线段垂直平分线的性质定理及其逆定理 教学课件
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用尺规作线段的垂直平分线. 已知:线段AB,如图. 求作:线段AB的垂直平分线.
作法:
C
1.分别以点A和B为圆心,以大
于AB/2长为半径作弧,两弧交于 点C和D.
2.
作直线CD.
A
B
则直线CD就是线段AB的垂直平
分线. 请你说明CD为什么是AB的垂直平 分线,并与同伴进行交流.
D
求证：点O在BC的垂直平分线上。
A N
O
C B
A
证明：连结OB。
N
∵ ON是AB的垂直平分线（已知）
∴ OA=OB（线段的垂直平分线 上的点和这条线段的两个端点的 距离相等） ∵ OA=OC（已知） ∴ OB=OC（等量代换） ∴点O在BC的垂直平分线上。
O C B
（和一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线 段的垂直平分线上。）
例3 在三角形ABC中，DE垂直平分AB，AB=8cm， 三角形ACD的周长为10cm。求三角形ABC的周长。
C D
A E
B
例4 如图：在直角三角形ABC中，∠A=90度，DE是 BC边上的垂直平分线，如果CE恰好是∠ACB的平分 线，求∠B的度数。
C
D
A E
B
例5 如图：三角形ABC中，AB=AC，∠A=120度， AB的垂直平分交BC于D。求证：BD=1/2DC。
线段垂直平分线的性质定理
已知: 线段AB，直线EF⊥AB，垂足为O， AO=BO，点P是EF上异于点 O的任意一点． 求证：PA=PB． E
P
A
F
O
B
证明：∵EF⊥AB(已知)， ∴∠POA=∠POB=90°(垂直的定义)。 E 在△PAO和△PBO中， AO=BO(已知)， ∠POA=∠POB(已证)， PO=PO(公共边)， ∴△PAO≌△PBO(SAS)。 ∴PA=PB。 A
O
P
B
F
例1 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P. 求证：PA=PB=PC; 分析：
M A
点P在线段AB的 垂直平分线上 PA=PB
点P在线段BC的 垂直平分线上 PB=PC
B
M’
P C N N’
PA=PB=PC
例2 已知：在Δ ABC中，ON是AB的垂直平分线 OA=OC。
A E
B
D
C
实际问题
浦东新区政府为了方便居民的生活，计划 在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购 物中心，试问，该购物中心应建于何处， 才能使得它到三个小区的距离相等。
A
B
C
线段的垂直平分线
实际问题
求作一点P，使它和 已△ABC的三个顶 点距离相等.
数学化
A
实 际 问 题
C
B
p
Байду номын сангаас
PA=PB=PC
线段的垂直平分线的作法
O
P
B
F
线段垂直平分线性质定理的逆定理
已知：如图，P为线段AB外的一点，且PA=PB。 求证，点P在线段AB的垂直平分线上。 E
P
A
F
O
B
证明：过点P作直线EF⊥AB，垂足为O，则 ∠POA＝∠POB＝90°( 垂直的定义 )。 在Rt△PAO和Rt△PBO中， E PA＝PB( 已知 )，PO＝PO( 公共边 )， ∴Rt△PAO≌Rt△PBO ( HL )。 ∴AO＝BO(全等三角形的对应边相等 )。 ∴EF是线段AB的垂直平分线 ( 线段垂直平分线的定义 ) 。 ∴点P在线段AB的垂直平分线上。 A
作法:
C
1.分别以点A和B为圆心,以大
于AB/2长为半径作弧,两弧交于 点C和D.
2.
作直线CD.
A
B
则直线CD就是线段AB的垂直平
分线. 请你说明CD为什么是AB的垂直平 分线,并与同伴进行交流.
D
求证：点O在BC的垂直平分线上。
A N
O
C B
A
证明：连结OB。
N
∵ ON是AB的垂直平分线（已知）
∴ OA=OB（线段的垂直平分线 上的点和这条线段的两个端点的 距离相等） ∵ OA=OC（已知） ∴ OB=OC（等量代换） ∴点O在BC的垂直平分线上。
O C B
（和一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线 段的垂直平分线上。）
例3 在三角形ABC中，DE垂直平分AB，AB=8cm， 三角形ACD的周长为10cm。求三角形ABC的周长。
C D
A E
B
例4 如图：在直角三角形ABC中，∠A=90度，DE是 BC边上的垂直平分线，如果CE恰好是∠ACB的平分 线，求∠B的度数。
C
D
A E
B
例5 如图：三角形ABC中，AB=AC，∠A=120度， AB的垂直平分交BC于D。求证：BD=1/2DC。
线段垂直平分线的性质定理
已知: 线段AB，直线EF⊥AB，垂足为O， AO=BO，点P是EF上异于点 O的任意一点． 求证：PA=PB． E
P
A
F
O
B
证明：∵EF⊥AB(已知)， ∴∠POA=∠POB=90°(垂直的定义)。 E 在△PAO和△PBO中， AO=BO(已知)， ∠POA=∠POB(已证)， PO=PO(公共边)， ∴△PAO≌△PBO(SAS)。 ∴PA=PB。 A
O
P
B
F
例1 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P. 求证：PA=PB=PC; 分析：
M A
点P在线段AB的 垂直平分线上 PA=PB
点P在线段BC的 垂直平分线上 PB=PC
B
M’
P C N N’
PA=PB=PC
例2 已知：在Δ ABC中，ON是AB的垂直平分线 OA=OC。
A E
B
D
C
实际问题
浦东新区政府为了方便居民的生活，计划 在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购 物中心，试问，该购物中心应建于何处， 才能使得它到三个小区的距离相等。
A
B
C
线段的垂直平分线
实际问题
求作一点P，使它和 已△ABC的三个顶 点距离相等.
数学化
A
实 际 问 题
C
B
p
Байду номын сангаас
PA=PB=PC
线段的垂直平分线的作法
O
P
B
F
线段垂直平分线性质定理的逆定理
已知：如图，P为线段AB外的一点，且PA=PB。 求证，点P在线段AB的垂直平分线上。 E
P
A
F
O
B
证明：过点P作直线EF⊥AB，垂足为O，则 ∠POA＝∠POB＝90°( 垂直的定义 )。 在Rt△PAO和Rt△PBO中， E PA＝PB( 已知 )，PO＝PO( 公共边 )， ∴Rt△PAO≌Rt△PBO ( HL )。 ∴AO＝BO(全等三角形的对应边相等 )。 ∴EF是线段AB的垂直平分线 ( 线段垂直平分线的定义 ) 。 ∴点P在线段AB的垂直平分线上。 A