复变函数的极限ppt课件

其边界由两个圆周 z z0 r1, z z0 r2构成.
如果在圆环内去掉若干个点,它仍是区域, 但边界有变化,是两个圆周及其若干个孤 立点所构成.
二、简单曲线（或Jardan曲线) 平面上一条连续曲线可表示为：
x x(t)
y
y(t )
( t ),
其中x(t )、y(t )是连续的实变函数。
若x '(t)、y'(t) C[a, b]且[x '(t)]2 [ y'(t)]2 0
则称该曲线为光滑的.
令z(t) x(t) iy(t), t , 则平面曲线的 复数表示式为 z z(t) ( t ).
z( ), z( )称为曲线的端点。
简单曲线（Jordan曲线）：除端点z( )和z( )外,
三、复变函数 设G为给定的平面点集，若对于G中每一个 复数z x iy，按着某一确定的法则 f，总 有确定的一个或几个复数w u iv与之对应， 则称w是G上的关于z的复变函数，简称复变 函数，记作w f (z). 其中z 称为自变量，w称为因变量，点集G 称为 函数的定义域 .
单值函数 若每个z G，有且仅有一个w与之 对应，称此函数为单值函数。
( x cos y sin )
i( x sin y sin )， y、v (z)、(w)
即
u
v
x cos x sin
y sin y sin
o
x、u
—旋转变换(映射)
例7 已知映射w z2，求
1) z平面上的点z1 1, z2 i, z3 1 i在w 平面上的象;
2)
z平面上曲线
x
2
y2 a映成w平面上百度文库
2xy b
怎样的曲线;
3) z平面上直线x 1, y 2映成w平面上怎 样的曲线？
解 1) w(z1 ) (1)2 1,
w(z3 ) (1 i)2 {
2[cos i sin ]}2
4
4
( 2)2[cos( 2 ) i sin( 2 )] 2i
闭包： 区域D与它的边界一起称为D的闭包, 记为D.
孤立点：若z0属于点集E, 但存在z0的某个去心邻 域内无E中的点，则称z0为E的孤立点
聚点 : 若点P的任意邻域U(P)内都包含有E 中的无限个点，则称 P为 E的聚点.
点集 E 的聚点 P 可能属于E 也可能不属于E
区域 设 D是一个开集，且D连通，即D中任 任意两点均可用完全属于D的连线连起 来，称 D是一个区域。
闭区域 区域D与它的边界一起构成闭区域, 记为D.
有界区域与无界区域
若存在R 0,使区域D内每一点z0都满足 | z0 | R，则称D为有界区域； 否则为无界区域.
区域的例子: 例1 圆盘U(a, r) 有界开区域
其边界为点集 ：{z | | z a | r}
例2 点集 z r1 z z0 r2是一有界区域,
一个是无界区域，称为C的外部.
C是它们的公共边界。
外部
内部
C z(a)=z(b)
边界
单连通域与多连通域
复平面上的一个区域 D ，如果D内的任何简单 闭曲线的内部总在D内，就称 D为单连通域； 非单连通域称为多连通域。
单连通域
多连通域
例如 |z|<R（R>0）是单连通的； 0≤r<|z|≤R是多连通的。
z0的去心 邻域， 记为U (z0 , ).
• z0
内点: 对任意z0属于点集E，若存在Ｕ(z0 ,δ)，
使该邻域内的所有点都属于E，则称z0
是点集E的内点。
开集: 若E内的所有点都是 外点
它的内点，则称E是
z0 内点 P
开集。
边界与边界点: 设有点P，若点P的任何邻域 中既有属于都包含E中的点又有不属于 E的点，则称P是E的边界点；点集E的 所有边界点的集合称为E的边界
o
x
o
u
复变函数的几何意义是一个映射（变换）
函数，映射，变换都是一种对应关系的
反映，是同一概念。 分析中，两个变量之间的对应关系称为函数； 几何中，两个变量之间的对应关系称为映射； 代数中，两个变量之间的对应关系称为变换；
以下不再区分函数与映射（变换）。
实变量的实函数的性质往往可以通过它们 的图形表示出来。但当w=f(z)是复变量时， 就不容易找出方便的图形，这是因为z和w 在一个平面上，而不是一条直线上, 因此，分别在两个平面上画出它们。
哈
尔
滨
工
程 大 学
复变函数的极限
复 变 函 数 与 积 分 变 换
一 、 复平面上的点集与区域
邻域：复平面上以 z0为心, 0为半径的圆: |z z0 | ( 0),所确定的平面点集， 称为z0的 邻域，记作U (z0 , )
由 0 |z z0 | ( 0) 所
确定的平面点集，称为
本身不自交的连续曲线称为简单曲线。
z( ) z( )的简单曲线，称为简单闭曲线,
或约当闭曲线.
z( ) z( )
z( ) z( )
简单闭曲线
不是简单闭曲线
约当定理（简单闭曲线的性质） 任一条简单闭曲线C：z=z(t)， t∈[a，b]， 把复平面唯一地分成两个互不相交的部分： 一个是有界区域，称为C的内部；
u
x
2x 2
y
2
，v
x2
y
y2 ，x2
y2
0
化为一个复变函数.
四、映射——复变函数的几何表示
函数w f (z)在几何上，可以看成
z G ( z平面) w f (z) w G*(w平面)的映射.
定义域
函数值集合
w称为z的象, z称为w的原象.
y
(z)
v
(w)
w=f(z)
G w=f(z)
z
G* w
例5 研究w z 所构成的映射 .
解 设z r(cos i sin ) rei
z rei —关于实轴对称的一个映射
y (z)
v (w)
o
x
o
u
例6 研究w ei z (实常数）所构成的映射 .
解 设z rei ,
有w ei z ei rei rei( )
w u iv (cos i sin )( x iy)
定义一个复变函数w f (z), 相当于定义两个 二元实函数u u(x, y),v v(x, y)
例3 考察函数w z2 w u iv (x iy)2 x2 y2 2xyi
因此w z2对应u x2 y2, v 2xy
例4 将定义在全平面除原点区域上的一对 二元实变函数