01运动学习题

h l
db dt
=
h h
l
v0
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1-6 长度为5m的梯子，顶端斜靠在竖直
的墙上。设 t =0 时，顶端离地面4m,当顶端
以2m/s的速度沿墙面匀速下滑时，求：
（1）梯子下端的运动方程；并画出x~t 图
和v~t图（设梯子下端与上端离墙角的距离
分别为 x 和 y ）。
（2）在 t =1s 时，
a mg
cosa =
1 1+tg
2a
=
yo 1+ y 2
x
由 N = 0 得：y3+3y 4 =0
( y 1)( y 2+ y + 4 ) = 0
其中 ( y2+ y +4)= 0 有两个虚根，不符题意。
... y1=1, x =1/2
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1-12 在竖直平面内，一光滑钢丝被弯成
图示曲线。质点穿在钢丝上，可沿它滑动。
求：质点的速度和轨道方程。
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已知：x =ae kt
dy dt
=
b k e kt
y =b t =0
解： dy = b k e kt dt
y = dy = b k e kt dt +c = b e kt +c
当 t=0
y
t
=
=0
b
+
c
=b
... c =0
轨迹方程： {
x =aekt y=be kt
得：
c=
3 2
b
代入式（1）得：
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m
...
(v + c)2 + t 2= (v0+ c)2
（1）
得： c
=
3 2
b
v0 = b 代入（1）化简后得：
v 2+ 3bv + t 2 = 4b2
（2）
解得： v = 3b
25b2 4t 2 2
式中取正号，对 t 求导后得：
a=
dv dt
=
2t 25b2 4t 2
a=
v3 t3
v1 t1
=
50 ( 2 ) 31
= 24 m s2
(4)
a
=
dv dt
=
12t =
12 ×3
= 36 m s2
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1-3 一辆汽车沿笔直的公路行驶，速度 和时间的关系如图中折线OABCDEF所示。
(1)试说明图中OA、AB、BC、CD、 DE、EF等线段各表示什么运动？
(2)根据图中的曲线与数据，求汽车在整 个行驶过程中所走的路程、位移和平均速度。
y Ox
hr
x
dr dt
=d
x 2+ dt
h2
=
x dx x 2+h2 dt
=
v0
v =ddrt =ddxt i =
v0 x
x 2+h 2 i
a
=ddvt
=
d 2x dt 2
i
=
v
h2 2
0
x3
i
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1-8 在质点运动中，已知 x = aekt ,
dy/dx = -bke-kt, 当 t = 0, y=y0=b
tg a
=
7 3
a =66.80
v = 32+ 72 = 7.61m/s
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1-11 一质点沿光滑的抛物线轨道，从起 始位置（2，2）无初速地滑下，如图。问质 点将在何处离开抛物线？抛物线方程为:
y2 = 2x，式中x、y以m为单位。
y (2,2)
v
o
x
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由 y2 = 2x两边微分得： y
q
dv dt
=
dv ds
ds dt
=
g sinq =
g
dy ds
x
v
dv ds
=
g
dy ds
v0 v
v
dv
y
= y
g dy
0
v dv = g dy
v 2 v02 = 2g (y y0)
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1-13 如图所示，杆AB以匀角速度绕A
点转动，并带动水平杆OC上的质点M运动。
设起始时刻杆在竖直位置，OA= h 。
计算：
（1）在最初2s内的平均速度，2s末的瞬时
速度；
（2）1s末到3s末的位移、平均速度；
（3）1s末到3s末的平均加速度；此平均加
速度是否可用
a
=
a 1+ a 2 2
计算？
（4）3s末的瞬时速度。
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解： x = 4t - 2t3
（1）Δx = x 0 = 4t - 2t3= 4×2 2×23 = 8 m
v/(m.s-1)
-10
o
t/s 10 20 30 40 50 60
-10
-10
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解：由v~t 图的总面积可得到路程为：
S
=
1 2
(30+10)×5
+
1 2
(20×10)
=200(m)
总位移为：
Δx
=
1 2
(30+10)×5
所以平均速度也为零
1 2
(20×10)
=0
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1-4.直线 1与圆弧 2分别表示两质点A、B
已知其切向加速度为 -gsin q ，q 是曲线切向
与水平方向夹角。
试证：质点在各 y 处的速率v与其位置
ds q dy
坐标 y 有如下关系：
v 2-v02 = 2g (y0-y)
q
式中 v0与 y0分别为
其初速度与初位置。
x
结束 目录
y
dv dt
=
g sinq
ds
sinq
=
dy ds
q dy
ds q dy
（3）式中 t 以s为单位，x、y以m为单位，
求:质点在t = 4 时的速度的大小和方向。
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x =3t +5
y=
1 2
t 2+3t
4
解： (1)
r
=
(
3t
+5)
i+
(
1 2
t
2+ 3 t
4) j
(2)
y
=
1 2
(
x
5 3
)2+
3
(
x
5 3
)
4
(3) v =3 i + (t +3) j =3 i + 7 j
下端的速度。
5m
4m v0
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y=y0=4
t=0
dy dt
=
v0
y=y0 v 0t
A
l = 5m
y
v0
B
x 2+y2= l 2 将此式微分得：
x
2ydy +2xdx =0
用 y0=4, v0= 2,
dx dt
=
ydy x dt =
y x
(
v 0)
t =1代入，得B端 的速度。
= (y0 v 0t )v 0 = 4 = 0.87m/s
运动学习题
1-1 1-6 1-11 1-16 1-21 1-26
1-2 1-7 1-12 1-17 1-22 1-27
1-3 1-8 1-13 1-18 1-23 1-28
1-4 1-9 1-14 1-19 1-24
1-5 1-10 1-15 1-20 1-25
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1-1质点按一定规律沿轴作直线运动，在 不同时刻的位置如下：
v
=
Δx Δt
=
8 2
=
4m s
v=
dx dt
=4
6t 2 =4
6×22 =
20 m s
（2） Δx = x3 x2
= (4×3 2×33) (4×1 2×13)
= 44 m
v
=
Δx Δt
=
44 31
=
22 m s
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(3) v1 = 4 6t 2 = 4 6×12 = 2 m s
v3 = 4 6t 2 = 4 6×32 = 50 m s
x y=ab
dx dt
=
a
k
e
kt
d 2x dt 2
=
a k 2e
kt
d 2y dt
=
b k2e
kt
... a = a k2e kt i +b k2e kt j
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1-9一质点的运动方程为 r = i +4t 2 j + t k 式中r、t分别以m、s为单位.试求： （1）它的速度与加速度； （2）它的轨迹方程。
从同一地点出发，沿同一方向做直线运动的
v-t 图。已知B的初速v0=b m/s,它的速率由
v0变为0所化的时间为t1= 2bs,
（1）试求B在时刻 t
的加速度；
v
（2）设在B停止时，
A恰好追上B，求A的速 b
1
度；
（3）在什么时候，
2
A、B的速度相同？
o
2b t 结束 目录
v0 =b m/s,t1= 2bs, v0=0
（1）列出质点M沿水平杆OC的运动方程；
（2）求质点M沿杆OC沿动的速度和加速
度的大小。
O
xB w MC