函数极限存在的夹逼准则(课件全)

x 2

2
1 2 1 2
3、 求
解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此
t 原式 lim 1 t 0 sin t
例：lim
x 1
1 x sin x
令t x 1
2
t (t 2) lim t 0 sin ( t 1)
x0
lim[ f ( x0 x) f ( x0 )] 0
x 0
lim f ( x0 x ) f ( x0 )
x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
定义: 设函数
在
的某邻域内有定义 , 且
则称函数 f ( x ) 在 x0 连续. 可见 , 函数 (1) (2) 极限 (3) 在点 x0 连续必须具备下列条件: 有定义 , 即 存在 ;
定义：
设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且
0
是 的高阶无穷小 记作 o( ) 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小
是 的等价无穷小 记作 ~ 或 ~ 是 的 k 阶无穷小
例如 , 当 x 0 时
x2 lim 0 x 0 3 x
n
1
1 n 1
e
lim (1 1 ) n 1 lim [(1 1 ) n 1 1） e （ n ] n n
n 1) x x
x
lim (1
e
当
时, 令 x (t 1) , 则
1 lim (1 t 1) (t 1) t
～
常用等价无穷小 :
～ ～
e 1
x
～
～
～
a 1
x
～
(1 x ) a 1 ～
～
～
ln(1 x )～
说明：以上各式中的x可换为任意无穷小
定理1.
证:
～
o ( )
lim 1 lim( 1 ) 0, 即 lim 0
～
o ( ) , 即 o ( )
从而有
t lim ( t 1) (t 1) lim (1 1) t 1 t t t
lim [(1 1) t (1 1)] lim (1 1 )t lim (1 1 ) e t t t t t t
t
故
x
一、 函数连续性的定义
1、f (x) 在 x0 点处连续
1、
可正可负，不为零。
2、 可正可负可为零。
对自变量的增量
有函数的增量
y y f (x )
y
定义：f (x) 在 x0 的某一邻域 内有定义
x 0
x
lim y 0
o
x0
x x
称函数
在点
连续
Hale Waihona Puke Baidu
反映自变量的变化很微小时，函数值的变化也很微小。
例. 证明函数
在
内任意一点连续 .
证: x0 ( , )
y sin( x0 x ) sin x0
y 2 sin 2x cos( x0
x 2
)
x
即 这说明
x 0
0
在
内任意一点连续 .
函数
在点
连续有下列等价命题:
x 0
lim y 0
tan x sin x 例1. 求 lim . 3 x 0 x
解:
和差代替有条件
原式
xx 原式 lim 3 x 0 x
lim x 1 x2 2 x3
x 0
乘除可代替
(1 1 . 例2. 求lim x 0 cos x 1
解:
1 x2 )3
第八节 函数的连续性与间断点
在点
左连续
右连续
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . 其图像是一条连续而不间断的曲线。
第九节 连续函数的运算与 初等函数的连续性
一、连续函数的运算法则
定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 在其定义域内连续 定理2. 连续单调递增 (递减) 函数的反函数 也连续单调 递增 (递减). 例如, y sin x 在 上连续单调递增， 其反函数 y arcsin x 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增.
lim (1
1) x x
e
也可写为
lim(1 x ) e
x 0
1 x
lim(1 无穷小）
无穷大
1 e (无穷小= ） 无穷大
用于1 型

例： 1、求
原式 lim (1
x 1 ( x ) ( 1 ) x
)
lim (1
x
1 x x
在 x ( ,0) (0, ) 上连续
时
是关于 x 的二阶无穷小, 且
1 cos x ～ 1 x 2
2
例. 当 x 0时, 3 x 2
x 是
的几阶无穷小?
解：无穷小量比较阶时，要找最低阶数
3
x x
2
3
3
1
3 1
x (1 x 2 ) x 6 (1 x 2 ) 3
3
lim
x 0
x x
2
x
1 6
lim
y
y tan x

2
o
x
（

，） 2 2
a b
[ a , b]
二、 函数的间断点
设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 不连续 : 无定义 ; 之一函数 f (x) 在点 (1) 函数 在
(2)
(3) 函数 在
x x0
不存在;
虽有定义 , 且 存在 , 但
lim f ( x ) f ( x0 )
o
1
x
y
1
o
f (0 ) 1 ,

f (0 ) 1

1
x
x 0 为其跳跃间断点 .
在点
连续的等价形式
间断的类型 可去间断点 第一类间断点 左右极限都存在 跳跃间断点 无穷间断点 左右极限至少有一 第二类间断点 振荡间断点 个不存在 3、若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上
例如, x 0 时,
～
tan x ～x , 故
tan x x o ( x )
x 0 时,
定理2 . 设
lim
证:
且
存在 , 则
自变量变化过程相同
lim lim lim lim lim lim
在点
存在 ;
2、f (x) 在区间上连续
f ( x0 ) f ( x0 )
若
称 f (x) 在x0 点处左连续
f ( x0 ) f ( x0 ) 称 f (x) 在x0 点处右连续
在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . 其图像是一条连续而不间断的曲线。
o
x
y
1 y sin x
x 0 为其振荡间断点 .
y
0
x
x 1 为可去间断点 .
o 1
x
x , x 1 (4) y f ( x ) 1 2 , x 1
显然 lim f ( x ) 1 f (1)
x 1
y
1
1 2
x 1 为其可去间断点 .
x 1 , x 0 (5) y f ( x ) 0 , x 0 x 1 , x 0
0.5 1.5 0.25 0.48
0.1 0.3
0.01 0.03
0.001 0.003
0 0 0 0
sin x lim 2 x 0 x
0.01 0.0001 0.000001 0.01 0.01 0.001
x2 lim 0 x 0 3 x
sin x lim 1 x 0 x
sin x 1 lim x 0 3 x 3
sin x lim 1 x 0 x
sin x 1 lim x 0 3 x 3
sin x lim 2 x 0 x
x 2 o ( 3x ) ; sin x
～ x
又如 ，
x 2 sin 2 2 1 1 cos x lim lim 2 x )2 x 0 x0 4( x 2 2
lim
t (t 2) t 0 sin t
lim t ( t 2 ) t 0 t

2

第七节 无穷小的比较 第一章
引例 . x 0 时 , 3 x , x 2 , sin x 都是无穷小, 但 无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
x 3x x s inx
2
1 3 1 0.84
10 lim(1 ) x x3
7 1 x 或 lim x 3 1 x
x 0
x 3 3 10 10
10 x lim(1 ) e 10 x x3
x 7 7
x
7 (1 ) e7 10 x 3 e lim 3 x e x x 3 (1 ) 3
例. 1、求
sin x 1 解: 原式 lim x 0 x cos x
sin x lim 1 lim 1 x 0 cos x x 0 x
2、 求
x 2 sin 2 2
解: 原式 = lim
x0
x2
sin 1 lim x 2 x 0 2
称为间断点 .
这样的点
间断点分类:
第一类间断点: 及 若 若 第二类间断点: 均存在 , 称 称
x0 为可去间断点 . x0 为跳跃间断点 .
及
中至少一个不存在 ,
若其中有一个为 , 称
x0 为无穷间断点 . x0 为振荡间断点 .
若其中有一个为振荡 , 称
例如:
y
y tan x

2
x 为其无穷间断点 . 2
x x0 ( x )
lim f ( x ) A
证明
证: 当 x 0 时, 设 n x n 1 , 则
(1
1 )n n 1
(1
1 ) x (1 1 ) n 1 x n
n n
lim (1 n1 1) n lim
(1 n1 1) n 1
lim(1 tan x) cot x
BD
证: 当 x ( 0 , ) 时， 2
BC AB AD
1 x A o C
即
sin x x tan x
(0 x ) 2
sin x cos x 1(0 x ) 2 x
令t x
用于含三角或 0 反三角的 型 0
第六节 极限存在准则及 两个重要极限
一. 函数极限存在的夹逼准则
定理2. 当 x ( x0 , ) 时, g ( x ) f (x ) h ( x ) , 且

( x X 0)
x x0 ( x )
lim g ( x ) lim h( x ) A
x x0 ( x )
例如,
2x 2 tan 2 x lim lim x 0 5 x 5 x 0 sin 5 x
因式代替规则: 界, 则 例如,
若 ~ , 且 ( x ) 极限存在或有
lim ( x ) lim ( x ) 乘除可代替 1 1 lim arcsin x sin lim x sin 0 x0 x x0 x
x 0
x (1 x ) x
1 6
1 6
3 1 2 3
lim(1 x ) 1
x 0
3 1 2 3
思考题：当 x 0时， x x x 是 x的几阶无穷小量？
例. 证明: 当
证:
时,
～
n n 1 n2 n 1 n n a b (a b) (a a b b )
)

1
[ lim (1
x
1 x 1 x
) ]
e 1
公式：
2 x5 2、 lim 1 ) （ x x 2 x 2 5 e2 原式 lim 1 ) lim 1 ) （ （ x x x x
x7 x 3、 lim （ ) x x 3
又如,
其反函数
在
在
上连续 单调 递增,
上也连续单调递增.
定理3. 连续函数的复合函数是连续的. 即： 设函数 即 于是 复合函数 且 ( x0 ) u 0 .
lim f (u )
uu 0
f [ ( x0 )]
例如,
是由连续函数链
x ( ,0) (0, )
复合而成 , 因此