反应堆曲率和临界计算任务

两个重要结果：
裸堆单群近似的临界方程
k1 k 1 2 2 1 L B
当反应堆处于临界状态时，中子通量密度按最小特征 值 所对应的基波特征函数分布，也就是说稳态反应 堆的中子通量密度空间分布满足波动方程
2 2 (r ) Bg (r ) 0
几种几何形状裸堆的几何曲率和中子通量分布
2 (r , z ) 1 (r , z ) 2 (r , z ) 2 B (r , z ) 0 g 2 2 r r r z
边界条件： （1）中子通量密度在堆内各处均为有限值；
（2）当r=R或 z
H 2
(r , z ) 0 时，
。
利用分离变量法解方程，最后得：
2.405 2 Bg Br2 Bz2 R H
2 2
反应堆曲率和临界计算任务
稳态反应堆内中子通量密度的空间分布满足波动方程 2 2 (r ) Bg (r ) 0 对于裸堆，几何曲率只与反应堆的几何形状和尺寸大 小有关，与反应堆的材料成分和性质没有关系。 材料曲率： k 1 2
keff
k 2 1 L2 Bg
k 1 k
单群理论的修正
修正后的临界条件和材料曲率为：
keff k 1 2 2 1 M B B2 m k 1 M2
例题：
4.2 有反射层反应堆的单群扩散理论
反射层的作用：
减少芯部中子泄漏，从而使得芯部的临界尺寸要比
1 (r , t ) D 2 (r , t ) a (r , t ) k a (r , t ) S0 ( r , t ) t
均匀裸堆的单群扩散方程的解
堆模型：长、宽无限大，厚度为a的平板裸堆 中子通量方程：
1 ( x, t ) 2 ( x, t ) D a ( x, t ) k a ( x, t ) 2 t x
边界条件： 在芯部与反射层的交界面上
c r
Dcc Drr
在芯部或反射层的外推边界上中子通量密度为零。
带有反射层的球形堆
芯部半径为R，反射层厚度为T。利用球坐标系，坐标原 点在球心。
芯部方程的解：
c (r ) A
sin( Bc r ) r
k2 , 都将小于 , kn
1，这时所有的(kn-1)都是负值， 规律衰减。
( x, t ) 将随时间 t按指数
超临界状态：若k1>1，则(k1-1)>0，这时中子通量密度 将随时间不断地增长，反应堆将处于超临界状态。 临界状态：若通过调整反应堆的尺寸或改变反应堆内 的材料成分，使k1恰好等于1，则当时间足够长时，系 统达到稳态。
偏微分方程化为：
2 ( x) 1 dT (t ) k 1 2 ( x) DT (t ) dt L
得：
2 ( x) B2 ( x) 0
其通解为：
( x) A cos Bx C sin Bx
根据边界条件及初始条件，利用数理方程相关知识得：
( x) An cos Bn x An cos
Tn Ce( kn 1)t / ln
(2n 1) x a
得：
[cos ( x, t ) An
n 1

(2n 1) x]e( kn 1)t / ln a
利用初值条件得：
2 a/2 (2n 1) 0 ( x) cos An xdx a / 2 a a
代入方程：
2 a/2 (2n 1) (2n 1) ( x, t ) [ 0 ( x) cos xdx][cos x]e( kn 1)t / ln a / 2 a a n 1 a

热中子反应堆的临界条件
次临界状态：对于一定几何形状和体积的反应堆芯部，
若
对应的 B12 k1小于1，那么，其余的
初始条件： ( x,0) 0 ( x) 边界条件：
( , t ) ( , t ) 0
a 2
a 2
a 2
0
a 2
x
由上述条件的偏微分方程
k 1 1 ( x, t ) 2 ( x, t ) 2 ( x, t ) D t L
利用分离变量方法，令 ( x, t ) ( x)T (t )
第4章 均匀反应堆的临界理论
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4.1 均匀裸堆的单群理论
对于由燃料和慢化剂组成的均匀增殖介质的反应堆系 统，根据裂变反应率的物理含义
SF (r , t ) f (r , t )
根据无限介质增殖因数定义
SF (r , t ) ka (r , t )
由以上关系式，代入连续方程
球形反应堆 球坐标下的波动方程：
d 2 (r ) 2 d (r ) 2 B (r ) 0 g 2 dr r dr
通解：
(r ) C
sin Bg r r E cos Bg r r
利用边界条件，E必须为零，得：
2 Bg R

2
有限高圆柱体反应堆 柱坐标下的波动方程：
无反射层时的小，节省一部分燃料。 提高反应堆的平均输出功率。 反射层材料选取： 散射截面大
吸收截面小
良好的慢化能力
一侧带有反射层的反应堆
芯部稳态单群扩散方程
Dc2c (r ) acc (r ) kacc (r ) 0
反射层的稳态单群扩散方程
2r (r ) kr2r (r ) 0
Bm

L2
它反映增值介质材料的性质，只取决于反应堆的材料 成分和特性，与反应堆的几何形状及大小无关。 反应堆达到临界的条件是材料曲率等于几何曲率。
2 2 Bm Bg
反应堆临界问题的计算要解决的问题
给定反应堆材料成分，确定它的临界尺寸 始定反应堆的形状和尺寸，确定临界时反应堆的材料成分 求反应堆的有效增值系数keff 或反应性。