更高更妙的物理竞赛课件5：物系相关速度

rω
v
α vn v0
专题5-例6 如图所示，线轴沿水平面做无滑动的滚动，并且
线端A点速度为v，方向水平．以铰链固定于B点的木板靠在线轴上， 线轴的内、外径分别为r和R．试确定木板的角速度ω与角α的关系．
考察板、轴接触的切点C速度
板上C点与线轴上C 点有相同的法向速度vn,
且v板n 上vn正 B是CC点关于RBc轴ot的2转动速度
线状相交物系交叉点的速度是:
相交双方沿对方切向运动分速 度的矢量和.
vt
θ vn v
vn
A
v1
Oαvv2D1dBd v1d
C v2
v0
v2d
专题5-例1 如图所示，AB杆的A端以匀速v运动，在运动时杆恒与一
半圆周相切，半圆周的半径为R，当杆与水平线的交角为θ时，求杆的角速度ω及 杆上与半圆相切点C的速度．
v=rω，r是对基点的转动半径，ω是刚体转动角速度．
刚体各质点自身转动角速度总相同且与基点的选择无关．
杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：
在同一时刻必具有相同的沿 杆、绳方向的分速度.
v2
v1
v0 θ θ
v1
接触物系接触点速度的相关特征是：
沿接触面法向的分速度必定相 同，沿接触面切向的分速度在 无相对滑动时相同.
度ω旋转，整体绕Ｏ点做匀速圆周运动，若接触部分不打滑，求旋转
半径OA及旋转一周所需时间T．
设旋转半径为x，则由几何关系:
r
x
L
Rr
O
接触处不打滑，则A点（即接触
r
R
A vA L B
点）移动速度即为
vA r
则
T 2 x
vA
R
2 l
r
r
如图所示，绳的一端固定，另一端缠在圆筒上，圆筒半径为
R，放在与水平面成α角的光滑斜面上，当绳变为竖直方向时，圆筒转动角速度 为ω(此时绳未松驰)，试求此刻圆筒与绳分离处A的速度以及圆筒与斜面切点C的 速度．
这是杆约束相关速度问题
考察杆切点C,由于半圆 B
静止,C点速度必沿杆!
C
杆A点速度必沿水平!
以C为基点分解v:
R
由杆约束相关关系: vc v1 v cos
θ
v2 θ
A
v
v2是A点对C点的转动速度,故
v sin R cot
v sin2 R cos
专题5-例2 如图所示，合页构件由三个菱形组成，其边长之比为
：
B
α
C
vn
A
v
线轴上C点的速度：它应是C点对轴心
O的转动速度vCn和与轴心相同的平动速度 vO的矢量和，而vCn是沿C点切向的，则C
点法向速度vn应是 ：vn v0 sin
vCnC
C
α v0 v
vn
r v0
线轴为刚体且做纯滚动，故以线轴
与水R平v面r 切 点vR0 为v基0 点R，R应r 有v
1 cos v
是其相对于参照系A的速度vx与参照系A对静止参照系速度
vxcosθ的合成， 即 v vBA vx cos
由上
v
vx 1 cos
专题5-例4 如图所示，半径为R的半圆凸轮以等速v0沿水平面
向右运动，带动从动杆AB沿竖直方向上升，O为凸轮圆心，P为其 顶点．求当∠AOP=α时，AB杆的速度．
这是接触物系接触点相关速度问题 B
A
轴环O2速度为v，将此速度沿轴环 O1、O2的交叉点A处的切线方向
O2 O1
O2
dv
分解成v1、v2两个分量:
v2
由线状相交物系交叉点相关
速度规律可知，交叉点A的速度
A v
即为沿对方速度分量v1! 由图示几何关系可得:
R
θ
vA
v
2 sin
v 2
R
O1 θ
d
R2
d 2
2
R v
4R2 d2
v1
O2
对方切向运动分速度的矢量和，
φ
滑环速度即为杆沿圆圈切向分速
u
度:
v u
sin
专题5-例8 如图所示，直角曲杆OBC绕O轴在图示平面内转
动，使套在其上的光滑小环沿固定直杆OA滑动．已知OB=10 cm，
曲杆的角速度ω=0.5 rad/s，求φ=60°时，小环M的速度．
这是线状交叉物系交叉点相关速度问题
R
1 sin sin
R
如图所示，长度l＝10 cm的棒在光滑水平面上转动，同时， 以速度v＝10 cm/s滑动，离棒的中心距离L＝50 cm处有竖直的墙．要使棒平着与 墙相撞，试问棒的角速度ω应为多少？
2
则球角速度
2v R
根据刚体运动的速度法则:
OR
A
45o
B
C
球表面与瞬时转轴距离最大的点有最大速度!
vmax R 1
2 2
21 v
如图，由两个圆环所组成的滚珠轴承，其内环半径为R2，外
环半径为R1，在二环之间分布的小圆球（滚珠）半径为r，外环以线速度v1顺时针 方向转动，而内环则以线速度v2顺时针方向转动，试求小球中心围绕圆环的中心顺 时针转动的线速度v和小球自转的角速度ω，设小球与圆环之间无滑动发生．
轴上A点具有对轴心的转动速度 V=Rω和与轴心相同的平动速度V0：
v0α
Vα
vnV0
VA
绳上A点具有沿绳方向速度v0和 A
V0
与轴A点相同的法向速度vn：
O
由于绳、轴点点相切，有
C
v0 R V0 cos
由于纯滚动，有
V0 r
v0
r cos R
V0
r
r
cos
R
v0
图中的AC、BD两杆以匀角速度ω分别绕相距为l的A、
本题属刚体各点速度及接触点速度问题
已知滚珠球心速度为v，角速度为ω，
r ωB
根据刚体运动的速度法则:
ωA r
滚珠与内环接触处A速度
vA v r v2
Fra Baidu bibliotekR1
R2 v2 vω v1
滚珠与外环接触处B速度
vB v r v1
∵滚珠与两环无滑动，∴两环 与珠接触处A、B切向速度相同
v v1 v2 2
A
2θ
60° O
α
环M的角速度为2ω!
l
R θβ B
环M的线速度为 vM 2
l 2 3 l
33
如图,一个球以速度v沿直角斜槽ACB的棱角做无滑 动的滚动．AB等效于球的瞬时转轴．试问球上哪些点的速度最大？ 这最大速度为多少？
本题属刚体各点速度问题
球心速度为v， 则对瞬时转轴AB:
v 2 R
圆筒与绳分离处A速度vA如图:
绳竖直时设圆筒中心速度为v0
以A为基vv点O,由刚vvA体速vv度n 法则,O点速度是
vA vn cot R cot
考察圆筒与斜面切点C速度:
vAnCαO
vA vA
vOvOvn
以O为基点,由刚体速度法则,C点速度是
vvC vvO vvn
即vC
vO
R
R sin
由三位舞者运动的对称性可知， vn A 他们会合点在三角形ABC的中心O
每人的运动均可视做绕O转动的
Ovt
同时向O运动，
B 考虑A处舞者沿AO方向分运动考虑,到达O点历时
C
AO 2l
t
v cos 30o 3v
由于舞者匀速率运动,则
2l s vt
3
如图所示，一个圆台，上底半径为r，下底半径为R 其母线AB长为L，放置在水平地面上，推动它以后，它自身以角速
根据接触物系触点速度相关特 征，两者沿接触面法向的分速度相 同，即
vA cos v0 sin
vA v0 tan
vA
α PA α O
α
v0
v0
专题5-例5 如图所示，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光
滑钉子A上，以恒定的速度v拉绳，当绳与竖直方向成α角时，求线
轴中心O的运动速度v0．线轴的外径为R、内径为r，线轴沿水平面做 无滑动的滚动．
由图示知 2 2 2
A1
2
B2
v1
v1
vA1 A2
vB2 vA2
vB2 2 vA1 2 vA2
由几何关系
v A1
v 2
,
v
A
2
5v 6
vB2
17 6
专题5-例3 如图所示，物体A置于水平面上，物A前固定有动滑轮B，D
为定滑轮，一根轻绳绕过D、B后固定在C点，BC段水平，当以速度v拉绳头时，
顶杆AB可在竖直滑槽K内滑动，其下端由凸轮M推 动．凸轮绕O轴以匀角速ω转动，在图示时刻，OA＝r，凸轮轮缘与 A接触处法线n与OA之间的夹角为α，试求顶杆的速度．
杆与凸轮接触点有相同的法向速度!
根据接触物系触点速度相关特
征，两者沿接触面法向的分速度相
同，即
α
ωr
r sin v杆 cos
v杆 r tan
物体A沿水平面运动，若绳与水平面夹角为α，物体A 运动的速度是多大？
这是绳约束相关速度问题
D
v
绳BD段上各点有与绳端D相同
的沿绳BD段方向的分速度v；
B
设A右移速度为vx，即相对于 A
vx
C
A，绳上B点是以速度vx从动
滑轮中抽出的，即 vBA vx
引入中介参照系-物A ，在沿绳BD方向上，绳上B点速度v
考察绳、轴接触的切点B速度
A
轴上B点具有与轴心相同的平动
α
速度v0与对轴心的转动速度rω： 绳上B点沿绳方向速度v和与轴
R r v0
O
B点相同的法向速度vn：
C
由于绳、轴点点相切，有
α
v v0 sin r
线轴沿水平面做纯滚动
v0 R
若线轴逆时针滚动，则
v0
Rv
Rsin r
O
B
v
v0
r
R
R sin
Rr
D
R
专题5-例7 如图所示，水平直杆AB在圆心为O、半径为r的固
定圆圈上以匀速u竖直下落，试求套在该直杆和圆圈的交点处一小滑 环M的速度，设OM与竖直方向的夹角为φ．
这是线状交叉物系交叉点相关速度问题
将杆的速度u沿杆方向与圆圈切 线方向分解:
M B
φ
滑环速度即交叉点速度,方向沿
O
圆圈切向;
根据交叉点速度是相交双方沿
♠研究对象
不发生形变的理想物体
实际物体在外力作用下发生的形变效应不显著可被忽略 时,即可将其视作刚体．
具有刚体的力学性质，刚体上任意两点之间的相对距 离是恒定不变的; 任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合 而成的.
♠ 刚体运动的速度法则
刚体上每一点的速度都是与基点(可任意选择)速度相 同的平动速度和相对于该基点的转动速度的矢量和.
根据刚体运动的速度法则,C点
速度为: vvC vv vvCn
2v 2
v2
3 2
l
2
板角速度 2v
v
l
同理,速度为3v的点满足
c
v
b
v
xa
x
vcn=lω
vc=2v
vn=xω
V=3v
3v2 v2 x2 x 2l
如图,A、B、C三位芭蕾演员同时从边长为l的三角形顶点A、 B、C出发，以相同的速率v运动，运动中始终保持A朝着B，B朝着C，C朝着A．试 问经多少时间三人相聚？每个演员跑了多少路程？
R
r
H
r v An
α vA
由几何关系
R H r Hh
hR
M
H v影 H h vA
α
vvn影
如图所示,缠在线轴A上的线被绕过滑轮B以恒定速率
v0拉出，这时线轴沿水平面无滑动地滚动．求线轴中心O点的速度随 线与水平方向的夹角α的变化关系．线轴的内、外半径分别为R与r．
考察绳、轴接触的切点A速度
B v0
B
v杆K
A rα
nM
一人身高h ，在灯下以匀速率vA沿水平直线
行走．如图所示，设灯距地面高度为H，求人影的顶端Ｍ
点沿地面移动的速度 ．
借用绳杆约束模型
设人影端点M移动速度为v影 ,以光源为基点,将vA和v影 分解为沿光线方向“伸长速度”和对基点的“转动速度”
由一条光线上各点转动角速
度相同：
v影 sin vA sin
3∶2∶1，顶点A3以速度v沿水平方向向右运动，求当构件所有角都为直角时，顶
点Ｂ2的速度vB2．
这是杆约束相关速度问题
分析顶点A2、A1的速度：
A0
B1 A1
B2
B3
A2 A3
v
2
2
v1 2 vA1 v2 2 vA2
顶点B2，既是A1B2杆上的点，
v1v2
又是A2B2杆上的点，分别以A1、 A2为基点，分析B2点速度：
O
M
由于刚性 曲杆 OBC以 O为 轴 转 动 ， 故 BC 上 与 OA直
O 60°vMB
C vMAAC A
杆交叉点M的速度方向垂
30°
直于转动半径OM、大小是:
B
vBCM
B
vBCM
OB
cos
10cm/s
根据交叉点速度相关特征，该速度沿OA
方向的分量即为小环速度，故将vBCM沿
MA、MB方向分解成两个分速度:
v1 v2
2r
一片胶合板从空中下落，发现在某个时刻板上a 点速度和b点 速度相同：va=vb=v，且方向均沿板面；同时还发现板上c点速度大小比速度v大一
倍，c点到a、b两点距离等于a、b两点之间距离．试问板上哪些点的速度等于3v？
本题属刚体各点速度问题
∵板上a、b两点速度相同，故a、
b连线即为板瞬时转动轴!
小环M的速度即为vMA：
vM vBCM
cot
30o
10
3 cm/s
专题5-例9 如图所示，一个半径为R的轴环O1立在水平面上，
另一个同样的轴环O2以速度v从这个轴环旁通过，试求两轴环上部交
叉点A的速度vA与两环中心之距离d之间的关系．轴环很薄且第二个 轴环紧傍第一个轴环．
本题求线状交叉物系交叉点A速度
Ｂ两固定轴在同一竖直面上转动，转动方向已在图上示出．小环M
套在两杆上，t=0时图中α=β=60°，试求而后任意时刻t（M未落地） M运动的速度大小．
本题属线状交叉物系交叉点速度问题
因两杆角速度相同，∠AMB=60°不变
D
C
M
套在两杆交点的环M所在圆周半径为
R
l 2cos 30o
l 3
杆D转过θ圆周角，M点转过同弧上2θ的圆心角