线性代数第三章课件,数学

删去α3；最后考察 α4,显然α1, α2 ,α4线性无 关，保留α4, 。于是α1, α2 α4就是该向量组 的一个极大线性无关组，且向量组的秩等 于3。
3.3.2 向量组的等价 定义3.3.3 设向量组
(Ⅱ)： 1 , 2 ,, s ， 若向量组(Ⅰ)中的每一个向量可由向量组
（Ⅱ）线性表出，同时向量组（Ⅱ）中的
（Ⅱ）＇： j1 , j2 , , jq
因为向量组（Ⅰ）＇可由（Ⅰ）线性表出， 向量组（Ⅱ）可由（Ⅱ）＇线性表出,而 已知向量组（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表出， 所以向量组（Ⅰ）‘可由（Ⅱ）＇线性表 出.由定理3.3.1的推论，p≤q，证毕。 例3.3.4 证明n维向量组α1,α2, …,αn 线性无关的充要条件是n维基本单位向量组 ε1, ε2, …, εn,可由α1,α2, …,αn线性表出。
充分性 已知向量组ε1, ε2, …, εn可由 α1,α2, …,αn线性表出，由定理3.3.3, R{ε1, ε2, …, εn}≤R{α1,α2, …,αn} 。
而R{ε1, ε2, …, εn}=n，R{α1,α2, …,αn} ≤n 。 于是R{α1,α2, …,αn} =n。故α1,α2, …,αn线性 无关。
b11 b C r1 a11 a m1
b12 br 2 a12 am 2
b1n brn a1n amn

b11 b r1 0 0
b12 br 2 0 0
从这个例子可以看出，一个线性相关 的非零向量组，一定存在极大线性无关组， 并且它的极大线性无关组不是唯一的。那 么，同一个向量组的不同的极大线性无关 组所含向量的个数是否相同? 下面将回答 这一问题。 定理 3.3.1 如果向量组α1,α2, …,αm中的每一个向量均可由向量组 β1, β2, …, βr线性表出，并且m>r，那么向量组线 性相关。
1 2 r
1 2 r
i , i ,, i 为向量组 α ,α , …,α 的一 1 2 m
1 2 r
个极大线性无关组。
这个例子提供了求一个向量组的部分 组为其极大线性无关组的方法。 对于向量组α1,α2, …,αm ，我们可用如 下方法求它的极大线性无关组： 首先取向量α1,如果α1≠0，可保留α1； 其次取向量α2，如果 α1 与α2 对应分量成 比例删去α2，否则保留 α2，不妨设α1,α2 线性无关；接着再取向量 α3，若α1,α2,α3 线性相关，删去α3若它们线性无关，则保 留下来；接下去取向量α4，…，如此这般 一直进行下去，直到
性质3 任何两个等价的向量组的秩相
等。
源自文库理3.3.3
若向量组（Ⅰ）：
1 , 2 , , s
可由向量组（Ⅱ）：
1 , 2 , , t
线性表出,且向量组（Ⅰ）的秩为p ，向量 组（Ⅱ）的秩为q，则 p≤q。 证 设向量组（Ⅰ）和（Ⅱ）的极大 线性无关组分别为
（Ⅰ）＇： i1 , i2 , , i p
（3） 传递性 若向量组(Ⅰ)与向量组 （Ⅱ）等价，向量组（Ⅱ）也与向量组 (Ⅲ)等价，则向量组（Ⅰ）也与向量组 (Ⅲ)等价。
由向量组等价的定义，定理3.3.1和定 理3.3.2，容易得到等价向量组的下列性质：
性质1 向量组都与它的任一极大线 性无关组等价； 性质2 任何两个线性无关的等价向 量组所含向量的个数相同；
关于向量组的秩和矩阵的秩的关系， 我们有如下定理： 定理3.3.4 矩阵A的秩等于它的行 向量组的秩，也等于它的列向量组的秩。 证 先证明矩阵A的秩等于它的行向 量组的秩。 设
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 a m1
a1n 1 a2n 2 a mn m
(2) 1 , 2 ,, m的任一向量均可由
i , i ,, i 线性表出,
1 2 r
则称 i , i ,, i 是向量组 1 , 2 ,, m
1 2 r
的一个极大线性无关组
显然，一个非零向量组必有极大线性 无关组，一个线性无关的向量组的极大线 性无关组就是向量组本身。 例3.3.1 求向量组 α1=(1,-1,0)， α2=(0,1,2)，α3=(2,-3,-2)的极大线性无关 组。 解 由于α1,α2线性无关，α3= 2α1-α2, 所以α1,α2是该向量组的的一个极大线性无 关组。显然α1,α3与α2,α3也是这个向量组的 极大线性无关组。
每一个向量可由向量组(Ⅰ)线性表出，亦
(Ⅰ)：1 , 2 ,, r ；
即它们可以互相线性表出，则称向量组
(Ⅰ)与向量组（Ⅱ）等价。
等价向量组具有如下性质： （1） 自反性 任何一个向量组都与它自 身等价； （2） 对称性 若向量组(Ⅰ)与向量组 （Ⅱ）等价，则向量组（Ⅱ）也与向量组 (Ⅰ)等价；
§3.3 向量组的秩 3.3.1 向量组的秩与极大线性无关组 3.3.2 向量组的等价
3.3.1 向量组的秩与极大线性无关组 定义3.3.1 如果向量组α1,α2, …,αm的 部分组 i , i ,, i 满足条件
1 2 r
(1) i , i ,, i 线性无关;
1 2 r
b1n brn C1 0 0
于是R(C)=R(C1)。
设A=(α1,α2, …,αm)T，则R(A)≤R(C) =R(C1)≤r<m，由定理3.2.3, 向量组α1,α2, …,αm线性相关。 证毕。
推论 如果向量组α1,α2, …,αm中的 每一个向量均可由向量组 β1, β2, …, βr线性 表出，并且α1,α2, …,αm线性无关，那么 m≤r。 定理 3.3.2 一个向量组中任意两个 极大线性无关组所含向量的个数相等。 证 设向量组α1,α2, …,αm的两个极大 线性无关组分别为
R(C ) R( A)
又
R(C ) R( AB) R(( AB)T ) R( BT AT ) R( BT ) R( B)
故
R( AB) min R( A), R( B)
把向量组中所有向量考察一遍，即可得到 该向量组的一个极大线性无关组.这个方 法称为逐个“扩充法”。 例3.3.3 设向量组α1=(0,0,-1,1), α2= (1,1,-1,0), α3=(2,2,-1,-1)α4=(-1,-1,0, 0),求它 的一个极大线性无关组及该向量组的秩。 解 由于α1≠0，保留α1;又α2≠kα1,即α1 与α2线性无关，保留α2；因α3=2α2-α1,所以 α1,α2, α3线性相关，
1 2 r
定义.3.3.2
向量组α1,α2, …,αm的极
大线性无关组中所含向量的个数称为这个 向量组的秩，记为 R{α1,α2, …,αm} 全由零向量组成的向量组的秩规定为 零。
由向量组秩的定义，线性无关的向量 组的秩等于向量组中所含向量的个数；若 向量组的秩小于向量组中所含向量的个数， 则向量组必然线性相关。
R(AB ) minR(A) , R(B)
证 设A的列向量组为A1,A2, …,Ak， 矩阵B=(bij)k×s，矩阵C=AB的列向量组为 C1,C2,…,Cs ,则
C j b1 j A1 b2 j A2 bkj Ak ( j 1,2,, s)
即C的列向量组可由A的列向量组线性表 出，由定理3.3.3及3.3.4知,
α1,α2, …,αn中任意r+1个向量线性相关，则 矩阵A中所有的r+1阶子式都等于零。因此 R(A)=r。 注意到 R(A)=R(AT)=矩阵AT的行秩=A的列秩, 即知矩阵A的秩等于它的列向量组的秩。 证毕。 例3.3.5 求向量组 T T 1 (1,22 ,0) ,2 (1,1,1,2) ,
且 R{1 , 2 ,, m } r 若r=m，则α1,α2, …,αn线性无关，由定 理3.2.3的推论1，R(A)=m。 若r<m，则向量组α1,α2, …,αn的任一极 大线性无关组中只含有r个向量，不妨设为 α1,α2, …,αr。那么矩阵A的前r行中必有一 个r阶子式不等于零。由于向量组
1 0 0 0
0 1 1 0 0 2 0 0
2 1 2 0 0 9 1 0
0 1 1 0 0 2 0 0
2 2 B 1 0
所以R{α1,α2, α3,α4,}=R(A)=R(B)=3。由B 容易看出， α1,α2, α4为向量组的一个极大 线性无关组。 例3.3.6 设A是m×k矩阵,B是k×s矩 阵，则
i , i ,, i
1 2
s
j , j , , j
1 2
r
要证s=r。
由于 i1 , i2 ,, is为极大线性无关组， 所以 j1 , j2 ,, jr可由其线性表出，又
j , j ,, j 线性无关，由定理 3.3.2 的推论,r≤s； 同理可证,s≤r,于是,s=r。
3 (1,0,4,4) ,4 (0,2,3,3) 的秩及它的一个极大线性无关组.
T
T
解 以向量α1,α2, α3,α4为列组成矩阵A 对其进行初等行变换，则
A ( 1, 2 ,3 , 4 ) =
1 0 1 1 1 0 1 1 0 2 0 1 2 2 2 1 2 1 4 3 0 3 6 3 0 2 0 2 4 3 4 3
1 2
r
线性表出即可。 事实上，若存在该向量组中某一个向量 i0 (1≤i0≤m)使 i1 ,i 2 ,,ir ,i r ,i0 线性无关,那么R{α1,α2, …,αm}≥r+1此, 与题设矛盾。因此,对于任意αi,(1≤i≤m) 向量组 i , i ,, i , i 线性相关。由定理 3.2.2, αi可由 i , i ,, i 线性表出，即
例3.3.2 设向量组α1,α2, …,αm的秩为 r，试证α1,α2, …,αm中任意r个线性无关的 向量均为该向量组的一个极大线性无关组。 证 设 i1 , i2 ,, is 是该向量组中 任意r个线性无关的向量，只需证明 α1，
α2, …,αm中任意一向量,可由
i , i ,, i
证
设
i (ai1 , ai 2 ,, ain ) (i 1,2,, m),
j (b j1 , b j 2 ,, b jn ) ( j 1,2,, r )
由条件
i ki11 ki 2 2 kir r , i 1,2,, m
以这两个向量组的向量为行向量(m+r) ×n 矩阵C, 然后对矩阵C作做初等行变换，得 到
证 必要性 设α1,α2, …,αn线性无关。 对任一 εi (1≤i≤n)，α1,α2, …,αn,εi为n+1个n 维向量组成的向量组，必然线性相关，而 α1,α2, …,αn线性无关，由定理3.2.2, εi可 由α1,α2, …,αn线性表出.由εi的任意性，ε1, ε2, …, εn可由α1,α2, …,αn线性表出。