第3章 线性控制系统的时域分析法
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essr lim s ER (s) lim s e (s) R(s)
s0 s0
干扰输入作用下的稳态误差记为
s0 s0
essf
essf lim s EF (s) lim s eF (s) F ( s)
3. 3 线性控制系统的稳定误差分析与计算
3.3.1 稳态误差的基本概念
v i 1 j 1 nv
m
lim
s 0
K s v1
静态加速度误差系数
K a lim s 2G s lim s 2
s 0 s 0
K ( j s 1) s v (Ti s 1)
i 1 j 1 n v
m
lim
s 0
K s v2
3. 3 线性控制系统的稳定误差分析与计算
3.2.1 稳定的基本概念 稳定是指系统在外作用消失后能自动地恢复到
初始平衡状态的能力。
稳定性是控制系统自身的固有特性，
3. 2 线性控制系统的稳定性分析
3.2.2 稳定的充要条件 线性定常控制系统稳定的充分必要条件是系统的 闭环特征根均具有负实部。 （在几何平面上有，系统的闭环极点均在[s]左半 平面）
信号，Ⅱ型系统跟随加速度函数信时，产生的稳态误差为
常值，且与系统开环放大倍数有关； （2）可以通过提高系统的开环放大倍数来减小由参考输 入引起的稳态误差； （3）可以通过增加系统前向通道上的积分环节来消除由 参考输入引起的常值稳态误差。
3. 3 线性控制系统的稳定误差分析与计算
3.3.2 参考输入作用下的稳态误差
n t e sin d t d
n
二阶系统欠阻尼情况下的单位阶跃响应曲线是按指数衰减 的正弦振荡时间函数曲线，阻尼比越小，最大振幅越大。
3. 5 二阶系统的时域分析
3.5.2 二阶系统的单位阶跃响应
（4）无阻尼（ ）的情况： 0
s1 j n
s2 jn
Байду номын сангаас
s2 。 s1与 为一对纯虚根
3. 2 线性控制系统的稳定性分析
3.2.3 劳斯稳定判据
劳斯判据的特殊情况及其解决方法如下： 特殊情况1：劳斯阵列中出现某行第一列元素为零，而其 余元素不全为零。 用一无穷小的正数代替零元素，然后计算形成新的阵列。 特殊情况2：劳斯阵列中出现全零行。
先用全零行的上一行元素作为方程系数构造辅助方程，
（4）在所有欠阻尼情况下的曲线中，对应于 0.4的过渡过程超调量 ~ 0.8
3. 5 二阶系统的时域分析
3.5.3 二阶系统的动态性能指标
延迟时间 t d 上升时间 t r 峰值时间 t p 超调量 p 调节时间 t s
td
tr d
1 0.7
n
arctan
Cid (ei ) (0)
，称为单位负反馈系统的动态误差系数。
1 1 ( j) ( j) eF (0) f (t ) C jd f ( j ) (t ) j! j 0 j !
干扰输入引起的系统稳态误差为
essf (t )
j 0
( j) C jd eF (0)
p
c(td ) 50 0 0 c()
c(tr ) 100 0 0 c() min
c(t p ) c(t )max
p
c(t p ) c() c() 100 0 0
调节时间 t s
c(t ) c() 100% △ c ( )
3. 2 线性控制系统的稳定性分析
C(s)
s
3. 5 二阶系统的时域分析
3.5.5初始条件不为零时二阶系统的阶跃响应 初始条件不为零时系统的阶跃响应也包含稳态分量和暂态
分量两个部分，初始条件不影响稳态分量，只影响暂态分
量的系数。 因此，如仅限于分析系统自身的固有特性时，只需分析初 始条件为零时的响应分量足够，无需考虑初始条件对系统 响应的影响。
NEFU
自动控制原理
作者：张 冬 妍 出版：机械工业出版社
3. 线性控制系统的时域分析法
3.1 3.2
控制系统典型输入信号
线性控制系统稳定性分析 线性控制系统稳态误差分析与计算 一阶系统的时域分析 二阶系统的时域分析 高阶系统的时域分析 基于MATLAB的线性系统时域分析
3.3 3.4
3.5
3.6
K1，可以减小由干扰输入引起的系统稳态误差；
（3）增加干扰输入作用点之前的前向通道环节的积分环节 个数，可以消除由干扰输入引起的常值稳定误差；
3. 3 线性控制系统的稳定误差分析与计算
3.3.5 动态误差系数
参考输入引起的系统稳态误差为
1 essr (t ) Cid r (i ) (t ) i 0 i !
改变次数。
3. 2 线性控制系统的稳定性分析
3.2.3 劳斯稳定判据
劳斯阵列：
sn s n1 s n2 s n 3 s1 s0
a a a0 a3 b1 1 2 a1
a0 a1 b1 c1
a2 a3 b2 c2
a4 a5 b3 c3
a6 a7 b4 c4
e1 e 2 f1
b3 a1a6 a0 a7 a1
s1 n n 2 1
s2 n n 2 1
s1 为两个不相等的负实数根，位于 s2 与 [s]左半平面。
es1t es2t c(t ) 1 ( ) 2 2 1 s1 s2
n
二阶系统过阻尼情况下的单位阶跃响应曲线是一条由零开 始，按指数规律单调上升最终趋于1的非振荡曲线 。
（1） 二阶系统的时间响应包含两个部分：稳态分量和暂态分量。其
中，稳态分量由输入信号决定，暂态分量由系统的闭环特征根决 定。对于稳定的控制系统，其暂态分量各项，当时间 t趋于无穷大 时均趋于零； （2）欠阻尼时，二阶系统的单位阶跃响应曲线为衰减振荡曲线，随 着阻尼比减小其振荡加剧，直至达到无阻尼，出现等幅振荡； （3）在 时的所有单调上升曲线中， 1 节时间最短； 适度，调节时间也较短。 的曲线到达稳态所需要的调 1
辅助方程对s求导，然后用求导后方程的系数代替全零行 元素，继续计算形成新的阵列。
3. 3 线性控制系统的稳定误差分析与计算
3.3.1 稳态误差的基本概念
稳态误差定义为系统进入稳态后的误差，即输出稳态值与 期望值的差值，记为
ess
e 。因此有 ss
lim e(t ) ess (t )
t
参考输入作用下的稳态误差记为 e ssr
3. 2 线性控制系统的稳定性分析
3.2.3 劳斯稳定判据
设线性系统的特征方程为
D(s) a 0 s n a1s n1 a2 s n2 an1s a n 0
劳斯判据内容：控制系统稳定的充分必要条件是劳斯阵 列中第一列元素均为正值，且系统所包含的[s]右半平面
内的闭环极点的数目等于劳斯阵列中第一列元素的符号
3.7
3. 1控制系统典型输入信号
3.1.1 典型输入信号
阶跃函数信号
0 f (t ) R
(t 0) (t 0)
斜坡函数信号 加速度函数信号
0 f (t ) Rt
0 f (t ) 1 2 Rt 2
(t 0) (t 0)
(t 0) (t 0)
1 2
n 1 2
tp
d n 1 2
1 2
p e
100%
3. 5 二阶系统的时域分析
3.5.3 二阶系统的动态性能指标
例3-13 已知单位负反馈二阶系统的开环传递函数为
G(s) 1 ，试求当 s ( s 1)
r (t ) 1(t ) 时系统的动态性能指标值。
3. 5 二阶系统的时域分析
3.5.4 二阶系统的性能改善
可以采用两种方式实现二阶系统性能的改善，其一是在系 统前向通道中增加控制装置，其二是在系统反馈通道中增 加控制装置。
R(s) E ( s)
1
-
+
n2 s(s 2n )
C(s)
s
R(s) E(s)
-
-
n2 s( s 2n )
，为动态误差系数。
3. 4 一阶系统的时域分析
3.4.1 一阶系统的数学模型
一阶系统闭环传递函数的标准形式：
( s) C ( s) 1 R( s) Ts 1
其系统方框图：
3. 4 一阶系统的时域分析
3.4.2 一阶系统的单位阶跃响应
一阶系统的单位阶跃响应为 ： c(t ) 1 e
c(t ) 1 cos nt
二阶系统无阻尼情况下的单位阶跃响应曲线是一条振荡 不衰减的曲线。
3. 5 二阶系统的时域分析
3.5.2 二阶系统的单位阶跃响应
以阻尼比为参变量的典型二阶系统单位阶跃响应曲线如下。
3. 5 二阶系统的时域分析
3.5.2 二阶系统的单位阶跃响应
典型二阶系统单位阶跃响应：
静态位置误差系数
K p lim G s lim
s 0 s 0
K ( j s 1) s v (Ti s 1)
i 1 j 1 n v
m
lim
s 0
K sv
静态速度误差系数
KV lim sG s lim s
s 0 s 0
K ( j s 1) s (Ti s 1)
3. 5 二阶系统的时域分析
3.5.2 二阶系统的单位阶跃响应
（3）欠阻尼（ 0 ）的情况： 1
s1 n jn 1 2
s2 n jn 1 2
s2 ，位于[s]左半平面。 s1与 为一对负实部的共轭复数根
c(t ) 1 ent cos d t
3. 1控制系统典型输入信号
3.1.1 典型输入信号
1 f (t ) h 0
脉冲函数信号
(0 t h) (t 0, t h)
正弦函数信号
f (t) A sin t
3. 1控制系统典型输入信号
3.1.2 系统动态性能指标
延迟时间 t d 上升时间 t r 峰值时间 t p 超调量
t T
3. 5 二阶系统的时域分析
3.5.1 二阶系统的数学模型
二阶系统闭环传递函数的标准形式：
2 n C ( s) ( s ) 2 R(s) s 2 2n s n
其系统方框图：
3. 5 二阶系统的时域分析
3.5.2 二阶系统的单位阶跃响应
（1）过阻尼（ ）的情况： 1
误差与偏差之间是存在一定的函数关系的，此关系与主反 馈通道上的环节有关。
稳态误差不但与系统的结构和参数有关，还与系统的输入
信号有关。 稳态误差可以利用终值定理，通过误差闭环传递函数求得。
3. 3 线性控制系统的稳定误差分析与计算
3.3.2 参考输入作用下的稳态误差
（1）0型系统跟随阶跃函数信号，Ⅰ型系统跟随速度函数
a1a4 a0 a5 b2 a1
3. 2 线性控制系统的稳定性分析
3.2.3 劳斯稳定判据
例3-1 设控制系统的闭环特征方程为 D(s) s 4 2s 3 3s 2 4s 3 0 试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。
解：列劳斯阵列
阵列的第一列元素出现负元素，所以系统不稳定。
3.3.3 干扰输入作用下的稳态误差
（1）干扰输入作用点之前的前向通道环节为0型的系统在
阶跃函数信号作用下，或I型的系统在斜坡函数信号的作用
下，或II型的系统在加速度函数信号的作用下，引起的稳态 误差为常值，且与干扰输入作用点之前的前向通道环节的
放大倍数K1有关；
（2）提高干扰输入作用点之前的前向通道环节的放大倍数
3. 5 二阶系统的时域分析
3.5.2 二阶系统的单位阶跃响应
（2）临界阻尼（ ）的情况： 1
s1 s2 n
s1 为两个相等的负实数根，位于 s2 与 [s]左半平面。
c(t ) 1 ent (1 n t )
二阶系统临界阻尼情况下的单位阶跃响应曲线是一条由零 开始，按指数规律单调上升最终趋于1的非振荡曲线 。
3. 6 高阶系统的时域分析
3.6.1 高阶系统的数学模型
三阶系统的闭环传递函数：
2 n p C ( s) ( s ) 2 2 R(s) (s 2n s n ) (s p)
( p 0)
当 0 1 时，特征方程的三个根为
s0 s0
干扰输入作用下的稳态误差记为
s0 s0
essf
essf lim s EF (s) lim s eF (s) F ( s)
3. 3 线性控制系统的稳定误差分析与计算
3.3.1 稳态误差的基本概念
v i 1 j 1 nv
m
lim
s 0
K s v1
静态加速度误差系数
K a lim s 2G s lim s 2
s 0 s 0
K ( j s 1) s v (Ti s 1)
i 1 j 1 n v
m
lim
s 0
K s v2
3. 3 线性控制系统的稳定误差分析与计算
3.2.1 稳定的基本概念 稳定是指系统在外作用消失后能自动地恢复到
初始平衡状态的能力。
稳定性是控制系统自身的固有特性，
3. 2 线性控制系统的稳定性分析
3.2.2 稳定的充要条件 线性定常控制系统稳定的充分必要条件是系统的 闭环特征根均具有负实部。 （在几何平面上有，系统的闭环极点均在[s]左半 平面）
信号，Ⅱ型系统跟随加速度函数信时，产生的稳态误差为
常值，且与系统开环放大倍数有关； （2）可以通过提高系统的开环放大倍数来减小由参考输 入引起的稳态误差； （3）可以通过增加系统前向通道上的积分环节来消除由 参考输入引起的常值稳态误差。
3. 3 线性控制系统的稳定误差分析与计算
3.3.2 参考输入作用下的稳态误差
n t e sin d t d
n
二阶系统欠阻尼情况下的单位阶跃响应曲线是按指数衰减 的正弦振荡时间函数曲线，阻尼比越小，最大振幅越大。
3. 5 二阶系统的时域分析
3.5.2 二阶系统的单位阶跃响应
（4）无阻尼（ ）的情况： 0
s1 j n
s2 jn
Байду номын сангаас
s2 。 s1与 为一对纯虚根
3. 2 线性控制系统的稳定性分析
3.2.3 劳斯稳定判据
劳斯判据的特殊情况及其解决方法如下： 特殊情况1：劳斯阵列中出现某行第一列元素为零，而其 余元素不全为零。 用一无穷小的正数代替零元素，然后计算形成新的阵列。 特殊情况2：劳斯阵列中出现全零行。
先用全零行的上一行元素作为方程系数构造辅助方程，
（4）在所有欠阻尼情况下的曲线中，对应于 0.4的过渡过程超调量 ~ 0.8
3. 5 二阶系统的时域分析
3.5.3 二阶系统的动态性能指标
延迟时间 t d 上升时间 t r 峰值时间 t p 超调量 p 调节时间 t s
td
tr d
1 0.7
n
arctan
Cid (ei ) (0)
，称为单位负反馈系统的动态误差系数。
1 1 ( j) ( j) eF (0) f (t ) C jd f ( j ) (t ) j! j 0 j !
干扰输入引起的系统稳态误差为
essf (t )
j 0
( j) C jd eF (0)
p
c(td ) 50 0 0 c()
c(tr ) 100 0 0 c() min
c(t p ) c(t )max
p
c(t p ) c() c() 100 0 0
调节时间 t s
c(t ) c() 100% △ c ( )
3. 2 线性控制系统的稳定性分析
C(s)
s
3. 5 二阶系统的时域分析
3.5.5初始条件不为零时二阶系统的阶跃响应 初始条件不为零时系统的阶跃响应也包含稳态分量和暂态
分量两个部分，初始条件不影响稳态分量，只影响暂态分
量的系数。 因此，如仅限于分析系统自身的固有特性时，只需分析初 始条件为零时的响应分量足够，无需考虑初始条件对系统 响应的影响。
NEFU
自动控制原理
作者：张 冬 妍 出版：机械工业出版社
3. 线性控制系统的时域分析法
3.1 3.2
控制系统典型输入信号
线性控制系统稳定性分析 线性控制系统稳态误差分析与计算 一阶系统的时域分析 二阶系统的时域分析 高阶系统的时域分析 基于MATLAB的线性系统时域分析
3.3 3.4
3.5
3.6
K1，可以减小由干扰输入引起的系统稳态误差；
（3）增加干扰输入作用点之前的前向通道环节的积分环节 个数，可以消除由干扰输入引起的常值稳定误差；
3. 3 线性控制系统的稳定误差分析与计算
3.3.5 动态误差系数
参考输入引起的系统稳态误差为
1 essr (t ) Cid r (i ) (t ) i 0 i !
改变次数。
3. 2 线性控制系统的稳定性分析
3.2.3 劳斯稳定判据
劳斯阵列：
sn s n1 s n2 s n 3 s1 s0
a a a0 a3 b1 1 2 a1
a0 a1 b1 c1
a2 a3 b2 c2
a4 a5 b3 c3
a6 a7 b4 c4
e1 e 2 f1
b3 a1a6 a0 a7 a1
s1 n n 2 1
s2 n n 2 1
s1 为两个不相等的负实数根，位于 s2 与 [s]左半平面。
es1t es2t c(t ) 1 ( ) 2 2 1 s1 s2
n
二阶系统过阻尼情况下的单位阶跃响应曲线是一条由零开 始，按指数规律单调上升最终趋于1的非振荡曲线 。
（1） 二阶系统的时间响应包含两个部分：稳态分量和暂态分量。其
中，稳态分量由输入信号决定，暂态分量由系统的闭环特征根决 定。对于稳定的控制系统，其暂态分量各项，当时间 t趋于无穷大 时均趋于零； （2）欠阻尼时，二阶系统的单位阶跃响应曲线为衰减振荡曲线，随 着阻尼比减小其振荡加剧，直至达到无阻尼，出现等幅振荡； （3）在 时的所有单调上升曲线中， 1 节时间最短； 适度，调节时间也较短。 的曲线到达稳态所需要的调 1
辅助方程对s求导，然后用求导后方程的系数代替全零行 元素，继续计算形成新的阵列。
3. 3 线性控制系统的稳定误差分析与计算
3.3.1 稳态误差的基本概念
稳态误差定义为系统进入稳态后的误差，即输出稳态值与 期望值的差值，记为
ess
e 。因此有 ss
lim e(t ) ess (t )
t
参考输入作用下的稳态误差记为 e ssr
3. 2 线性控制系统的稳定性分析
3.2.3 劳斯稳定判据
设线性系统的特征方程为
D(s) a 0 s n a1s n1 a2 s n2 an1s a n 0
劳斯判据内容：控制系统稳定的充分必要条件是劳斯阵 列中第一列元素均为正值，且系统所包含的[s]右半平面
内的闭环极点的数目等于劳斯阵列中第一列元素的符号
3.7
3. 1控制系统典型输入信号
3.1.1 典型输入信号
阶跃函数信号
0 f (t ) R
(t 0) (t 0)
斜坡函数信号 加速度函数信号
0 f (t ) Rt
0 f (t ) 1 2 Rt 2
(t 0) (t 0)
(t 0) (t 0)
1 2
n 1 2
tp
d n 1 2
1 2
p e
100%
3. 5 二阶系统的时域分析
3.5.3 二阶系统的动态性能指标
例3-13 已知单位负反馈二阶系统的开环传递函数为
G(s) 1 ，试求当 s ( s 1)
r (t ) 1(t ) 时系统的动态性能指标值。
3. 5 二阶系统的时域分析
3.5.4 二阶系统的性能改善
可以采用两种方式实现二阶系统性能的改善，其一是在系 统前向通道中增加控制装置，其二是在系统反馈通道中增 加控制装置。
R(s) E ( s)
1
-
+
n2 s(s 2n )
C(s)
s
R(s) E(s)
-
-
n2 s( s 2n )
，为动态误差系数。
3. 4 一阶系统的时域分析
3.4.1 一阶系统的数学模型
一阶系统闭环传递函数的标准形式：
( s) C ( s) 1 R( s) Ts 1
其系统方框图：
3. 4 一阶系统的时域分析
3.4.2 一阶系统的单位阶跃响应
一阶系统的单位阶跃响应为 ： c(t ) 1 e
c(t ) 1 cos nt
二阶系统无阻尼情况下的单位阶跃响应曲线是一条振荡 不衰减的曲线。
3. 5 二阶系统的时域分析
3.5.2 二阶系统的单位阶跃响应
以阻尼比为参变量的典型二阶系统单位阶跃响应曲线如下。
3. 5 二阶系统的时域分析
3.5.2 二阶系统的单位阶跃响应
典型二阶系统单位阶跃响应：
静态位置误差系数
K p lim G s lim
s 0 s 0
K ( j s 1) s v (Ti s 1)
i 1 j 1 n v
m
lim
s 0
K sv
静态速度误差系数
KV lim sG s lim s
s 0 s 0
K ( j s 1) s (Ti s 1)
3. 5 二阶系统的时域分析
3.5.2 二阶系统的单位阶跃响应
（3）欠阻尼（ 0 ）的情况： 1
s1 n jn 1 2
s2 n jn 1 2
s2 ，位于[s]左半平面。 s1与 为一对负实部的共轭复数根
c(t ) 1 ent cos d t
3. 1控制系统典型输入信号
3.1.1 典型输入信号
1 f (t ) h 0
脉冲函数信号
(0 t h) (t 0, t h)
正弦函数信号
f (t) A sin t
3. 1控制系统典型输入信号
3.1.2 系统动态性能指标
延迟时间 t d 上升时间 t r 峰值时间 t p 超调量
t T
3. 5 二阶系统的时域分析
3.5.1 二阶系统的数学模型
二阶系统闭环传递函数的标准形式：
2 n C ( s) ( s ) 2 R(s) s 2 2n s n
其系统方框图：
3. 5 二阶系统的时域分析
3.5.2 二阶系统的单位阶跃响应
（1）过阻尼（ ）的情况： 1
误差与偏差之间是存在一定的函数关系的，此关系与主反 馈通道上的环节有关。
稳态误差不但与系统的结构和参数有关，还与系统的输入
信号有关。 稳态误差可以利用终值定理，通过误差闭环传递函数求得。
3. 3 线性控制系统的稳定误差分析与计算
3.3.2 参考输入作用下的稳态误差
（1）0型系统跟随阶跃函数信号，Ⅰ型系统跟随速度函数
a1a4 a0 a5 b2 a1
3. 2 线性控制系统的稳定性分析
3.2.3 劳斯稳定判据
例3-1 设控制系统的闭环特征方程为 D(s) s 4 2s 3 3s 2 4s 3 0 试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。
解：列劳斯阵列
阵列的第一列元素出现负元素，所以系统不稳定。
3.3.3 干扰输入作用下的稳态误差
（1）干扰输入作用点之前的前向通道环节为0型的系统在
阶跃函数信号作用下，或I型的系统在斜坡函数信号的作用
下，或II型的系统在加速度函数信号的作用下，引起的稳态 误差为常值，且与干扰输入作用点之前的前向通道环节的
放大倍数K1有关；
（2）提高干扰输入作用点之前的前向通道环节的放大倍数
3. 5 二阶系统的时域分析
3.5.2 二阶系统的单位阶跃响应
（2）临界阻尼（ ）的情况： 1
s1 s2 n
s1 为两个相等的负实数根，位于 s2 与 [s]左半平面。
c(t ) 1 ent (1 n t )
二阶系统临界阻尼情况下的单位阶跃响应曲线是一条由零 开始，按指数规律单调上升最终趋于1的非振荡曲线 。
3. 6 高阶系统的时域分析
3.6.1 高阶系统的数学模型
三阶系统的闭环传递函数：
2 n p C ( s) ( s ) 2 2 R(s) (s 2n s n ) (s p)
( p 0)
当 0 1 时，特征方程的三个根为