初中数学轴对称最短路径问题

点 B，使 PA+AB 值最小小．
【问题 8】
作法
作图
作 点 A 百度文库 于 l2
的对称点 A＇，作点
A 为 l1 上一一定点，B 为 B 关于 l1 的对
l2 上；A 为 l1 上一一定点， 称点 B＇，连 A＇B＇
B 为 l2 上一一定点，在 l2 交 l2 于 M，交 l1 于
上求点 M 在 l1上求点 N ， N .
第 11 讲：轴对称
【问题概述】初中数学最值问题是每年年中考必出题，更更是图论研究中的一一个经典算法问题， 旨
在寻找图（由结点和路路径组成的）中两结点之间的最短路路径。
【问题原型】“将军饮⻢马”，“造桥选址”，“费⻢马点”．
【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三⻆角形三边关系”，“轴对称”，“平移”． 【出题背景】⻆角、三⻆角形、菱形、矩形、正方方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等． 【解题思路路】找对称点实现“折”转“直”，近两年年出现“三折线”转“直”等变式问题考查． 一一．【十十二二个基本问题】
原理理
在直线 l1 、 l2 上分别求 点 M 、N ，使四边形 PQMN 的周⻓长最小小。
分别作点 Q 、P 关于直线 l1 、l2 的 对称点 Q＇和 P＇ 连 Q＇P＇，与两直 线交点即为 M，N．
两点之间线段最短 四边形 PQMN 周⻓长的 最小小值为线段 Q＇P＇的 ⻓长。
【问题 5】“造桥选址” 作法
【精品练习】 1．如图所示，正方方形 ABCD 的面面积为 12，△ABE 是等边三⻆角形，点 E 在正方方形 ABCD 内，在
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对⻆角线 AC 上有一一点 P，使 PD+PE 的和最小小，则这个最小小值为（ ）
A.2
B. 2 C.3 D.
2．如图，在边⻓长为 2 的菱形 ABCD 中，∠ ABC＝60°，若将△ACD 绕点 A 旋转，当 AC′、
12．荆州护城河在 CC＇处直⻆角转弯，河宽相等，从 A 处到达 B 处，需经过两座桥 DD＇、 EE＇，护城河及两
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桥都是东⻄西、南北北方方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使 A 到 B 点路路径最 短？
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作法 将点 A 向右平移 a 个 ⻓长 度 单 位 得 A＇，作 A＇关于 l 的对称点 A＇＇，连 A＇＇ B，交直线 l 于点 N，将 N 点向左平 移 a 个单位得 M． 作法
作图 作图
作 点 P 关 于 l1
的对称点 P＇，作
在 l1 上求点 A，在 l2 上求
P＇B⊥ l2 于 B，交 l1 于 A．
【问题 1】
作法
作图
原理理
连 AB，与 l 交点即
为 P．
在直线 l 上求一一点 P，使
PA+PB 值最小小。
【问题 2】
作法
作图
两点之间线段最短． PA+PB 最小小值为 AB．
原理理
作 B 关于 l 的对
称点 B＇连 A B＇，与
在直线 l 上求一一点 P，使 l 交点即为 P．
PA+PB 值最小小．
作法
作图
在直线 l 上求一一点 P，使 的值最大大 .
作 B 关于 l 的对称 点 B＇作直线 A B＇， 与 l 交点即为 P．
【问题 12】“费⻢马点”
△ABC 中每一一内⻆角都小小 于 120°，在△ABC 内求一一 点 P，使 PA+PB+PC 值最 小小．
作法
作图
所 求 点 为 “ 费 ⻢马
4．如图，在锐⻆角△ABC 中，AB＝4 ，∠ BAC＝45°，∠ BAC＝45°，∠ BAC 的平分线交 BC 于 点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小小值是__________。
5．如图，Rt△ABC 中，∠ C＝90°，∠ B＝30°，AB＝6，点 E 在 AB 边上，点 D 在 BC 边 上（不不与点 B、C 重合），且 ED＝AE，则线段 AE 的取值范围是__________。 6．如图，∠ AOB＝30°，点 M、N 分别在边 OA、OB 上，且 OM＝1，ON＝3，点 P、Q 分 别在边 OB、OA 上，则 MP＋PQ＋QN 的最小小值是_________．（注“勾股定理理”：直⻆角三⻆角 形中两直⻆角边的平方方和等于斜边的平方方，即 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，则有 AC 2 + BC 2 = AB 2） 7．如图，三⻆角形△ABC 中，∠ OAB＝∠ AOB＝15°，点 B 在 x 轴的正半轴，坐标为 B( 6 ， 0)．OC 平分∠ AOB,点 M 在 OC 的延⻓长线上，点 N 为边 OA 上的点，则 MA＋MN 的最 小小值__________。 8．已知 A（2，4）、B（4，2）．C 在 y 轴上，D 在 x 轴上，则四边形 ABCD 的周⻓长最小小值 为__________。
使 AM+MN+NB 的值最
小小．
【问题 9】
作法
作图
连 AB，作 AB 的 中垂线与直线 l 在直线 l 上求一一点 P，使 的交点即为 P．
的值最小小 .
【问题 10】
作法
作图
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两点之间线段最短． AM+MN+BN 的最小小值 为 A＇B+MN．
原理理
两点之间线段最短． AM+MN+BN 的最小小值 为 A＇＇B+MN．
10．点 C 为∠ AOB 内一一点．（1）在 OA 求作点 D，OB 上求作点 E，使△CDE 的周⻓长最 小小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠ AOB＝30°，OC＝10，求△CDE 周⻓长的最小小值 和此时∠ DCE 的度数．
11．（1）如图①，△ABD 和△ACE 均为等边三⻆角形，BE、CE 交于 F，连 AF，求证：AF+BF+CF ＝CD；（2）在△ABC 中，∠ ABC＝30°，AB＝6，BC＝8，∠ A，∠ C 均小小于 120°，求作一一 点 P，使 PA+PB+PC 的值最小小，试求出最小小值并说明理理由．
原理理
点到直线，垂线段最短 PA+AB 的值最小小为 P＇B
原理理
两点之间线段最短 AM+MN+NB 的 最 小小 值为线段 A＇B＇的⻓长．
原理理 垂直平分上的点到线段 两端点的距离相等．
＝0 . 原理理
作直线 AB，与直线 在直线 l 上求一一点 P，使 l 的交点即为 P．
的值最大大 .
【问题 11】
此时 C、D 两点的坐标分别为__________。
9．已知 A（1，1）、B（4，2）．（1）P 为 x 轴上一一动点，求 PA+PB 的最小小值和此时 P 点 的坐标；（2）P 为 x 轴上一一动点，求 PA − PB 的值最大大时 P 点的坐标；
4
（3）CD 为 x 轴上一一条动线段，D 在 C 点右边且 CD＝1，求当 AC+CD+DB 的最小小值和此时 C 点 的坐标；
点”，即满足足∠ APB
＝∠ BPC ＝∠ APC
＝120°．以 AB、AC
为边向外作等边
△ABD、△ACE，连
CD、BE 相交于 P，
点 P 即为所求．
二二．“一一次对称”常⻅见模型:
三⻆角形任意两边之差小小
于第三边．
≤
AB .
原理理
三⻆角形任意两边之差小小
于第三边．
≤
AB＇ .
原理理 两点之间线段最短． PA+PB+PC 最 小小 值 ＝ CD．
AD′分别与 BC、CD 交于点 E、F，则△CEF 的周⻓长的最小小值为（ ）
A.2 B.2
C.2＋
D. 4
3．四边形 ABCD 中，∠ B＝∠ D＝90°，∠ C＝70°，在 BC、CD 上分别找一一点 M、N，使 △AMN 的周⻓长最小小时， ∠ AMN+∠ ANM 的度数为（ ） A．120° B．130° C．110° D．140°
【问题 3】“将军饮⻢马” 作法
作图
两点之间线段最短． PA+PB 最小小值为 A B＇．
原理理
分别作点 P 关于
两直线的对称点 P＇
在直线 l1 、l2 上分别求 和 P＇，连 P＇P＇，与
点 M、N，使△PMN 的周 两 直 线 交 点 即 为
⻓长最小小．
M，N．
【问题 4】
作法
作图
两点之间线段最短． PM+MN+PN 的最小小值 为线段 P＇P＇＇的⻓长。
作图
原理理
1
直线 m ∥ n ，在 m 、 n， 上分别求点 M、N，使 MN ⊥ m ，且 AM+MN+BN 的 值最小小。 【问题 6】
在直线 l 上求两点 M、N（M 在左），使 MN = a ，并使 AM+MN+NB 的值最小小 .
【问题 7】
将点 A 向下平移 MN 的⻓长度单位得 A＇，连 A＇B，交 n 于 点 N，过 N 作 NM⊥ m 于M .