浙江省年1月自考近世代数试题
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1 1月自考近世代数试题
课程代码:10025
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.以下关系中,哪个是实数集的元间的等价关系?( )
A.关系~:a ~b ⇔a2+b2=1
B.关系~:a ~b ⇔a ≤b
C.关系~:a ~b ⇔a=2b
D.关系~:a ~b ⇔a=b
2.设A 是区间[0,1]上全体实函数组成的集合,规定:
σ( f (x))=(x2+1) f (x),∀f (x)∈A,
则σ是A 的( )
A.满变换
B.单变换
C.一一变换
D.不是A 的变换
3.在有理数集Q上定义代数运算a b=(a+b)2,则这个代数运算( )
A.既适合结合律又适合交换律
B.适合结合律但不适合交换律
C.不适合结合律但适合交换律
D.既不适合结合律又不适合交换律
4.下列集合对所给运算作成群的是( )
A.全体实数对普通数的加法
B.全体实数对普通数的减法
C.全体实数对普通数的乘法
D.全体实数对普通数的除法
5.设⎭⎬⎫
⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Z b a b a R ,00,那么R 关于矩阵的加法和乘法构成环,则这个矩阵环是(
)
2
A.有单位元的可换环
B.无单位元的可换环
C.无单位元的非可换环
D.有单位元的非可换环
二、填空题(本大题共9小题,每小题3分,共27分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
6.设A={a,b,c,d,e},则A 的一一变换共有______个.
7.在4次对称群S4中,(134)2(312)-1=______.
8.在3次对称群S3中,H ={(1),(12)}是S3的一个子群,则H (23)=______.
9.设Z8是模8的剩余类环,则Z8中的零因子是______.
10.剩余类环Z15的可逆元有______个.
11.设Z [x ]是整系数多项式环,则Z [x ]的主理想(x2)=______.
12.整环I ={所有复数a+b 2-(a,b 是整数)},则I 的单位是______.
13.设Q 是有理数域,则Q ⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-112i i =______. 14.32+在有理数域Q 上的极小多项式是______.
三、解答题(本大题共小3题,第15小题10分,第16,17小题各12分,共34分)
15.设M 是一个非空集合,2M 是M 的幂集(M 的子集的全体称为M 的幂集),问2M 关于集合的并∪是否构成群?为什么?
16.找出模20的剩余类加群Z20的所有子群,并找出Z20的全部生成元.
17.设⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Z b a b a R ,00关于矩阵的加法和乘法构成一个环,I =⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z x x 000证明:I 是R 的理
想,问商环R/I 由哪些元素组成?
四、证明题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
3 18.设G 是一个群, a ∈G 证明:a 与a-1的阶相同.
19.设G=)(Q M n ={有理数域上所有n 阶可逆矩阵},H = {A|A ∈G,|A|=1}证明:H 是G 的不变子群.
20.证明:一个域是一个欧氏环.