高中数学选修4-4 简单曲线的极坐标方程(第二课时)

cos a
可以验证，点A的坐标也满足上式。
交流做题心得归纳解题步骤：
求直线的极坐标方程步骤 1、据题意画出草图； 2、设点 M ( , ) 是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于 , 的方 程， 并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求。
练习1求过点A (a,/2)(a>0)，且平行于 极轴的直线L的极坐标方程。 解：如图，建立极坐标系， 设点 M ( , ) 为直线L上除点
练习1 求下列圆的极坐标方程 (１)中心在极点，半径为2；
＝2
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
＝2acos (３)中心在(a,/2)，半径为a； ＝2asin
(４)中心在Ｃ(0,０)，半径为r。 2+ 0 2 -2 0 cos( - ０)= r2
4、圆＝10 cos( )的圆心坐标是 （ C ） 3 2 C、 , ) (5 (5 A、 ,0) B、 , ) (5 D、 , ) (5 3 3 3 5、写出圆心在点A(2, )处且过极点的圆的 2 极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。 解：＝4 cos( ) 4sin
2 化为直角坐标系为 2＝4 sin
2 2 2 2

即x y 4 y x ( y 2) 4
6、已知圆C1 : 2cos ,圆C2 : 2 2 3 sin 2 0, 试判断两圆的位置关系。
解：将两圆都化为直角 坐标方程为 C1 : ( x 1) 2 y 2 1,圆心O1 (1,0)半径为 1 C2 : x 2 ( y 3 ) 2 1，圆心O2 (0, 3 )半径为 1 O1O2 2所以两圆相外切。
1
﹚
o
﹚1
P ﹚ x A
小结： （１）曲线的极坐标方程概念 （２）求曲线的极坐标方程的步骤 （3）会求圆的极坐标方程 （3）会求直线的极坐标方程
复习
1、极坐标系的四要素 极点；极轴；长度单位；角度单位 及它的正方向。 2、点与其极坐标一一对应的条件 0, [0,2 ) 3、极坐标与直角坐标的互化公式 y 2 2 2 x y , tan ( x 0) x
x cos , y sin
1、半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0)的 圆的极坐标方程 ＝2a cos ...........(1) 2、以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标 方程
即
a ﹚ ﹚ sin( ) sin( ) o A

x
化简得
sin( ) a sin
显然A点也满足上方程
例3：设点P的极坐标为( 1 ,1 )，直线 l 过点P且 与极轴所成的角为 ,求直线 l 的极坐标方程。 解：如图，设点 M ( , )为直线上除点P外 的任意一点，连接OM，则 OM , xOM 由点P的极坐标知 OP 1 xOP 1 设直线L与极轴交于点A。则在MOP 中 OMP , OPM ( 1 ) M 由正弦定理得 OM OP 1 P sin OPM sin OMP 1 即 ﹚1 ﹚ sin[ ( 1 )] sin( ) o x A sin( ) 1 sin( 1 ) 显然点P的坐标也是上式的解。
7、从极点O作圆C：＝8cos 的弦ON， 求ON的中点的轨迹方程。
M
N
解：如图，圆C的圆心(4, 0), 半径r OC 4,
O
C(4,0)
连结CM ， M 是弦ON的中点 CM ON , 所以，动点M 的轨迹方程是＝4 cos
四 直线的极坐标方程：
思考：在平面直角坐标系中

和前面的直角坐标系里直线方程的表示形
式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不
方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？
0
为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以
取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可
以表示为


4
( R)
或
5 ( R) 4
例2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直 线L的极坐标方程。（学生们先自己尝试做） 解：如图，建立极坐标系，设点 M ( , ) M 为直线L上除点A外的任意一点， 连接OM 在 Rt MOA 中有 ﹚ OM cos MOA OA o A x 即
A
o
A外的任意一点，连接OM
在 Rt MOA 中有
﹚
M x
IOMI sin∠AMO=IOAI 即 sin ＝a 可以验证，点A的坐标也满足上式。
课堂练习2 设点A的极坐标为 ( a , 0) ，直线 l 过点 A且与极轴所成的角为 ,求直线l 的极坐标方程。 解：如图，建立极坐标系，设点 M ( , ) 为直线 l 上异于A点的任意一点，连接OM， 在 MOA 中，由正弦定理 得 M
练习3 求过点P(4,/3)且与极轴夹角为/6的直线 l 的 方程。
sin( ) 2
6

直线的几种ຫໍສະໝຸດ Baidu坐标方程 1、过极点
l
0( R)
o ﹚


M A M x
2、过某个定点垂直于极轴
cos a
o
﹚ A
3、过某个定点平行于极轴 o x sin ＝a 4、过某个定点 ( 1 ,1 ) ，且与极轴成的角度a M sin( ) 1 sin( 1 )
r.........(2)
3.半径为a的圆的圆心坐标为 C a,1 a>0)的 圆的方程
4、以 1 ,1为圆心，r为半径的圆的极坐标方 程 2 2 2
2a cos( 1 )........(3)
2 1 cos( 1 ) 1 r 0........(4)
过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为 x=3 过点(2,3)且与y轴垂直的直线方程为 y=3 ;
例1：
⑴求过极点，倾斜角为 的射线的极坐标方程。 4


4
M
( 0)
o
﹚
4
x
5 （2）求过极点，倾斜角为 4 的射线的极坐标方程。
5 ( 0) 4 （3）求过极点，倾斜角为 的直线的极坐标方程。 4 5 ( 0) 和 ( 0) 4 4