第十一章 压杆稳定
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取X截面研究弹性范围内的挠曲线方程：
d2y dx2
M (x) EI
Plj EI
y;
令 Plj EI
k
2
,
则有
d2y dx2
k
2
y
0;
其通解为y c1 sin kx c2 cos kx;
由边界条件x 0, y 0; x l, y 0; 得c2 0;c1 sin kl 0;
n取不为零的最小值，即 取n 1,所以
4 5
47.7kN;
实际工程中应再考虑安全系数，取[P]=Pmax/n。
§11-4 压杆的稳定性计算及举例
一、 稳定条件
二、稳定计算举例
例11-3 一螺旋式千斤顶,若螺杆旋出的最大长度l=38cm, 内径d0=4cm,材料为A3钢，最大起重量P=80KN,规定 的稳定安全系数nw=3,试校核螺杆的稳定性。
压杆稳定—压杆保持其原有直线平衡状态的能 力，称其稳定性。（指受压杆件其平衡状态的稳 定性）
细长压杆在压力逐渐增大至某一数值时，突然 变弯直至弯断的现象称为丧失稳定或失稳。
临界力—压杆在临界平衡状态时所受的轴向压 力，称作临界压力或临界荷载。
§11-2 细长压杆的临界力
一、两端铰支细长压杆的临界力
为加大杆的承载能力，改变支承方式为两端固定（或加中间
支承减小杆长），则μ＝0.5,
l
i
129.9 2
64.95
p
123
为超出比例极限的失稳，应采用经验公式计算临界应力。
lj a b2 235 0.0066864.952 206.8MPa
Plj lj A 206 .8 4200 868 .7kN P 500 kN
n lj
196 .4 63.66
3.08 nw
3
故千斤顶的螺杆是稳定的。
§11-5 提高压杆稳定的措施
提高压杆的临界力，可以从下面两方面考虑：
一、 柔度方面：
1. 减少压杆长度；或加中间支承，如组合截面加横格条连接； 2. 改善支承条件，减小长度系数μ：0.5<0.7<1<2; 3. 选择合理截面：与梁弯曲的合理截面类似，取WZ/A的小值； 另外，两端支承各方向相同时取对称截面,否则取不对称截面。
解:将螺杆简化为下端固定，上端自由的压杆,故螺杆的惯
性半径为:
i d 1cm 4
所以柔度为:
l i
2 38 1
76
p
123
属中小柔度杆
螺杆的实际工作应力为：
lj a b2 235 0.00668 762 196.4MPa
P A
80 103
0.042
63.66MPa
4
螺杆的实际安全系数为：
可见，改善支承条件可有效提高压杆稳定性。若采用加大截面
百度文库
的方式，用料太多。
例11-2 图示支架中圆形截面压杆AB的直径为28mm,材料为A3钢， E=200GPa。试求荷载P的最大值。
解：AB压杆l=1000mm,
d 2
A
282
615 .75mm 2;
d 4
I ;
4
4
64
i I d 7mm; 1;
解：查表知A=42cm2,imin=2.31cm,μ=1,则柔度
l
i
1 3000 23.1
129.9
p
123
大柔度杆
由欧拉公式
lj
2E 2
2 200 103 129 .92
117 MPa
Plj lj A 117 4200 491 .3kN P 500 kN 所以，此杆不能安全承受500KN压力，而将发生失稳破坏。
＝ l 称为压杆的柔度（长细比）；反映压杆的柔软程度。
i
二、欧拉公式的适用范围，三类压杆
λp—分界柔度，取决与
材料的力学性质。A3钢：
E 200GPa, p 200EPa, p
1、大柔度杆（细长杆）：
2 200000 100
200
2、中柔度杆（中长杆）： 当临界应力超出比例极限时，材料处于弹塑性阶段，
A4
l
i
11000 7
142.9
p
123;
大柔度杆；
lj
2E 2
2 200000 142 .92
96.7MPa
Plj lj A 96.7 615 .75 59.6kN NBA;
由结点B的平衡条件确定支架的承载力Pmax： Y 0, NBA sin Pmax 0; Pmax NBA sin 59.6
此类压杆的稳定称弹塑性稳定。临界应力由经验公式计算。
式中：a、b—与材料有关的常数,可查表确定。(p291,表11-1) 3、小柔度杆（粗短杆）：
三、临界应力总图—临界应力 CR与柔度的函数关系曲线。
例11-1 22a号工字钢柱，长l＝3,两端铰接，承受压力P＝500kN。 钢的弹性模量E＝200GPa,试验算此杆是否能够承受此压力。
—两端铰支细长压杆的临界力计算公式（欧拉公式）
二、其他支承情况下细长压杆的临界力
不同支承情况的压杆其边界条件不同，临界力值也不 同。也可由挠曲线比较得出欧拉公式的通式：
式中： E材料的弹性模量；
Imin压杆横截面对中性轴的最小惯性矩；单位：m4；
μl计算长度；
长度系数，与杆端支承有关。
一端固定，一端自由压杆：μ＝2；
两端铰支细长压杆：
μ＝1；
一端固定，一端铰支压杆：μ＝0.7；
两端固定细长压杆：
μ＝0.5；
不同支承情况的临界力公式可查表确定。
§11-3 柔度（长细比），压杆的临界应力
一、临界应力与柔度
临界应力—临界压力作用下压杆处于临界直线平衡状态时 的应力。
其中：i I — 截面的惯性半径；为截 面的几何性质； A
二、材料方面：
1. 大柔度杆：采用普通材料，成本低， 而E值与高强度钢材相近；
2. 中小柔度杆：采用高强度钢材，其 a＝σS和b值大。
本章作业
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习 题：
11-3、11-9
d2y dx2
M (x) EI
Plj EI
y;
令 Plj EI
k
2
,
则有
d2y dx2
k
2
y
0;
其通解为y c1 sin kx c2 cos kx;
由边界条件x 0, y 0; x l, y 0; 得c2 0;c1 sin kl 0;
n取不为零的最小值，即 取n 1,所以
4 5
47.7kN;
实际工程中应再考虑安全系数，取[P]=Pmax/n。
§11-4 压杆的稳定性计算及举例
一、 稳定条件
二、稳定计算举例
例11-3 一螺旋式千斤顶,若螺杆旋出的最大长度l=38cm, 内径d0=4cm,材料为A3钢，最大起重量P=80KN,规定 的稳定安全系数nw=3,试校核螺杆的稳定性。
压杆稳定—压杆保持其原有直线平衡状态的能 力，称其稳定性。（指受压杆件其平衡状态的稳 定性）
细长压杆在压力逐渐增大至某一数值时，突然 变弯直至弯断的现象称为丧失稳定或失稳。
临界力—压杆在临界平衡状态时所受的轴向压 力，称作临界压力或临界荷载。
§11-2 细长压杆的临界力
一、两端铰支细长压杆的临界力
为加大杆的承载能力，改变支承方式为两端固定（或加中间
支承减小杆长），则μ＝0.5,
l
i
129.9 2
64.95
p
123
为超出比例极限的失稳，应采用经验公式计算临界应力。
lj a b2 235 0.0066864.952 206.8MPa
Plj lj A 206 .8 4200 868 .7kN P 500 kN
n lj
196 .4 63.66
3.08 nw
3
故千斤顶的螺杆是稳定的。
§11-5 提高压杆稳定的措施
提高压杆的临界力，可以从下面两方面考虑：
一、 柔度方面：
1. 减少压杆长度；或加中间支承，如组合截面加横格条连接； 2. 改善支承条件，减小长度系数μ：0.5<0.7<1<2; 3. 选择合理截面：与梁弯曲的合理截面类似，取WZ/A的小值； 另外，两端支承各方向相同时取对称截面,否则取不对称截面。
解:将螺杆简化为下端固定，上端自由的压杆,故螺杆的惯
性半径为:
i d 1cm 4
所以柔度为:
l i
2 38 1
76
p
123
属中小柔度杆
螺杆的实际工作应力为：
lj a b2 235 0.00668 762 196.4MPa
P A
80 103
0.042
63.66MPa
4
螺杆的实际安全系数为：
可见，改善支承条件可有效提高压杆稳定性。若采用加大截面
百度文库
的方式，用料太多。
例11-2 图示支架中圆形截面压杆AB的直径为28mm,材料为A3钢， E=200GPa。试求荷载P的最大值。
解：AB压杆l=1000mm,
d 2
A
282
615 .75mm 2;
d 4
I ;
4
4
64
i I d 7mm; 1;
解：查表知A=42cm2,imin=2.31cm,μ=1,则柔度
l
i
1 3000 23.1
129.9
p
123
大柔度杆
由欧拉公式
lj
2E 2
2 200 103 129 .92
117 MPa
Plj lj A 117 4200 491 .3kN P 500 kN 所以，此杆不能安全承受500KN压力，而将发生失稳破坏。
＝ l 称为压杆的柔度（长细比）；反映压杆的柔软程度。
i
二、欧拉公式的适用范围，三类压杆
λp—分界柔度，取决与
材料的力学性质。A3钢：
E 200GPa, p 200EPa, p
1、大柔度杆（细长杆）：
2 200000 100
200
2、中柔度杆（中长杆）： 当临界应力超出比例极限时，材料处于弹塑性阶段，
A4
l
i
11000 7
142.9
p
123;
大柔度杆；
lj
2E 2
2 200000 142 .92
96.7MPa
Plj lj A 96.7 615 .75 59.6kN NBA;
由结点B的平衡条件确定支架的承载力Pmax： Y 0, NBA sin Pmax 0; Pmax NBA sin 59.6
此类压杆的稳定称弹塑性稳定。临界应力由经验公式计算。
式中：a、b—与材料有关的常数,可查表确定。(p291,表11-1) 3、小柔度杆（粗短杆）：
三、临界应力总图—临界应力 CR与柔度的函数关系曲线。
例11-1 22a号工字钢柱，长l＝3,两端铰接，承受压力P＝500kN。 钢的弹性模量E＝200GPa,试验算此杆是否能够承受此压力。
—两端铰支细长压杆的临界力计算公式（欧拉公式）
二、其他支承情况下细长压杆的临界力
不同支承情况的压杆其边界条件不同，临界力值也不 同。也可由挠曲线比较得出欧拉公式的通式：
式中： E材料的弹性模量；
Imin压杆横截面对中性轴的最小惯性矩；单位：m4；
μl计算长度；
长度系数，与杆端支承有关。
一端固定，一端自由压杆：μ＝2；
两端铰支细长压杆：
μ＝1；
一端固定，一端铰支压杆：μ＝0.7；
两端固定细长压杆：
μ＝0.5；
不同支承情况的临界力公式可查表确定。
§11-3 柔度（长细比），压杆的临界应力
一、临界应力与柔度
临界应力—临界压力作用下压杆处于临界直线平衡状态时 的应力。
其中：i I — 截面的惯性半径；为截 面的几何性质； A
二、材料方面：
1. 大柔度杆：采用普通材料，成本低， 而E值与高强度钢材相近；
2. 中小柔度杆：采用高强度钢材，其 a＝σS和b值大。
本章作业
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习 题：
11-3、11-9