BC,CA,AB上的射影分别为D,E,F。
则三角形DEF叫做点P的垂足三角形。
试证点P的垂足三角形DEF的面积不超过三角形ABC面积的四分之一。
证明设P点垂足ΔDEF面积为F,ΔABC面积为Δ，令PD=r1,PE=r2,PC=r3,BC=a,CA=b,AB=c,R表示三角形ABC的外接圆半径。
则有F=[r2*r3*sinA+r3*r1*sinB+r1*r2*sinC]/2=[a*r2*r3+b*r3*r1+c*r1*r2]/(4R)。
故命题转化为求证a*r2*r3+b*r3*r1+c*r1*r2≤RΔ (1)据恒等式:abc=4RΔ，则上式为a*r2*r3+b*r3*r1+c*r1*r2≤abc/4 (2)设P点的ΔABC重心坐标为P(x,y,z)，对(2)式作置换等价于R^2*(x+y+z)^2≥yza^2+zxb^2+xyc^2 (3)(3)展开化简为(R*x)^2+(R*y)^2+(R*z)^2+(2*R^2-a^2)*yz+(2*R^2-b^2)*zx+(2*R^2-c^2)*xy≥0上式配方整理得:[R*x+(2*R^2-c^2)*y/(2R)+(2*R^2-b^2)*z/(2R)]^2+[c*y*cosC-b*z*cosB]^2≥0，显然成立。
易验证当x:y:z=a*cosA:b*cosB:c*cosC，即外心时取等号。
几何不等式-4命题试比较给定一三角形的最大接矩形的面积与最大接正方形的面积大小。
证明设给定三角形ABC的边长分别为a,b,c，相对应的高线分别为ha,hb,hc，给定三角形ABC的面积为S。
不妨设a>b>c，则ha<hb<hc，运用化归法易证明:给定三角形ABC的最大接矩形与最大接正方形的一边与三角形一边重合，另外两端在另外两边上。
下面在a>b>c条件下，求出最大接矩形与最大接正方形的面积。
(1)对于给定三角形的最大接矩形的面积可如下求:设矩形长为x[与BC边重合]，宽为y，矩形的面积为S1。
运用相似比可得:(ha-y)/x=ha/a <==> x=a*(ha-y)/ha，所以S1=y*a*(ha-y)/ha=-[1/(a*ha)]*[a^2*y^2-2*a*S*y]=-[1/(2*S)]*(a*y-S)^2+S^/2≤S/2。
当y=S/a=ha/2，x=a/2时，S1的最大值为S/2。
所以给定三角形的最大接矩形的面积为S/2，它共有三种形状，即(长,宽)=(a/2,ha/2);(长,宽)=(b/2,hb/2);(长,宽)=(c/2,hc/2)。
注意这里长与宽相对而言。
(2)对于给定三角形的最大接正方形的面积可如下求:设正方形边长为x，正方形的面积为S2。
运用相似比可得:(ha-x)/x=ha/a <==> x=2*S/(a+ha)，因为a>b>c，易证得:a+ha>b+hb>c+hc，所以给定三角形的最大接正方形的面积:S2=[2*S/(c+hc)]^2。
(3)下面确定给定三角形ABC的最大接矩形的面积与最大接正方形的面积大小。
[2*S/(c+hc)]^2≤S/2<==> 8*S≤(c+hc)^2因为c^2+(hc)^2≥2*c*hc=4*S，所以8*S≤(c+hc)^2显然成立。
当c=hc时等号成立。
几何不等式-5命题在等腰直角三角形中，∠BAC=90°，E，F在BC边上[E点靠近B点，F点靠近C 点]。
求证：(1) 如果∠EAF≤45°，则BE^2+CF^2≥EF^2;(2) 如果∠EAF≥45°，则BE^2+CF^2≤EF^2.证明设AE为y，AF为z，AB=AC=a。
在△ABE，△ACF中[∠ABE=45°，∠ACF=45°]，根据余弦定理得:BE^2=y^2-a^2+a*BE*√2;y^2=a^2+BE^2-a*BE*√2;z^2=a^2+CF^2-a*CF*√2; CF^2=z^2-a^2+a*CF*√2.两式相加得:BE^2+CF^2=y^2+z^2-2a^2+a√2(BE+CF)=y^2+z^2-2a^2+a√2(a√2-EF)=y^2+z^2-a√2EF。
注意到:△AEF面积的两种表示式yzsin(∠EAF)/2=aEF/(2√2) a√2EF=2yzsin∠EAF所以有 BE^2+CF^2=y^2+z^2-2yzsin∠EAF而在△AEF中，根据余弦定理得:EF^2=y^2+z^2-2yzcos∠EAF对比上述两式，当∠EAF=45°时，有BE^2+CF^2=EF^2。
(1) 如果∠EAF≤45°，则tan∠EAF≤1，即BE^2+CF^2≥EF^2;(2) 如果∠EAF≥45°，则tan∠EAF≥1，即BE^2+CF^2≤EF^2.附证如图,等腰直角三角形ABC,E,F在BC上,不妨设F在E右侧将△AFC旋转90度到△ADB∠ABC=∠ACB=∠ABD=45==>∠DBE=90 BD=CF==>BE^2+CF^2=BE^2+BD^2=DE^2DE^2=AD^2+AE^2-2AD*AE*cos∠DAEEF^2=AF^2+AE^2-2AF*AE*cos∠EAFAD=AFDE^2-EF^2=2AF*AE(cos∠EAF-cos∠DAE)∠DAE=∠DAB+∠BAE=∠CAF+∠BAE=90-∠EAF(1)∠EAF≤45°,则90°＞∠DAE≥∠EAF＞0°,DE^2-EF^2=2AF*AE(cos∠EAF-cos∠DAE)≥0DE^2≥EF^2BE^2+CF^2≥EF^2(2)∠EAF≥45°,则0°＜∠DAE≤∠EAF＜90°,DE^2-EF^2=2AF*AE(cos∠EAF-cos∠DAE)≤0DE^2≤EF^2BE^2+CF^2≤EF^2几何不等式-6命题非钝角三角形的三条中线组成的三角形，它的外接圆半径大于原三角形外接圆半径的5/6。