高中数学选修4-4 简单曲线的极坐标方程(第二课时)
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四 柱坐标系与球坐标系简介
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第二讲 参数方程
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引言 一 平面直角坐标系 三 简单曲线的极坐标方程 第二讲 参数方程 二 圆锥曲线的参数方程 四 渐开线与摆线
引言
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第一讲 坐标系
一 曲线的参数方程
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一 平面直角坐标系
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二 极坐标系
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三 简单曲线的极坐标方程
2014年人教A版选修4-4课件 3.简单的极坐标方程
x
|OP|=|OA|cos∠POA. ∴圆的极坐标方程为
r=2acosq.
2. 直线的极坐标方程 问题2. 在直角坐标系中, 一条直线的方程是 y=x, 你能把它化成极坐标方程吗? 请你画出图形, 检验你 所得的极坐标方程. 由直角坐标与极坐标的互化 x=rcosq, y=rsinq, 得 rsinq=rcosq, 得 tanq =1 于是得 q = . 4 问题: 以 O 为极点, Ox 为极轴, 直线 l 的极坐标方程是 q = 4 吗?
例 2. 求过点 A(a, 0) (a>0), 且垂直于极轴的直 线 l 的极坐标方程. 解: 任取 l 上不同于点 A 的 一点 M(r, q ).
l M
A x
在 Rt△MOA中, ∠MOA=q, |OM|=r, |OA|=a,
则有 a=rcosq. 检验点 A(a, 0) 满足方程, ∴直线 l 的方程为
r q
O
a
rcosq =a.
练习(补充). 求过点 A(a, ) (a>0), 且平行于极 2 轴的直线 l 的极坐标方程.
解: 任取 l 上不同于点 A 的 一点 M(r, q ).
A
在 Rt△MOA中, ∠AMO=q, |OM|=r, |OA|=a,
检验点 A(a, ) 满足方程, 2 ∴直线 l 的方程为 rcosq =a. 则有 a=r sinq.
一 二 三 四
平面直角坐标系 极坐标系 简单曲线的极坐标方程 柱坐标系与球坐标系简介
第一课时 第二课时
第一课时 圆、直线 的极坐标方程
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1. 极坐标方程中的变量是什么?
2. 直线的极坐标方程和圆的极坐标方 程是怎样建立的?
高中数学选修4-4 1.3简单曲线的极坐标方程 人教版(2)精选教学PPT课件
例题2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直 于极轴的直线L的极坐标方程。 解：如图，设点 M ( , ) M 为直线L上除点A外的任 意一点，连接OM ﹚ o A x 在 Rt MOA 中有
OM cos MOA OA 即 cos a 可以验证，点A的坐标也满足上式。
求直线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图； 2、设点 M ( , ) 是直线上任意一点； 3、连接MO； 4、根据几何条件建立关于 , 的方 程，并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求。
练习：设点A的极坐标为 ( a , 0) ，直线l过 点A且与极轴所成的角为 ,求直线 l 的 极坐标方程。 M 解：如图，设点 M ( , ) ﹚ 为直线 l 上异于的点 o A x 连接OM， 在MOA 中有
a sin( ) sin( ) 即
sin( ) a sin
显然A点也满 足上方程。
例题3设点P的极坐标为( 1 ,1 ) ，直线l过 点P且与极轴所成的角为 ,求直线 l 的 极坐标方程。
1 P
M
o
﹚ ﹚
1
x
解：如图，设点 M ( , ) 为直线上除 点P外的任意一点，连接OM 则 OM , xOM 由点P的极坐标知 OP 1 xOP 1
[1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长 线上取一点M，使 OM= 3 O P = /4 X
M
新课讲授 例题1：求过极点，倾角为 4 的射线 的极坐标方程。 M 分析： 如图，所求的射线 上任一点的极角都 ﹚ 4 o x 是 / 4，其 极径可以取任意的非负数。故所求 直线的极坐标方程为 ( 0)
北师版选修4-4§2 2.3 直线和圆的极坐标方程 2.4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 2.5
2.3 直线和圆的极坐标方程 2.4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5 圆锥曲线统一的极坐标方程学习目标：1.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．(重点)2.掌握简单图形的极坐标方程与直角坐标方程的互化．(易错易混点)3.用方程表示平面图形时，会选择适当的坐标系来表示．(难点)教材整理1 曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程在极坐标系中，如果曲线C 上的点与一个二元方程φ(ρ，θ)＝0建立了如下的关系：(1)曲线C 上的每个点的极坐标中至少有一组(ρ，θ)满足方程φ(ρ，θ)＝0； (2)极坐标满足方程φ(ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上．那么方程φ(ρ，θ)＝0叫作曲线C 的极坐标方程，曲线C 叫作极坐标方程φ(ρ，θ)＝0的曲线．2．常见简单曲线的极坐标方程判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)过极点且垂直于极轴的直线方程为x＝π2.()(2)直线ρcos θ＝2与直线ρsin θ＝2互相平行．()(3)ρ＝cos θ表示一个圆．()[解析](1)√过极点且垂直于极轴的直线上的点的极角都可表示为π2，故正确．(2)×ρcos θ＝2表示直线x＝2，ρsin θ＝2表示直线y＝2，这两直线互相垂直．(3)√ρ＝cos θ可化为x2＋y2＝x，故正确．[答案](1)√(2)×(3)√教材整理2曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化两坐标方程的互化，我们把极轴与平面直角坐标系xOy的x的正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位．利用把曲线的两种方程进行相互转化．填空：(1)曲线ρ＝1的直角坐标方程为__________________________．(2)方程y＝2x的极坐标方程为___________________________．(3)圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为_____________________．[解析](1)ρ＝1，即ρ2＝1，∴x2＋y2＝1.(2)把y＝ρsin θ，x＝ρcos θ代入y＝2x，得ρsin θ＝2ρcos θ，即tan θ＝2.(3)ρ＝2cos θ即ρ2＝2ρcos θ，所以x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.[答案](1)x2＋y2＝1(2)tan θ＝2(3)(x－1)2＋y2＝1教材整理3圆锥曲线统一的极坐标方程设定点为F，定直线为l，过定点F作定直线l的垂线，垂足为K，以F为极点，FK的反向延长线Fx为极轴，建立极坐标系．如图，设定点F到直线l的距离|FK|＝p，M(ρ，θ)为曲线上任意一点，曲线的极坐标方程为ρ＝ep1－e cos θ.①当0＜e＜1时，方程表示椭圆．②当e＝1时，方程表示开口向右的抛物线．③当e＞1时，方程只表示双曲线的右支，定点是它的右焦点．【例1】(1)求过点A(1,0)且倾斜角为π4的直线的极坐标方程；(2)求圆心在A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，sin 5π6是否在这个圆上． [精彩点拨] 解答本题先根据题意画出草图，设点M (ρ，θ)后建立关于ρ与θ的方程化简即可．[尝试解答] (1)如图，设M (ρ，θ)(ρ≥0)为直线上除点A 以外的任意一点，则∠xAM ＝π4， ∠OAM ＝3π4， ∠OMA ＝π4－θ.在△OAM 中，由正弦定理得 OM sin ∠OAM ＝OAsin ∠OMA ，即ρsin 3π4＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ， 所以ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22，即ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π4cos θ－cos π4sin θ＝22， 化简，得ρ(cos θ－sin θ)＝1， 经检验点A (1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1.(2)由题意知，圆经过极点O ，OA 为其一条直径，设M (ρ，θ)为圆上除点O ，A 以外的任意一点，则|OA |＝2r ，连结AM ，则OM ⊥MA .在Rt △OAM 中，|OM |＝|OA |cos ∠AOM ，即ρ＝2r cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ，∴ρ＝－4sin θ.经验证，点O (0,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π2的坐标满足上式．所以满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ.∵sin 5π6＝12，∴ρ＝－4sin θ＝－4sin 5π6＝－2， ∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，sin 5π6在此圆上．求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤： (1)建立适当的极坐标系； (2)在曲线上任取一点M (ρ，θ)；(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式(因涉及的是长度与角度，所以列等式的实质是解三角形)；(4)用极坐标ρ，θ表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程； (5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程．通常第(5)步不必写出，只要对特殊点的坐标加以检验即可．1．(1)求过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4且平行于极轴的直线方程．(2)在圆心的极坐标为A (4,0)，半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹．[解] (1)如图所示，在直线l 上任意取点M (ρ，θ)．∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，∴|MH |＝2·sin π4＝2，在Rt △OMH 中，|MH |＝|OM |sin θ，即ρsin θ＝2，所以过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4且平行于极轴的直线方程为ρsin θ＝2，其中0<θ<π.(2)设M (ρ，θ)是轨迹上任意一点．连结OM 并延长交圆A 于点P (ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cos θ， 得ρ0＝8cos θ0，所以2ρ＝8cos θ， 即ρ＝4cos θ.故所求轨迹方程是ρ＝4cos θ.它表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆.(1)射线y ＝3x (x ≤0)； (2)圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)．[精彩点拨] 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入―→极坐标方程 [尝试解答] (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 代入y ＝3x ，得ρsin θ＝3ρcos θ， ∴tan θ＝3，∴θ＝π3或θ＝4π3.又x ≤0，∴ρcos θ≤0，∴θ＝4π3，∴射线y ＝3x (x ≤0)的极坐标方程为θ＝4π3(ρ≥0)． (2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＋2ax ＝0，得 ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ＋2aρcos θ＝0，即ρ(ρ＋2a cos θ)＝0，∴ρ＝－2a cos θ，∴圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的极坐标方程为ρ＝－2a cos θ，圆心为(－a,0)，半径为r＝|a|.1．化曲线的直角坐标方程f(x，y)＝0为极坐标方程f(ρ，θ)＝0，只要将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入到方程f(x，y)＝0中即可．化为极坐标方程时，如果不加特殊说明，就认为ρ≥0.例如x2＋y2＝25化为极坐标方程时，有ρ＝5或ρ＝－5两种情况，由于ρ≥0，所以只取ρ＝5.事实上，这两个方程都是以极点为圆心，以5为半径的圆．2．由直角坐标方程化为极坐标方程最后要化简．2．曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．[解析]直角坐标方程x2＋y2－2x＝0可化为x2＋y2＝2x，将ρ2＝x2＋y2，x ＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ.[答案]ρ＝2cos θ(1)ρcos θ＝2；(2)ρ＝2cos θ；(3)ρ2cos 2θ＝2；(4)ρ＝11－cos θ.[精彩点拨]极坐标方程――――→ρcos θ＝xρsin θ＝y直角坐标方程―→曲线的形状[尝试解答]根据点的极坐标化为直角坐标的公式：ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y.(1)∵ρcos θ＝2，∴x ＝2，是过点(2,0)，垂直于x 轴的直线． (2)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， ∴x 2＋y 2－2x ＝0，即 (x －1)2＋y 2＝1. 故曲线是圆心在(1,0)，半径为1的圆． (3)∵ρ2cos 2θ＝2，∴ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝2， 即ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝2，∴x 2－y 2＝2.故曲线是中心在原点，焦点在x 轴上的等轴双曲线． (4)∵ρ＝11－cos θ，∴ρ＝1＋ρcos θ，∴x 2＋y 2＝1＋x ，两边平方并整理， 得y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12.故曲线是顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，焦点为F (0,0)，准线方程为x ＝－1的抛物线．1．将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入曲线的极坐标方程，整理即得曲线的直角坐标方程．2．解决此类问题常常通过方程变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的式子，进行整体代换．方程的两边同乘以(或同除以)ρ或方程两边平方是常用的变形方法．3．在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________．[解析] 极坐标系中点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6对应的直角坐标为(3，1)．极坐标系中直线ρsinθ＝2对应直角坐标系中直线y ＝2.故所求距离为1.[答案] 1[1．在极坐标系中，求圆的极坐标方程的一般思路是什么？求直线的极坐标方程呢？[提示] 在圆上设M (ρ，θ)为任意一点，连结OM ，构造出含OM 的三角形，再利用解直角三角形或解斜三角形的正弦、余弦定理求OM ，即把OM 用θ表示，从而得到圆的极坐标方程．求直线的极坐标方程时，首先在直线上设任意一点M (ρ，θ)，构造直角三角形，利用勾股定理建立方程．2．在极坐标系内，如何确定某一个点P 是否在某曲线C 上？[提示] 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程，所以在极坐标系内，确定某一个点P 是否在某一曲线C 上，只需判断点P 的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C 的方程即可．3．我们由曲线的直角坐标方程很容易知道它是哪种曲线，那如何由曲线的极坐标方程确定其是哪一种曲线呢？[提示] 如果对简单的直线和圆的极坐标方程及圆锥曲线统一的极坐标方程熟练的话，可由其判断，否则一般是将其化成直角坐标方程再判断其是哪种曲线．【例4】 在极坐标系中，从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使|OM |·|OP |＝12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上任意一点，试求RP 的最小值．[精彩点拨] 解答本题可以设出动点P ，M 的极坐标，然后代入条件等式求解即可，也可以转化为直角坐标方程解决．[尝试解答] 法一：(1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，点M 为(ρ0，θ)． ∵|OM |·|OP |＝12，∴ρ0ρ＝12，得ρ0＝12ρ. ∵M 在直线ρcos θ＝4上， ∴ρ0cos θ＝4，即12ρcos θ＝4，于是ρ＝3cos θ(ρ＞0)为所求的点P 的轨迹方程． (2)由于点P 的轨迹方程为ρ＝3cos θ＝2·32cos θ，所以点P 的轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为32的圆(去掉极点)．又直线l ：ρcos θ＝4过点(4,0)且垂直于极轴，点R 在直线l 上，由此可知RP 的最小值为1.法二：(1)直线l ：ρcos θ＝4的直角坐标方程为x ＝4，设点P (x ，y )为轨迹上任意一点，点M (4，y 0)，由O P →∥OM →得y 0＝4yx (x ＞0)． 又|OM |·|OP |＝12， 则|OM |2·|OP |2＝144， ∴(x 2＋y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋16y 2x 2＝144， 整理得x 2＋y 2＝3x (x ＞0)，这就是点P 的轨迹的直角坐标方程．(2)由上述可知，点P 的轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为32的圆(去掉原点)．又点R 在直线l ：x ＝4上，由此可知RP 的最小值为1.建立适当的极坐标系，有时会使某些曲线的极坐标方程具有比直角坐标方程更为简洁的形式．可是，由于同一种类型的曲线的极坐标方程的形式多样性，且不同位置的同一曲线的极坐标方程存在较大差异，这给由极坐标方程确定曲线的形状、位置与性质带来不便，为此，往往把极坐标方程化为直角坐标方程，再根据平面直角坐标系中曲线的相关知识将问题求解．4．过极点O 作圆C ：ρ＝8cos θ的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程． [解] 法一：如图，圆心C (4,0)，半径r ＝|OC |＝4，连结CM . ∵M 为弦ON 的中点，∴CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上．所以，动点M 的轨迹方程是ρ＝4cos θ.法二：设M 点的坐标是(ρ，θ)，N (ρ1，θ1)．N 点在圆ρ＝8cos θ上，∴ρ1＝8cos θ1. ①∵M 是ON 的中点，∴⎩⎨⎧ρ1＝2ρ，θ1＝θ，代入①式得2ρ＝8cos θ，故M 的轨迹方程是ρ＝4cos θ.1．极坐标方程ρ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ表示的曲线是( ) A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆[解析] 方程可化为ρ2＝22ρcos θ＋22ρsin θ，即x 2＋y 2－22x －22y ＝0，所以曲线表示圆．[答案] D2．过点A (2,0)，并且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )A ．ρcos θ＝2B ．ρsin θ＝2C ．ρcos θ＝1D ．ρsin θ＝1[解析] 如图所示，设M (ρ，θ)为直线上除点A (2,0)外的任意一点，连结OM ，则有△AOM 为直角三角形，并且∠AOM ＝θ，|OA |＝2，|OM |＝ρ，所以有|OM |cosθ＝|OA |，即ρcos θ＝2，显然当ρ＝2，θ＝0时，也满足方程ρcos θ＝2，所以所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝2.[答案] A3．在极坐标系中，极点到直线ρcos θ＝2的距离是________．[解析] ρcos θ＝2，即x ＝2.所以极点到直线的距离为2.[答案] 24．两直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 016，ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 015的位置关系是________．(判断垂直或平行或斜交)[解析] 两直线方程可化为x ＋y ＝2 0162，y －x ＝2 0152，故两直线垂直．[答案] 垂直5．求以C (4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程．[解] 设P (ρ，θ)为圆C 上任意一点(不与O ，A 点重合)，圆C 交极轴于另一点A ，则|OA |＝8.在Rt △AOP 中，|OP |＝|OA |cos θ，即ρ＝8cos θ，经验证点O ，点A 也满足该等式，所以ρ＝8cos θ.这就是圆C 的极坐标方程．。
1.3.1 圆的极坐标方程 课件(人教A选修4-4)(2)
(4)∵ρ2cos 2θ＝4， ∴ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即 x2－y2＝4. 1 (5)∵ρ＝ ， 2－cos θ ∴2ρ－ρcos θ＝1. ∴2 x2＋y2－x＝1.化简，得 3x2＋4y2－2x－1＝0.
[悟一法]
直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角 坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如 ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同 乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程 进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．
[悟一法]
(1)圆的极坐标方程是曲线的极坐标方程的一种特殊情况，
其求解过程同曲线的极坐标方程的求法． (2)特别地，当圆心在极轴上即θ0＝0时，方程为r2＝ρ＋ρ2 －2ρρ0cos θ；若再有ρ0＝r，则其方程为ρ＝2ρ0cos θ＝2rcos θ； 若ρ0＝r，θ0≠0，则方程为ρ＝2rcos (θ－θ0)，这几个方程经常用 来判断图形的形状和位置．
OP＝OD· θ， cos ∵OP＝ρ，OD＝2r， ∴ρ＝2rcos θ(ρ≠0，ρ≠2r)． 这就是所求轨迹的方程．
[悟一法] (1)求曲线的极坐标方程的步骤如下：
①建立适当的极坐标系．
②设P(ρ，θ)是曲线上任一点． ③列出ρ，θ的关系式． ④化简整理． (2)极坐标中的坐标是由长度与角度表示的，因此，建立
极坐标方程常常可以在一个三角形中实现，找出这样的三角形
便形成了解题的关键．
[通一类] 1．设 M 是定圆 O 内一定点，任作半径 OA，连结 MA，过 M 作 MP⊥MA 交 OA 于 P，求 P 点的轨迹方程． 解：以 O 为极点，射线 OM 为极轴，建立极坐标系，如图．
曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化课件-北师大版高中数学选修4-4
π ∴这是过极点且倾斜角为 3 的射线的极坐标方程．
π ∴射线 y＝ 3x(x≥0)的极坐标方程为 θ＝ 3 (ρ≥0)．
(2)将 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入 x2＋y2＝r2，得 ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＝r2，∴ρ2＝r2(r>0)． ∵ρ≥0，∴ρ＝r 为所求．
题型二 极坐标方程化为直角坐标方程
曲线的极坐标方程与直角坐标方程的相互转化及应用 (1)与点的极坐标与直角坐标的互相转化一样，以平面直角坐 标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取 相同的长度单位．平面内的曲线(含直线)的极坐标方程与直角坐 标方程也可以进行互相转化． (2)较简单曲线的极坐标方程可直接求，较复杂曲线的极坐标 方程可以先求直角坐标方程，然后再转化． (3)极坐标方程对应曲线的形状往往不易看出，通常是先转化 为直角坐标方程，然后再分析形状.
【答案】 3
课后巩固
1．把方程 x＋ 3y＝0 化为极坐标方程为( )
π A．ρsin(θ＋ 6 )＝0
π B．ρcos( 6 ＋θ)＝0
π C．ρsin( 6 －θ)＝0
答案 A
π D．ρcos( 6 －θ)＝0
π 解析 把 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入并化简得 ρsin(θ＋ 6 )＝0，故
4．已知直线的极坐标方程为
π ρsin(θ＋ 4 )＝
22，则极点到该
直线的距离是________．
答案
2 2
5．求下列各圆的圆心坐标和半径． (1)ρ＝cosθ＋ 3sinθ； (2)ρ2＋4ρsinθ＋1＝0； (3)ρ2－2ρ(cosθ＋ 3sinθ)＝5.
π 解析 (1)圆心为(1， 3 )，半径为 1.
1.3 简单曲线的极坐标方程 课件(34张PPT)高中数学选修4-4(人教版A版)
3．圆的极坐标方程
圆心为M(ρ0，θ0)、半径为r的圆方程为 ρ2－2ρ0ρcos (θ－θ0)＋ －r2＝0.
2 0 特别当圆心与极点重合时，圆的方程为ρ=r.
练习 几个特殊位置的直线的极坐标方程． ①直线过极点且过点M(ρ0，θ0)的极坐标方程为____________． ②直线过点M(a,0)且垂直于极轴的极坐标方程为____________． ③直线过点M 且平行于极轴的极坐标方程为____________．
3.利用极坐标思想方法亦可简便解决一些轨迹问题， 尤其是涉及线段间数量关系的问题.求极坐标系下的轨迹 方程与求直角坐标系下的轨迹方程的方法一致.如定义 法、直接法、参数法等. 4.不论曲线的直角坐标系的方程如何，只要我们将极 坐标系的极点放在曲线的焦点上，总可将方程化成较简单 的极坐标方程.反过来，有了适当的极坐标方程和直角坐 标系与极坐标系的位置关系，也可以得到曲线在直角坐标 系内的方程.这样，在解题过程中，我们就可以灵活地变换坐标系，使解题过 程大为简化. 5.处理极坐标系中的直线与圆的问题大致有两种思路： （1）化极坐标方程为直角坐标方程再处理； （2）根据ρ、θ的几何意义进行旋转或伸缩变换.
3π π 5π 5π 7π － ＝ ，∴∠OAM＝π－ ＝ . 4 3 12 12 12 3π 又∵∠OMA＝∠MBx－θ＝ －θ，在△MOA 中，根据正 4 3 ρ 弦定理，得 ＝ . 7 π 3 π sin 4 －θ sin 12 π π 2＋ 6 7π ∵sin ＝sin 4＋3＝ ， 12 4 3π 将 sin 4 －θ 展开，化简上面的方程，可得 3 3 3 ρ(sin θ＋cos θ)＝ ＋ . 2 2 π 3π 即过点 A3，3 且和极轴成 的直线方程为 4 3 3 3 ρ(sin θ＋cos θ)＝ ＋ . 2 2 ∴∠OAB＝
1.3.1 圆的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4)
所以， 2a cos就是圆心在C (a,0)(a 0),半径 为a的圆的极坐标方程。
例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐 标系，可以使圆的极坐标方程简单？
M
O
r x
解：如果以圆心 为极点，从O出发的一条射线 O 为极轴建立坐标系（如 图），那么圆上各点的 几 何特征就是它们的极径 都等于半径r. 设M ( , )为圆上任意一点，则 OM r ,即
解：方程可化为 － cos 4 2 即2 ＝4＋x 两边平方得： 2＝( x 4) 2 4 4 x 2 4 y 2 x 2 8 x 16 3x 8 x 4 y 16
2 2
7、从极点O作圆C：＝8cos 的弦ON， 求ON的中点的轨迹方程。
M
N
解：如图，圆C的圆心(4, 0), 半径r OC 4,
O
C(4,0)
连结CM ， M 是弦ON的中点 CM ON , 所以，动点M 的轨迹方程是＝4 cos
练习 4 把极坐标方程＝ 化为直角坐标方程。 2－cos
2 2
你可以用极坐标方程直接来求吗？
解：原式可化为 3 1 ＝10(cos sin ) 10 cos( ) 2 2 6 所以圆心为(5, ), 半径为5 6
圆心为(a, )(a 0)半径为a 圆的极坐标方程为 ＝2a cos( ) 此圆过极点O
＝2
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
＝2acos (３)中心在(a,/2)，半径为a； ＝2asin
(４)中心在Ｃ(0,０)，半径为r。 2+ 0 2 -2 0 cos( - ０)= r2
题组练习2
1、曲线的极坐标方程 ＝4 sin 化为直角坐标 方程是什么？
高中数学第一讲坐标系1.3简单曲线的极坐标方程课件新人教A版选修4-4
= cos,
(1)将互化公式
代入直角坐标方程后化简整理即可得
= sin
到相应的极坐标方程;
2 = 2 + 2 ,
tan = ( ≠ 0),
(2)利用公式
将极坐标方程中涉及 ρ,θ 的式子
cos = ,
sin =
全部换成关于 x,y 的式子,化简整理后即可得到相应的直角坐标方
果不加特殊说明,就认为ρ≥0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3 (1)极坐标方程ρ=4asin θ化为直角坐标方程
为
;
(2)极坐标方程ρ=9(cos θ+sin θ)化为直角坐标方程
为
.
(3)直角坐标方程x+y-2=0化为极坐标方程
是
;
(4)直角坐标方程2x2+2y2-3x+7=0化为极坐标方程
变式训练1
r=1的圆M的极坐标方程是
.
解析：设 P(ρ,θ)是圆上任意一点,连接 OP,PM.在△OMP 中,由余
弦定理可得 16+ρ2-2×4×ρcos -
π
6
=1,整理得 ρ2-8ρcos -
故圆 M 的极坐标方程是 ρ2-8ρcos -
答案：ρ2-8ρcos -
π
6
+15=0
π
6
+15=0.
π
6
+15=0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二求直线的极坐标方程
π
【例2】 求过点A(1,0)且与极轴所成的角为 4的直线的极坐标方
(高中数学人教版选修44)简单曲线的极坐标方程PPT课件
sin( ) 1 sin( 1 )
M
1 P
﹚1 ﹚
o
Ax
例2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直 线L的极坐标方程。
解：如图，建立极坐标系，设点 M ( , )
为直线L上除点A外的任意一点， M
连接OM 在 RtMOA中有
﹚
OM cos MOA OA o
Ax
即 cos a
(, )满足的条件吗？
M (,)
O
C(a,0) A
x
解：圆经过极点O。设圆与极轴的另一个交点
是A，那么OA＝2a,设M (, )为圆上除点O，A
以外的任意一点，那么OM AM。在RtAMO
中OM OA cosMOA即＝2a cos...........(1) 可以验证，点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式(1)
(高中数学人教版选修44)简单曲线的 极坐标 方程PPT 课件
5
（2）求过极点，倾斜角为 4 的射线的极坐标方程。
5 ( 0)
4
（3）求过极点，倾斜角为 4 的直线的极坐标方程。
(
4
0)
和
5 ( 0)
4
(高中数学人教版选修44)简单曲线的 极坐标 方程PPT 课件
(高中数学人教版选修44)简单曲线的 极坐标 方程PPT 课件
6
直线的几种极坐标方程
l
1、过极点 0( R)
2、过某个定点垂直于极轴
cos a
3、过某个定点平行于极轴 sin ＝a
o ﹚
M
﹚
o
Ax
AM
﹚
o
x
4、过某个定点(1,1 ) ，且与极轴成的角度a
1.3.1 圆的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4)
3、极坐标方程 cos( )所表示的 4 曲线是 （ D ）
A、双曲线 C、抛物线 B、椭圆 D、圆
解：该方程可以化为 ＝cos( ) 4 1 1 以( , )为圆心， 为半径的圆。 2 4 2
解：＝cos cos
2
4
sin sin
4
2 2 cos sin 即 2 2 2 2 2 2 x y x y0 2 2 2 2 2 2 1 (x ) (y ) 4 4 4
练习
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为 半径的圆的方程是 C
A. 2cos 4 C. 2cos 1
B. 2sin 4 D. 2sin 1
题组练习 1 求下列圆的极坐标方程 (１)中心在极点，半径为2；
7、从极点O作圆C：＝8cos 的弦ON， 求ON的中点的轨迹方程。
M
N
解：如图，圆C的圆心(4, 0), 半径r OC 4,
O
C(4,0)
连结CM ， M 是弦ON的中点 CM ON , 所以，动点M 的轨迹方程是＝4 cos
练习 4 把极坐标方程＝ 化为直角坐标方程。 2－cos
4、圆＝10 cos( )的圆心坐标是 （ C ） 3 2 C、 , ) (5 (5 A、 ,0) B、 , ) (5 D、 , ) (5 3 3 3 5、写出圆心在点A(2, )处且过极点的圆的 2 极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。 解：＝4 cos( ) 4sin
1.3简单曲线的极坐标方程
曲线的极坐标 方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系 (１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标 中至少有一个)符合方程f(,)=0 ； (２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点 都在曲线Ｃ上。 则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
人教版数学选修4-4课件 1.3 简单曲线的极坐标方程
【变式 1】 (2016· 江西高三联考)在极坐标系中，已知圆 C 为 3，Q 点在圆周上运动． (1)求圆 C 的极坐标方程； (2)若 P 是 OQ 中点，求 P 的轨迹．
π 的圆心为3，3，半径
解析：(1)如图，设 Q(ρ，θ)为圆上任意一点，连接 DQ，OQ，则|OD|＝6，∠DOQ π π π ＝3－θ，或∠DOQ＝θ－3，∠DQO＝2.
3 5 【例题 1】求圆心在 C2，2π处并且过极点的圆的极坐标方程， 并判断点－2，6π
是否在这个圆上．
• 思维导引：已知圆心，又知圆过极点，也就 知道半径，作出图形，依据题意列出圆上任 意一点(ρ，θ)满足的方程．
解析：由题意可知，圆经过极点 O，OA 为其一条直径，设 M(ρ，θ)为圆上除去 O， A 以外任意一点，则OA＝2r，连接 AM，则 OM⊥MA.在 Rt△OMA 中，OM＝OAcos ∠AOM，即 ρ＝2rcos
则∠1＝α－θ，∠2＝π－(α－θ0)．
在△OMP 中应用正弦定理： sinπ－∠2 sinα－θ0 ρ0 ρ ＝ ，即 ρ＝ρ0· ＝ρ0· . sin∠2 sin∠1 sin∠1 sinα－θ 即直线方程为 ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． (2)设 P(ρ，θ)为直线上任意一点(如图)，由△OMP 为直角三角形，显然有 ρcos(θ －θ0)＝ρ0.这就是所求直线方程．
• 【变式2】 (2016·湖北高三模拟)求出下列直 线的极坐标方程． • (1)过定点M(ρ0，θ0)，且与极轴成α弧度的角； 解析： (1)设 P(ρ， θ)为直线上任意一点 (如图)，且记∠OPM ＝∠ ，∠OMP＝∠2， • (2) 过定点 M (ρ0，θ0)，且与直线 θ＝ θ01垂直．
人教版选修4-4 极坐标与参数方程(精品课件)共24张PPT
三、极坐标的正式应用和扩展
◆1736年出版的《流数术和无穷级数》一书中，牛顿 第一个将极坐标系应用于表示平面上的任何一点。牛 顿在书中验证了极坐标和其他九种坐标系的转换关系。 ◆在1691年出版的《博学通报》一书中伯努利正式使 用定点和从定点引出的一条射线，定点称为极点，射 线称为极轴。平面内任何一点的坐标都通过该点与定 点的距离和与极轴的夹角来表示。伯努利通过极坐标 系对曲线的曲率半径进行了研究。
（2）点P（ρ，θ）与点（ρ，2kπ+θ）（k∈Z）
所表示的是同一个点，即角θ与2kπ+θ的终边是 相同的。 综上所述，在极坐标系中，点与其点的极 坐标之间不是一一对应而是一对多的对应
(ρ，θ)，（ρ，2kπ+θ），（-ρ，（2k+1）π+θ）均 表示同一个点
3.极坐标和直角坐标的互化
y
（1）互化背景：把直角坐标系 的原点作为极点，x轴的正半轴 作为极轴，并在两种坐标系中取 相同的长度单位，如图所示：
极坐标系和参数方程虽为选修内容，高中学生也 应该重视对本专题的学习，既可以体会其中的数 学思想，也能提高对数学的认识，而且可以与已 学知识融会贯通
极坐标系
定义：平面内的一条有规 定有单位长度的射线0x,0 为极点，0x为极轴，选定 一个长度单位和角的正方 向(通常取逆时针方向)， 这就构成了极坐标系。
关于教材编排
参数方程是选修4-4专题的一个重要内容。这一专 题包含、涉及了很多高中内容。利用高二学生已掌 握的直线、圆和圆锥曲线曲线方程为基础，鼓励学 生利用参数的思想对它们进行探究解析，以及能学 习掌握如何优化参数的选择推出已知曲线方程的参 数形式，能等价互化参数方程与普通方程；借助实 际生活例子或相应习题体会参数方程的优势，理解 学习参数方程的缘由。
2013吉林省长春市实验中学高二数学学案：《简单曲线的极坐标方程》2(新人教版选修4-4)
【学习目标】
1、掌握极坐标方程的意义。
2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程。
【重点难点】
重点：极坐标方程的意义。
难点：求简单图形的极坐标方程。
【自主学习】
1、直线1=+y x 的极坐标方程是 .
2、曲线1cos =θρ的直角坐标方程是 .
【合作释疑】
例1、求经过极点，从极轴到直线l 的夹角是
4π的直线l 的极坐标方程.
例2、求过点)0)(0,(>a a A ，且垂直于极轴的直线L 的极坐标方程
例3、设点P 的极坐标为),(11θρ，直线l 过点P 且与极轴所成的角为α，求直线l 的极坐标方程.
【巩固训练，整理提高】
1、在极坐标系中，求适合下列条件的直线的极坐标方程：
（1）过极点，倾斜角是3π
的直线；（2）过点)3,2(π
，并且和极轴垂直的直线.
2、把下列极坐标方程化为直角坐标方程：
（1）2sin =θρ；
（2）θρsin 2=
3、求下列直线的倾斜角：（1）)(65R ∈=
ρπθ；（2）1)4sin(=-πθρ.
4、在极坐标系中，点)3,
4(πM 到直线4)sin cos 2(:=+θθρl 的距离=d .
5、过点）
（42,
π，且平行于极轴的直线的极坐标方程为 .
6、在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 8=于A 、B 两点，则=AB ．
课堂小结：直线的极坐标方程
课后作业：。
简单曲线的极坐标方程2(4-4)
5 射线ON： ；N 4
5 和 4 4
可以考虑允许极径可以取全体 实数。
若ρ＜0，则规定点(ρ，θ)与点(－ρ，θ) 关于极点对称，则上述直线MN的极坐标方程 是： M O
45° x
5 ( R )或 ( R) 4 4
N
探究：过点A(a，0)(a≠0)，且垂直于极轴的直线 l的极坐标方程是什么？ ρ M 当a＞0时， θ O ρcosθ＝a； x A M ρ A
O
B
x
思考4：设点P的极坐标为 ( 1 ,1 ) ，直线l 过点P 且与极轴所成的角为 程。
,求直线 Байду номын сангаас 的极坐标方
﹚
o
1
1 P
﹚
M
x
解：如图，设点
M ( , ) 为直线上除
点P外的任意一点，连接OM 则 OM , xOM 由点P的极坐标知 设直线L与极轴交于点A。则在 MOP
θ
O
x
当a＜0时，ρcosθ＝－a.
例2：求过点A(2, )平行于极轴的直线。 4
解：如图，设M ( , )是直线l上除点A外的任意一点
A(2, ) MB 2 sin 2 4 4
在Rt OMB中， MB OM sin ,即 sin 2 可以验证，点A的坐标(2, )满足上式， 4 M(， ) A 故所求直线方程为 sin 2
4、依照几何条件列出关于ρ，θ的方程并化简；
自主学习：
时间：3分钟
请大家阅读课本P13-P14的内容，回答下面几个 问题： 1， 直线的极坐标方程如何表示？ 2，已知直线的直角坐标系方程如何求其极坐 标方程？
高中新课程数学(新课标人教A版)选修4-4《1.3简单曲线的极坐标方程》PPT教学课件
2020/12/10
1
曲线的极坐标方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系
(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中 至少有一个)符合方程f(,)=0 ；
(２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点都 在曲线Ｃ上。
则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
2020/12/10
A.1c0o s 6
C.1c0o s 6
B.1c0o s 6
D .1c0o s 6
2020/12/10
8
PPT精品课件
谢谢观看
Thank You For Watching
9
2
探究
如图，半径为a的圆的圆心坐标为 (a,0)(a>0)，你能用一个等式表示 圆上任意一点的极坐标(,)满足 的条件？
O
C(a,0)
x
2020/12/10
3
例1、已知圆O的半径为r，建立怎 样的坐标系，可以使圆的极坐标 方程更简单？
2020/12/10
4
题组练习1 求下列圆的极坐标方程
(１)中心在极点，半径为2；
＝2acos
2
(３)中心在(a,/2)，半径为a；
＝2asin Βιβλιοθήκη 22020/12/10
6
练习3
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为
半径的圆的方程是 C
A.2cos4 B.2sin4
C.2cos1 D.2sin1
2020/12/10
7
练习4
曲线 53co s5sin 关于极轴对
称的曲线是： C
＝2
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
＝2acos
高二数学之人教版高中数学选修4-4课件：1.3简单曲线的极坐标方程
【典例】(2016·漳州高二检测)化极坐标方程
ρ 2cosθ -ρ =0为直角坐标方程为 ( )
A.x2+y2=0或y=1
B.x=1
C.x2+y2=0或x=1
D.y=1
【失误案例】
分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案. 提示:出错的根本原因是忽视了ρ≥0,遗漏了ρ=0的情 形. 正确解答过程如下:
【解析】直线ρ cosθ - ρ sinθ -1=0可化为x- y-
3
3
1=0.圆ρ =2cosθ 可化为ρ 2(cos2θ +sin2θ )=2ρ cosθ ,
x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,所以圆心(1,0),半径长为1.圆
心在直线AB上,所以|AB|=2.
答案:2
自我纠错 极坐标方程化为直角坐标方程
图形
圆心位置
圆心在点(r，π )
圆心在点
(r，3) 2
极坐标方程
ρ = _-_2_r_c_o_s_θ___
( 3)
ρ = 2_____2____ (-π-<2θrs≤in0θ)
图形
3.直线的极坐标方程(ρ ∈R)
直线位置
极坐标方程
过极点,倾斜 角为α
(θ(12=))_θθπ_==_+α__αα__(__ρ((ρρ≥∈∈0)RR和))或 θ =π +α (ρ ≥0)
如图,在△OCM中,由余弦定理,得
|OM|2+|OC|2-2|OM||OC|cos∠COM=|CM|2,
即ρ2+ -2ρρ0cos(θ-θ0)=r2. 当O,C,M三02 点共线时,点M的极坐标也适合上式,所以圆
心为C(ρ0,θ0),半径为r的圆的极坐标方程为ρ2+ -
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A
o
A外的任意一点，连接OM
在 Rt MOA 中有
﹚
M x
IOMI sin∠AMO=IOAI 即 sin ＝a 可以验证，点A的坐标也满足上式。
课堂练习2 设点A的极坐标为 ( a , 0) ，直线 l 过点 A且与极轴所成的角为 ,求直线l 的极坐标方程。 解：如图，建立极坐标系，设点 M ( , ) 为直线 l 上异于A点的任意一点，连接OM， 在 MOA 中，由正弦定理 得 M
r.........(2)
3.半径为a的圆的圆心坐标为 C a,1 a>0)的 圆的方程
4、以 1 ,1为圆心，r为半径的圆的极坐标方 程 2 2 2
2a cos( 1 )........(3)
2 1 cos( 1 ) 1 r 0........(4)
练习1 求下列圆的极坐标方程 (１)中心在极点，半径为2；
＝2
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
＝2acos (３)中心在(a,/2)，半径为a； ＝2asin
(４)中心在Ｃ(0,０)，半径为r。 2+ 0 2 -2 0 cos( - ０圆心坐标是 （ C ） 3 2 C、 , ) (5 (5 A、 ,0) B、 , ) (5 D、 , ) (5 3 3 3 5、写出圆心在点A(2, )处且过极点的圆的 2 极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。 解：＝4 cos( ) 4sin
练习3 求过点P(4,/3)且与极轴夹角为/6的直线 l 的 方程。
sin( ) 2
6
直线的几种极坐标方程 1、过极点
l
0( R)
o ﹚
M A M x
2、过某个定点垂直于极轴
cos a
o
﹚ A
3、过某个定点平行于极轴 o x sin ＝a 4、过某个定点 ( 1 ,1 ) ，且与极轴成的角度a M sin( ) 1 sin( 1 )
cos a
可以验证，点A的坐标也满足上式。
交流做题心得归纳解题步骤：
求直线的极坐标方程步骤 1、据题意画出草图； 2、设点 M ( , ) 是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于 , 的方 程， 并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求。
练习1求过点A (a,/2)(a>0)，且平行于 极轴的直线L的极坐标方程。 解：如图，建立极坐标系， 设点 M ( , ) 为直线L上除点
过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为 x=3 过点(2,3)且与y轴垂直的直线方程为 y=3 ;
例1：
⑴求过极点，倾斜角为 的射线的极坐标方程。 4
4
M
( 0)
o
﹚
4
x
5 （2）求过极点，倾斜角为 4 的射线的极坐标方程。
5 ( 0) 4 （3）求过极点，倾斜角为 的直线的极坐标方程。 4 5 ( 0) 和 ( 0) 4 4
1
﹚
o
﹚1
P ﹚ x A
小结： （１）曲线的极坐标方程概念 （２）求曲线的极坐标方程的步骤 （3）会求圆的极坐标方程 （3）会求直线的极坐标方程
复习
1、极坐标系的四要素 极点；极轴；长度单位；角度单位 及它的正方向。 2、点与其极坐标一一对应的条件 0, [0,2 ) 3、极坐标与直角坐标的互化公式 y 2 2 2 x y , tan ( x 0) x
x cos , y sin
1、半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0)的 圆的极坐标方程 ＝2a cos ...........(1) 2、以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标 方程
即
a ﹚ ﹚ sin( ) sin( ) o A
x
化简得
sin( ) a sin
显然A点也满足上方程
例3：设点P的极坐标为( 1 ,1 )，直线 l 过点P且 与极轴所成的角为 ,求直线 l 的极坐标方程。 解：如图，设点 M ( , )为直线上除点P外 的任意一点，连接OM，则 OM , xOM 由点P的极坐标知 OP 1 xOP 1 设直线L与极轴交于点A。则在MOP 中 OMP , OPM ( 1 ) M 由正弦定理得 OM OP 1 P sin OPM sin OMP 1 即 ﹚1 ﹚ sin[ ( 1 )] sin( ) o x A sin( ) 1 sin( 1 ) 显然点P的坐标也是上式的解。
和前面的直角坐标系里直线方程的表示形
式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不
方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？
0
为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以
取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可
以表示为
4
( R)
或
5 ( R) 4
例2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直 线L的极坐标方程。（学生们先自己尝试做） 解：如图，建立极坐标系，设点 M ( , ) M 为直线L上除点A外的任意一点， 连接OM 在 Rt MOA 中有 ﹚ OM cos MOA OA o A x 即
7、从极点O作圆C：＝8cos 的弦ON， 求ON的中点的轨迹方程。
M
N
解：如图，圆C的圆心(4, 0), 半径r OC 4,
O
C(4,0)
连结CM ， M 是弦ON的中点 CM ON , 所以，动点M 的轨迹方程是＝4 cos
四 直线的极坐标方程：
思考：在平面直角坐标系中
2 化为直角坐标系为 2＝4 sin
2 2 2 2
即x y 4 y x ( y 2) 4
6、已知圆C1 : 2cos ,圆C2 : 2 2 3 sin 2 0, 试判断两圆的位置关系。
解：将两圆都化为直角 坐标方程为 C1 : ( x 1) 2 y 2 1,圆心O1 (1,0)半径为 1 C2 : x 2 ( y 3 ) 2 1，圆心O2 (0, 3 )半径为 1 O1O2 2所以两圆相外切。