专题七 第2讲 不等式选讲

第2讲 不等式选讲

[考情分析] 1.绝对值不等式的求解与函数问题的综合，这是高考命题的热点.2.绝对值不等式中的恒成立问题与不等式的证明相结合．

考点一 含有绝对值的不等式的解法 核心提炼

(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a .

(2)|f (x )|0)⇔－a

(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解． 例1 设函数f (x )＝|2x －a |＋5x ，其中a >0.

(1)当a ＝3时，求不等式f (x )≥5x ＋1的解集；

(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．

解 (1)当a ＝3时，不等式f (x )≥5x ＋1，

即|2x －3|＋5x ≥5x ＋1，

即|2x －3|≥1，解得x ≥2或x ≤1，

∴不等式f (x )≥5x ＋1的解集为{x |x ≤1或x ≥2}．

(2)由f (x )≤0，得|2x －a |＋5x ≤0，

即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a 2，7x －a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ x

又a >0，∴不等式f (x )≤0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪

x ≤－a 3， 由题意得－a 3

＝－1，解得a ＝3. 规律方法 含绝对值不等式的解法

(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤

①求零点；

②划区间、去绝对值符号；

③分别解去掉绝对值的不等式；

④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．

(2)用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．

跟踪演练1 (2020·福建省福州师范大学附中模拟)解不等式|x －1|＋|x －3|≤x ＋1.

解 (1)当x <1时，不等式可化为4－2x ≤x ＋1，x ≥1.

又∵x <1，∴x ∈∅；

(2)当1≤x ≤3时，不等式可化为2≤x ＋1，x ≥1.

又∵1≤x ≤3，∴1≤x ≤3.

(3)当x >3时，不等式可化为2x －4≤x ＋1，x ≤5.

又∵x >3，∴3

综上可得，1≤x ≤5.

∴原不等式的解集为{x |1≤x ≤5}．

考点二 含绝对值不等式的恒成立(有解)问题 核心提炼

定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．

定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．

例2 已知函数f (x )＝|x －1|＋|2x ＋2|，g (x )＝|x ＋2|＋|x －2a |＋a .

(1)求不等式f (x )>4的解集；

(2)对∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f (x 1)≥g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．

解 (1)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －1，x ≤－1，x ＋3，－1

3x ＋1，x ≥1，

所以f (x )>4，即为⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1，－3x －1>4或⎩⎪⎨⎪⎧ －14

或⎩⎪⎨⎪⎧

x ≥1，3x ＋1>4，解得x <－53或x >1，

所以不等式的解集为⎝

⎛⎭⎫－∞，－53∪(1，＋∞)． (2)由(1)知，当x ＝－1时，f (x )min ＝2，g (x )＝|x ＋2|＋|x －2a |＋a ≥|(x ＋2)－(x －2a )|＋a ＝|2a ＋2|＋a ，

由题意，对∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f (x 1)≥g (x 2)成立，

故f (x )min ≥g (x )min ，

即2≥|2a ＋2|＋a ，所以a －2≤2a ＋2≤2－a ，

解得－4≤a ≤0，

所以实数a 的取值范围为[－4,0]．

规律方法 绝对值不等式的恒成立(有解)问题的求解策略

(1)分离参数：根据不等式将参数分离，化为a ≥f (x )或a ≤f (x )的形式．

(2)转化最值：f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a ；f (x )a 有解⇔f (x )max >a ；f (x )a 无解⇔f (x )max ≤a ；f (x )

(3)求最值：利用基本不等式或绝对值不等式求最值．

跟踪演练2 (2020·江西省吉安、抚州、赣州模拟)已知函数f (x )＝|3x －a |＋a ，a ∈R ，g (x )＝|3x ＋1|.

(1)当g (x )≥10时，恒有f (x )≥9，求a 的最小值；

(2)当x ∈R 时，恒有f (x )＋g (x )≥3，求实数a 的取值范围．

解 (1)由g (x )≥10，得3x ＋1≥10或3x ＋1≤－10，

解得x ≥3或x ≤－113

. 由f (x )≥9，得|3x －a |≥9－a ，解得x ≥3或x ≤2a －93

. 依题意有2a －93≥－113

，即a ≥－1. 故a 的最小值为－1.

(2)f (x )＋g (x )＝|3x －a |＋|3x ＋1|＋a ≥|3x －a －3x －1|＋a ＝|a ＋1|＋a ，

当且仅当(3x －a )(3x ＋1)≤0时等号成立．

解不等式|a ＋1|＋a ≥3，得a ≥1，