代数精度

3、1 数值积分公式与代数精度,Newton-Cotes 求积公式习题

一、填空题

1、辛普生求积公式具有 次代数精度,其余项表达式为 。

(答案:3,4(4)()(),(,)1802b a b a f a b ζζ---

∈) 2、设()(0,1,2)j l x j n =L 就是区间[a,b ]上的一组n 次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为 ;插值型求积公式中求积系数j A = ;且0n j j A

==∑ 。

(答案:至少就是n,()b k a

l x dx ⎰, b-a ) 3、牛顿—柯特斯求积公式的系数与()0n

n k k C ==∑ 。

(答案: 1 )

二、计算题

1.试确定下列求积公式中的待定系数,指出其所具有的代数精度。

① 2''0()[(0)()][(0)()]2

h h f x dx f f h h f f h ≈++-⎰α; ② 101()()(0)();h h f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰

解:①分别将()1,f x x =代入求积公式,易知求积公式精确成立, 代入2()f x x =,令求积公式精确成立,于就是有33

3232

h h h α===-左右,可得112α=, 代入3

()f x x =,于就是44h =左,444

,244h h h =-==右左右,求积公式成立, 代入4

()f x x =,55h =左,544

,236h h h =-=≠右左右,求积公式不精确成立, 综合以上可知,该求积公式具有三次代数精度。

②将21(),,f x x x =分别代入求积公式,令求积公式成立,则有

0120222

022023()()A A A h h A A h A A h ⎧++=⎪⎪⎪--=⎨⎪⎪⎪+=⎩

从而解得0211433

,A A h A h ===,所求公式至少具有两次代数精度,且进一步有

333()33h h h h x dx h h -=-+⎰ , 444()33h h h h x dx h h -≠-+⎰ 从而原积分公式4()()(0)()333

h

h h h h f x dx f h f f h -≈-++⎰具有三次代数精确度。 2.利用梯形公式与Simpson 公式求积分2

1ln xdx ⎰的近似值,并估计两种方法计算值的最大误

差限。 解:由梯形公式21ln 2()(()())(ln1ln 2)0.3466222

b a T f f a f b --=+=+=≈ 最大误差限为:3

''2()1111()()10.0833((1,2))12121212

T b a R f f ξξξ-=-=≤•=≈∈ 由Simpson 公式13()()4()ln14ln ln 20.38586262b a a b S f f a f f b ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=++=++≈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭ 最大误差限为:5

(4)4()161()()60.0021((1,2))288028802880

S b a R f f ηηη-=-=≤•≈∈。 3．求系数123,,A A A 使求积公式

1

123111()(1)()()233f x dx A f A f A f -≈-+-+≤⎰对于次数的一切多项式都精确成立

答案: 123123123123111122

0339931/203/2A A A A A A A A A A A A ++=--+=++====

4.试求使求积公式的代数精度尽量高,并求其代数精度。

Answer 由

精确成立得等式对32,,,1)(x x x x f = ⎩⎨⎧=+=+132132222121x x x x 解此方程组得

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=1562356121x x 又当3)(x x f =时 左边≠右边

∴ 此公式的代数精度为2

5.确定求积公式 )5.0()()5.0()(11

1Cf x Bf Af dx x f ++-≈⎰- 的待定参数,使其

代数精度尽量高,并确定其代数精度、

Answer 假设公式对

精确成立则有32,,,1)(x x x x f =

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++=++-=++0125.0125.03225.025.005.005231211C Bx A C Bx A C Bx A C B A

解此方程组得

32,34-===B C A 求积公式为 []时当41

1)(,)5.0(4)0(2)5.0(431)(x x f f f f dx x f =+--≈⎰-,

左边=52 右边=61

左边≠右边

3代数精度为

∴ 6. 确定求积公式

012()()(0)()

h

h f x dx A f h A f A f h -≈-++⎰。 中待定参数i A 的值(0,1,2)i =,使求积公式的代数精度尽量高;并指出此时求积公

式的代数精度。

解:分别将2()1,,f x x x =,代入求积公式,可得

02114,33A A h A h ===。

令3()f x x =时求积公式成立,而4()f x x =时公式不成立,从而精度为3。