一般形式的柯西不等式

+ a3b3≤6.
2.已知x,y,z,a∈R,且x2+4y2+z2=6,则使不等式 x+2y+3z≤a恒成立的a的最小值为 ( )
A.6
B. 66
C.8
D. 88
【解析】选B.由x2+4y2+z2=6,利用柯西不等式可得 (x+2y+3z)2≤(x2+4y2+z2)(12+12+32)=66,故有
【变式训练】 1.已知a,b,c∈R+,求证: ( a b c )( b c a ) 9.
b c a a b c
【证明】由柯西不等式知
a 2 b 2 c 2 b 2 c 2 a 2 左边 [( ) ( ) ( ) ] [( ) ( ) ( ) ] b c a a b c a b b c c a 2 2 ( ) 1 1 1 9， b a c b a c
在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3)时等号成立.
2.一般形式的柯西不等式 设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,
则(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)
2 (a b +a b + … +a b ) bi=0(i=1,2,…,n) 1 1 2 2 n n ≥__________________,当且仅当 ________________
类型二
利用柯西不等式求最值
【典例】已知a,b,c均为正数,且a+2b+4c=3. 求
,
i
当且仅当bi=λ ai时等号成立.
(2)设ai,bi同号且不为0(i=1,2,…,n),则 ≥
( a i ) 2
n i 1 n
ai i 1 bi
n
a b
i 1 i
,当且仅当bi=λ ai时,等号成立.
i
类型一
利用柯西不等式证明不等式
【典例】已知a+b+c=1,且a,b,c是正数,求证:
所以a2+4b2+9c2≥12. 答案:12
【知识探究】 探究点 一般形式的柯西不等式
1.三维形式的柯西不等式中等号成立的条件写成
a1 a 2 a3 b1 b 2 b3
可以吗?
提示:不可以.因为若出现bi=0(i=1,2,3)的情况,则分
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
式不成立了,但是,可以利用分式的形式来形象地记忆.
2.在一般形式的柯西不等式中,等号成立的条件记为 ai=kbi(i=1,2,3,…,n),可以吗?
x+2y+3z≤ 66 ,当且仅当 x 2y z 时,取等号.
1 1 3
再根据不等式x+2y+3z≤a恒成立,可得a≥
66.
3.已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为 _________.
【解析】因为(a2+4b2+9c2)(1+1+1)≥(a+2b+3c)2,
2.等号成立的条件 ai=k·bi(i=1,2,…,n)或bi=0,即: a1 = a 2 =…= a n
b1
b2
或b1=b2=…=bn=0.
bn
3.柯西不等式的两个变式
ai (1)设ai∈R,bi>0(i=1,2,…,n), i 1 bi
n 2
( a i ) 2
i 1 n
n
b
i 1
2 2 2 9. ab bc ca
【解题探究】本例不等式右边的9如何拆分才能运用 柯西不等式? 提示:9=(1+1+1)2.
【证明】左边=[2(a+b+c)]· ( [(a+b)+(b+c)+(c+a)]· (1+1+1)2=9. 当且仅当a=b=c=
1 3
1 1 1 ) ab bc ca 1 1 1 ( ) ≥ ab bc ca
所以原不等式成立.
2.已知a1,a2,…,an都是正实数,且a1+a2+…+an=1,求证:
a12 a 22 a n 12 an2 1 . a1 a 2 a 2 a 3 a n 1 a n a n a1 2
2 2 2 2 a a a a 1 n 1 【证明】左边= 2 n a1 a 2 a 2 a 3 a n 1 a n a n a1
=
时,等号成立,所以,原不等式成立.
【方法技巧】利用柯西不等式证明不等式时常用的技 巧
(1)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以巧拆常数.
(2)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以重新安排 各项的次序.
(3)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以改变式子 的结构,从而达到使用柯西不等式的目的. (4)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以添项.
=[(a1+a2)+(a2+a3)+…+(an-1+an)+(an+a1)]×
【补偿训练】利用柯西不等式证明a2+b2+c2+d2≥ ab+bc+cd+da.(a,b,c,d是正数)
【证明】(a2+b2+c2+d2)(b2+c2+d2+a2)
≥(ab+bc+cd+da)2, 所以a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da.
二
一般形式的柯西不等式
【自主预习】 1.三维形式的柯西不等式
设a1,a2,a3,b1,b2,b3是实数,则(a12+a22+a32)(b12+b22+
2 (a b +a b +a b ) bi=0(i=1,2,3) 或存 2 1 1 2 2 3 3 b3 )≥_______________,当且仅当 _____________
提示:不可以.若bi=0,而ai≠0,则k不存在.
【归纳总结】 1.对柯西不等式一般形式的说明
一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维
形式的柯西不等式的归纳与推广,其特点可类比二维形
式的柯西不等式来总结,左边是平方和的积,右边是积
的和的平方.在使用时,关键是构造出符合柯西不等式 的结构形式.
kbi 或存在一个数k,使得ai=___(i=1,2, …,n)时,等号成立.
【即时小测】 1.若a12+a22+a32=4,b12+b22+b32=9,则a1b1+a2b2+a3b3的最
大值为
A.4
(
)
B.6 C.9 D.3
【解析】选B.根据柯西不等式,知(a1b1+a2b2+a3b3)2 ≤(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)=36，所以-6≤a1b1+a2b2