两点间距离公式及中点坐标公式

1.两点间的距离公式；
d(A, B) | AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
2.中点坐标公式
x x1 x2 2
y y1 y2 2
二、坐标法——将几何问题转化为代数问题。
• P48练习8.1.2.
y
A1M1 M1B1
B (0，y2) 2
B
A2M2 M2B2
(0,y) M 2
M
A
A2
x x1 x2 x
y y1 y2 y
(0，y1)
A1 O M1
B1
x
(X1,0) (X,0) (X2,0)
即： x x1 x2 2
y y1 y2 2
这就是线段中点坐标 的计算公式 ，简称
—— 中点公式
2
(1) 2
1 2
典
即 Q（ 3, 1）
2
型
图8－2
例 题
同理，求出线段SQ的中点P（ 3 , 5），线段QT的中点 R（ 9 , 1）.
24
24
故所求的分点分别为P（ 3 , 5）、Q（ 3, 1）、R（ 9 , 1）.
24
2
24
8．1 两点间的距离与线段中点的坐标
例4 已知 ABC 的三个顶点为A(1,0)、B(2,1)、C(0,3) ，试
8.1平面直角坐标系中的基本公式 1.两点的距离公式
如图：有序实数对（ x,y）与点P对 应，这时（ x,y）称为点P的坐标， 并记为P（x,y），x叫做点P的横坐 标，y叫做点P的纵坐标。
y
p(x，y) x
y
o
x
两点间的距离公式
思考1
在平面直角坐标系中，已知 两点的坐标，怎样来计算这两点 之间的距离呢？
【例4】已知 :平行四边形ABCD的三个顶点坐标
A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D的坐标。
解：因为平行四边形的两条对角线中点相同,
所以它们的中点的坐标也相同.
设D 点的坐标为(x,y).
y D (x,y)
则
x2 35
2
2
y2 02
M O
A(-3,0)
C(5,2) x
2
2
解： x1 2, x2 2, y1 4, y2 3
x x2 x1 2 2 4,
y y2 y1 3 4 7
d(A, B) (4)2 72 65
【例2】已知：点A(1，2)，B(3，4)，C(5， 0)
求证：三角形ABC是等腰三角形。
证明：因为 d(A,B)= 312 4 22 8
• 我们先寻求原点 O0,0与任意一 点 Ax, y之间距离的计算方法
O, A 两点之间的距离通常用 dO, A
表示。
当A点不在坐标轴上时：
在平面直角坐标系中，已知点A(x， y) ，原点O和点A的距离d(O,A)是多少呢？
y
A (x，y)
y
o x A1 x
d(O,A)=
当A点在坐标轴上时这一公式 也成立吗？
d(A,C)= 5 -12 0 22 20
d(C,B)= 5 32 0 42 20
即|AC|=|BC|且三点不共线 所以，三角形ABC为等腰三角形。
• 该题用的方法----坐标法。可以将几何 问题转化为代数问题。
2、中点公式
合作探究（二）：中点公式
已知A（x1，y1）, B（x2，y2）， 设 M(x,y)是线段AB的中点
巩 固
求BC边上的中线AD的长度．
知
解 设BC的中点D坐Fra Baidu bibliotek为D(xD , yD )，则由 B(2,1)、C(0,3) 得
识
典
xD
(2) 2
0
1，yD
1 3 2
2．
型
例
故 | AD | (11)2 (2 0)2 2 2,
题 即BC边上的中线AD的长度为2 2．
8．1 两点间的距离与线段中点的坐标
B(2,-2)
解得 x=0 ∴D(0,4)
y=4
例3 已知点S（0，2）、点T（−6，−1），现将线段ST四
等分，试求出各分点的坐标．
巩 固 知
解首先设求线出段S线T的段中ST点Q的坐标为(xQ , yQ )， 则的由中S（点0Q，的2）坐、标T，（然−6，−1）得 后再求SQ的中点P及
识
QxTQ的中0 点2(R6的) 坐3标．yQ
显然，当AB平行于坐标轴或在坐标轴上时，公式 仍然成立。
• 给两点的坐标赋值：
x1 ?, y1 ?, x2 ?, y2 ?;
• 计算两个坐标的差，并赋值给另外两个量， 即
x x2 x1 y y2 y1
• 计算 d x2 y2
• 给出两点的距离 d
题型分类举例与练习
【例1】已知A（2、-4）、B（-2，3）. 求d（A，B）
课堂练习 1、求两点的距离： （1) A（6，2） , B（-2,5） （2) A (2 , -4) , B (7 , 2)
2、已知A（a，0）, B（0,10）两点 的距离等于17，求a的值。
3、已知 : AB的CD三个顶点坐标分别是 A(- 1,-2),B(3,1),C(0,2).求:第D点的坐 标。
y
A
A
o
x
A
显然，当A点在坐标轴上时
d(O,A)=
这一公式也成立。
Ax1, y1, Bx2, y2
一般地，已知平面上两点A(x1，y1)和 B(x2，y2)，利用上y述方法求点A和B的距离
B2
B(x2，y2)
A(x1，y1) A2
o
A1
c
B1
x
d(A, B) | AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2